PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

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PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2010-2011 T P d ' i n f o r m a t i q u e C a l c u l s m a t r i c i e l e t i n t e g r a l I Le probleme de la ruine du joueur ... ... ou comment une compagnie d'assurance gagne toujours a pile ou face ! Le probleme de la ruine du joueur, de pile ou face donc, est le suivant : Un joueur de pile ou face a une mise totale de k euros et espere repartir avec S euros. Le jeu est tres simple : si en lanc¸ant la piece, il tombe sur face, il gagne 1 euros ; s'il tombe sur pile, il perd un euro. Le jeu s'arrete quand le joueur n'a plus d'euro en poche ou quand il a rafle la mise (il repart donc avec S euros en poche). Malheureusement pour lui, la piece n'est pas equilibree : elle a la facheuse tendance de tomber plus fre- quemment sur pile que sur face. Les questions sont les suivantes : Q.1 quelle est la probabilite que le joueur soit ruine a l'issue du jeu avec une mise de depart de k euros ? Q.2 quelle est la probabilite que le joueur fasse sauter la banque avec une mise de depart de k euros ? Mise en oeuvre d'une reponse approchee On note p la probabilite pour que la piece tombe sur face et q la probabilite que la piece tombe sur pile

  • probabilites de ruine et de gros lot apres

  • temps calcul

  • pile

  • matrice ms

  • produit matriciel dans la librairie linalg


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 45
Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 4
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PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2010-2011
C a l c u l s m a t r i c i e l e t i n t´e g ra l
`I Le probleme de la ruine du joueur ...
... ou comment une compagnie d’assurance gagne toujours `a pile ou face!
Le probl`eme de la ruine du joueur, de pile ou face donc, est le suivant :
Un joueur de pile ou face a une mise totale de k euros et esp`ere repartir avec S euros. Le jeu est tr`es
simple : si en lan¸cant la pi`ece, il tombe sur face, il gagne 1 euros; s’il tombe sur pile, il perd un euro. Le jeu
s’arrˆete quand le joueur n’a plus d’euro en poche ou quand il a rafl´e la mise (il repart donc avec S euros en
poche).
Malheureusement pour lui, la pi`ece n’est pas ´equilibr´ee : elle a la fˆacheuse tendance de tomber plus fr´e-
quemment sur pile que sur face.
Les questions sont les suivantes :
Q.1 quelle est la probabilit´e que le joueur soit ruin´e a` l’issue du jeu avec une mise de d´epart de k euros?
Q.2 quelle est la probabilit´e que le joueur fasse sauter la banque avec une mise de d´epart de k euros?
Mise en oeuvre d’une r´eponse approch´ee
On note p la probabilit´e pour que la pi`ece tombe sur face et q la probabilit´e que la pi`ece tombe sur pile
(on a donc q = 1−p.)
On note X la somme en poche apr`es le lancer n, la somme apr`es le lancer 0 ´etant la somme initiale.n
On part du principe que le lancer du d´e se poursuit lorsque le joueur est ruin´e ou a ruin´e la banque : la
somme que le joueur a alors en poche ne change plus.
1. Montrer que P(X = 0) = P(X = 0)+qP(X = 1); P(X = S) = P(X = S)+pP(X = S−1).n+1 n n n+1 n n
2. Montrer que P(X = 1) = qP(X = 2); P(X = S−1) = pP(X = S−2)n+1 n n+1 n
3. Pour ‘ compris entre 2 et S−2, montrer que
P(X = ‘) = pP(X = ‘−1)+qP(X = ‘+1).n+1 n n
 
P(X = 0)n
 ..On pose V = .n  .
P(X = S)n
`4. A l’aide de ce qui pr´ec`ede, d´eterminer une matrice M carr´ee d’ordre S +1 telle que V = M ×V .S n+1 S n
5. En d´eduire V en fonction de V . Au fait que vaut V ?n 0 0
Sachant que P(X = 0) est la probabilit´e que le joueur soit ruin´e apr`es m lancers avec m ≤ n et quen
P(X = 1) est la probabilit´e que le joueur casse la banque apr`es m lancers avec m ≤ n, il est tentant den
regarder le comportement de la premi`ere et de la derni`ere composante du vecteur V pour n tendant versn
l’infini : ceci devrait donner pour la premi`ere, la probabilit´e que le joueur soit ruin´e; pour la derni`ere, la
probabilit´e que le joueur parte avec les S euros.
1
tfdmTrioaiPq'uenExp´erimentations
On se propose de mesurer le risque pour le joueur de tout perdre, en fonction de sa mise, de la somme a`
gagner et bien suˆr de la pi`ece.
On prendra soin de charger la librairie linalg en tapant l’instruction > with(linalg);
Construction de la matrice M Une matrice dans Maple se construit a` l’aide de la commande matrixS
(? matrix).
Voici un exemple de matrice carr´ee d’ordre 10 obtenue de trois fa¸cons :
’ $
># premi`ere fac¸on
> A:=matrix(10,10,[seq(seq(i+j,j=1..10),i=1..10)]);
># deuxie`me fac¸on
> A:=matrix(10,10,(i,j)-> i+j);
># troisi`eme fa¸con
> A:=matrix(10,10,0);
> for i from 1 to 10 do
> for j from 1 to 10 do
> A[i,j]:=i+j:
> end do:
> end do:
> evalm(A);
& %
Pour de plus amples d´etails, on pourra consulter le TP sur les matrices (ann´ee 2009-2010).
1. Construire avec Maple la matrice M lorsque S = 3 et p = 0.45.S
2. Ecrire une proc´edure matrice_transition qui prend en entr´ee S et p et qui retourne la matrice M .S
On testera la proc´edure ´ecrite pour les valeurs suivantes : S = 3 et p = 0.45 puis S = 15 et p = 0.45.
Calcul approch´e de la loi de probabilit´e de la v.a. Xn
nOn l’a vu, ce calcul n´ecessite le calcul de M . Le produit matriciel dans la librairie linalg se repr´esente a`S
l’aide de l’op´erateur & * et non `a l’aide de *.
Ceci dit ´ecrire > A &* B; ne suffit pas. Pour forcer Maple `a ´evaluer le produit, on utilise la commande
evalm (>? evalm). On notera que ceci est valable pour toutes les op´erations matricielles. Pour de plus amples
d´etails, on pourra consulter le TP sur les matrices (ann´ee 2009-2010).

> A:=matrix(4,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]);
> B:=diag(1,2,3);
> evalm(A&*B);

Pour ce qui est du calcul de puissances de matrices, on proc`ede de la mani`ere suivante :

> A : =ma-
trix(4,4,[ 1, 0.45,0,0,0,0, 0.45,0,0, 0.55,0,0,0,0, 0.55,1]) ;
> evalm(A&3);

Terminons enfin sur la mani`ere de repr´esenter un vecteur colonne : soit a` l’aide de la commande matrix;
soit `a l’aide de la commande vector (>? vector).
21. Cas S = 3; p = 0.45 et n = 20. Calculer a` l’aide de Maple les probabilit´es de ruine et de gros lot apr`es
m lancers (m≤ n) en fonction de la mise de d´epart.
2. Cas S = 3; p = 0.55 et n = 20. Calculer a` l’aide de Maple les probabilit´es de ruine et de gros lot apr`es
m lancers (m≤ n) en fonction de la mise de d´epart. On notera ici que la pi`ece est favorable au joueur!
3. Cas S = 15; p = 0.45 et n = 100. Calculer `a l’aide de Maple les probabilit´es de ruine et de gros lot apr`es
m lancers (m≤ n) en fonction de la mise de d´epart.
4. Cas S = 15; p = 0.55 et n = 100. Calculer `a l’aide de Maple les probabilit´es de ruine et de gros lot apr`es
m lancers (m≤ n) en fonction de la mise de d´epart. On notera ici que la pi`ece est favorable au joueur!
5. Ecrireuneproc´edureruinequiprendenparam`etresd’entr´eeS etnetquiretournelalistedesprobabilit´es
de ruine apr`es n lancers du joueur en fonction de sa mise de d´epart.
Vous pourrez la tester a` diverses occasions de la vie courante ...
´ ´ `II Calcul approche d’integrale en faisant du trapeze
Nous avons vu en cours les sommes de Riemann gauche et droite. Dans le domaine du calcul approch´e
d’int´egrale, on les appelle respectivement m´ethode des rectangles a` gauche et m´ethode des rectangles a` droite.
Ici plutotˆ que d’approcher l’int´egrale d’une fonction f sur un sous-intervalle de la subdivision a` l’aide d’un
rectangle, on l’approche `a l’aide d’un trap`eze. Plus pr´ecis´ement `a l’aide de l’int´egrale entre a et a de lak k+1
fonction affine valant f(a ) en a et f(a ) en a .k k k+1 k+1
Pour bien comprendre ce que cela signifie, vous allez utiliser la commande ApproximateInt qui se trouve
dans la librairie Student[Calculus1] que vous n’avez peut-ˆetre pas. Si tel est le cas, regardez au mur :

> with(Student[Calculus1]):
> Approxima-
teInt(x^2,x=0..1,method = trapezoid,partition=2,output=plot);

La question est de savoir si le risque de faire du trap`eze vaut la peine de le pr´ef´erer au rectangle. Pour cela
nous allons programmer par nous-mˆemes :
• une proc´edure rectangle_gauche qui prend en entr´ee les param`etres f ; a; b et n et qui retourne la
Rb
valeur approch´ee de f(t)dt `a l’aide de n rectangles via la m´ethode des rectangles `a gauche;a
• uneproc´eduretrapezequiprendenentr´eelesparam`etresf ;a;betnetquiretournelavaleurapproch´ee
Rb
de f(t)dt `a l’aide de n trap`ezes via la m´ethode des trap`ezes.
a
M´ethode des rectangles `a gauche
1. Ecrire la proc´edure rectangle_gauche
Pour bien d´emarrer
> rectangle gauche :=proc(f,a,b,n)
> local x,pas,aire,i;
> # a` compl´eter
> # `a compl´eter
> # a` compl´eter
> for i from?? to?? do
> # a` compl´eter
> # `a compl´eter
> end do;
> aire;
> end proc;
2. On veut tester la proc´edure et comprendre comment l’int´egrale est approch´ee en fonction du nombre
rectangle n. On fera en sorte que les calculs s’effectuent avec 20 chiffres significatifs.
3(a) Compl´eter la s´erie d’instructions suivantes pour obtenir le temps de calcul et l’erreur commise
R1 2 ilorsqu’on lance la proc´edure pour approcher t dt. avec n = 10 rectangles pour i∈ J1,6K.
0
> for i from?? to?? do
> s :=time() :erreur rec[i] :=?? :t rec :=?? :
> end do :
(b) Ex´ecuter l’instruction suivante > plot([seq([i,t_rec[i]],i=1..6)]);
(c) Tracer le log de l’erreur en fonction de i. Qu’observez-vous?
(d) D´eterminer la pente a` l’aide de la commande fit (? fit) apr`es avoir charg´e la librairie stats.
M´ethode des trap`ezes
1. Ecrire la proc´edure trapeze. Au pr´ealable on se souviendra de la formule donnant l’aire d’un trap`eze!
Pour bien d´emarrer
> trapeze :=proc(f,a,b,n)
> local x,pas,y,aire,i;
> # a` compl´eter
> # a` compl´eter
> # a` compl´eter
> # `a compl´eter
> for i from?? to?? do
> # `a compl´eter
> # `a compl´eter
> # `a compl´eter
> end do;
> aire;
> end proc;
2. On veut tester la proc´edure et comprendre comment l’int´egrale est approch´ee en fonction du nombre de
trap`ezes n.
3. En proc´edant comme dans le cas de la m´ethode des rectangles a` gauche, d´eterminer le temps de calcul
R1 2 iet l’erreur commise lorsqu’on lance la proc´edure pour approcher t dt. avec n = 10 rectangles pour0
i∈ J1,6K.
4. Visualiser le temps de calcul en fonction de i
5. Tracer le log de l’erreur en fonction de i. Qu’observez-vous?
6. D´eterminer la pente.
L’amour du risque?
4

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