Résolution de problèmes combinatoires et optimisation par colonies de fourmis

Christine Solnon

Description

Niveau: Supérieur, Master

• cours - matière potentielle : master


• cours - matière potentielle : et de créneaux horaires

Résolution de problèmes combinatoires et optimisation par colonies de fourmis Christine Solnon Ce document rassemble différents éléments introduits dans le cours de Master recherche. On définit tout d'abord dans la section 1 ce que l'on entend par « problème combinatoire », et on donne quelques exemples de ces problèmes dans la section 2. La section 3 fait ensuite un panorama des principales approches pour résoudre en pratique ces problèmes. Enfin, la section 4 introduit plus particulièrement les approches inspirées du comportement collectif des colonies de fourmis. 1 Quelques caractéristiques des problèmes combinatoires On qualifie généralement de « combinatoires » les problèmes dont la résolution se heurte à une explosion du nombre de combinaisons à explorer. C'est le cas par exemple lorsque l'on cherche à concevoir un emploi du temps : s'il y a peu de cours à planifier, le nombre de combinaisons à explorer est faible et le problème sera très rapidement résolu ; cependant, l'ajout de quelques cours seulement peut augmenter considérablement le nombre de combinaisons à explorer de sorte que le temps de résolution devient excessivement long. Cette notion de problème combinatoire est formellement caractérisée par la théorie de la complexité qui propose une classification des problèmes en fonction de la complexité de leur résolution, et nous introduisons tout d'abord les classes de problèmes qui nous intéressent plus particulièrement. Nous introduisons ensuite les notions de transition de phase et de paysage de recherche qui permettent de caractériser la difficulté « en pratique » des différentes instances d'un même problème combinatoire.

• graphe g?


• instance


• résolution


• relations binaires entre composants


• algorithme polynomial


• complexité théorique


• csps binaires

Sujets

• Master
• Instance
• Résolution

Informations

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Extrait

Fonctions

Table des matières

réelles

:

limites

et

continuité

1. De quoi aborder les fonctions réelles 1.1. A propos des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A propos des réels : une histoire de voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Un problème d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les fonctions réelles poussées à leurs limites 2.1. Définition topologique et métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Définition séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Limite à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Limites et encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2 3

4 4 5 5 5 5

3. Continuité des fonctions réelles 7 3.1. Continuité en un point, continuité sur une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1. Continuité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.2. Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Quand la fonction n’est pas continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3. Stabilité de la continuité par les opérations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4. Informations capitales sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Entraînement 9 4.1. Echauffements préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2. Premiers flirts avec les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3. Les joies de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Comparaison de fonctions 10 5.1. Fonction dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.2. Fonction négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.3. Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.1. Définitions et utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.4. Décryptage de certains cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.5. Les grands classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

A.

Continuité

uniforme

1

12

1. De quoi aborder les fonctions réelles Dans ce chapitre, les fonctions que l’on considère sont réelles : ce sont des fonctionsJ:.!Roù.Rest un sous-ensemble deR. On va donc utiliser ce que l’on connait surR: les relations d’ordre, les suites... Voyons d’abord un peu de vocabulaire :

1.1. A propos des fonctions

On considère doncJ:.

Définition 1.Une fonctionJ:.!Restconstantes’il existeD

tel que≤a

Définition 2. – On dit queJestpairesi  
≤a2.γ a2. It J( a) =J(a) – On dit queJestimpairesi  
≤a2.γ a2. It J( a) = J(a) – On dit queJestT-périodiquesi   9/ >(γ≤a2.γ a+/2. It J(a) =J(a+/

Exemples : –osc:R!Rest paire et2périodique. – la fonction identité surRest impaire mais non périodique –χ:D!Rest impaire et(2Dalorsχ(() = (. Définition 3.On appellevaleur absoluedeJ:.!Rla fonctionjJj:. jJj(a) =jJ(a)j

.,J

a) =D.

définie pour touta

.par

Définition 4.On dit queJestbornéesur une partieλ.s’il existeM2Rtel que pour touta2λ, jJ(a)j ×M. Autrement dit, une fonction est bornée si sa valeur absolue est majorée. Définition 5.On appellegraphe(oucourbe représentative) deJl’ensemble ∼(aγ y)2R + γ a2 y. It=J(a)g

1.2. A propos des réels : une histoire de voisinages Quand on étudiera une fonction en un point, on s’intéressera aussi à son comportementautourde ce point. L’ensemble des pointsautourd’un pointB2λest défini de la façon suivante : Définition 6.Soitλun sous-ensemble deRet soitB2R . 1. On dit queλest unvoisinage deBsi

(γ]B "γ B

On dit aussi queBestintérieur àλ. 2. On dit queλest unouvertsi ≤B2λγ9" >(γ]B "γ B Exemples : –(π]2 ;n’est pas ouvertde 1 mais pas de 2. c’est un voisinage –](π)[[])π2[est un voisinage ouvert de ) + . Exercices : – Traduire la définition d’un ouvert en termes de voisinages.

Définition 7.Soitλun sous-ensemble deR. 1. On dit queλest unvoisinage de+1si

B2Rγ]Bγ+1

2

λ

λ

λ

2. On dit queλest unvoisinage de1si

3. (rappel) On noteR

B

γ] 1γ B

λ

≥ ∼+1γ1gladroite réelle achevée.

Exemples : – La fonctionx7!x + définie surRn’est bornée sur aucun voisinage de+1

.

On voit que la définition de voisinage dansRun sens métrique : un voisinagea ]B "γ B+"[d’un point B2Rdéfinit, quandl’ensemble de tous les points “très proches” deest “petit”, B(plus précisément, les points à distance au plus). De même pourB=1, le voisinage deBdéfinit un ensemble de points très proche de 1Ce concept de voisinages apporte une notion de, autrement dit très grands en valeur absolue. proximité.

1.3. Un problème d’adhérence

Etant donné un sous-ensembleλdeR, il est possible qu’il existe des suites deλqui convergent mais dont la limite se trouve en dehors deλ. Pour que cela ne se produise pas, on grossit l’ensemble A en lui ajoutant les points deRdont tout voisinage intersecteλ:

Définition 8.Soitλun sous-ensemble deRet soitB2R. On dit queBestadhérent àλsi 1. SiB2R : ≤" >(γ]B "γ B+"[\λ=◦?

2. SiB= +1:

3. SiB=1:

≤C

(γ]Cγ+1[\λ

≤C <(γ] 1γ C[\λ

On noteλl’ensemble des points adhérents àλ, c’est l’adhérencedeλ.

Exemples : SA=](π)[alorsA= [(π)] – i n o –(est adhérent à l’ensemble ( )) n  ,2N  n Il existe une définition équivalente de l’adhérence en terme de suites convergentes. On appelle cela une caractérisation séquentielle :

Définition 9(Caractérisation séquentielle).SoitB2R une suite(a n )d’éléments deλq2i3a n telle ue=B. n!+1

3

etλ

. On dit queBest adhérent àλs’il existe

2. Les fonctions réelles poussées à leurs limites

2.1. Définition topologique et métrique

Voici plusieurs définitions de la limite d’une fonction réelle. Comme à chaque fois qu’on donnera plusieurs définitions d’une même notion, il conviendra bien sûr de démontrer qu’elles sont toutes équivalentes. Définition 10(définition topologique).SoitJ:.!R,B2.,U2R; on dit que f admet unelimiteUenB si pour tout voisinageVdeUdansR, il existe un voisinage>deBdans.telJ(>)V .

On note alors :

ou

2i3J(a) =U !α

2i3J=U α

ou J(a)!U x!α En traduisant de manière explicite ce qu’est un voisinage d’un point, on obtient 9 cas différents suivant que queBetUsont des élements deRou les éléments “infinis“ (égaux à+1ou1)

Définition 11(Définition métrique). SoitJ:.!R,B2.,U2R; on dit que f admet une limiteUenBsi l’une des phrases suivantes est vraie : (i) siU2RetB2Ralors γ   Bj<  ≤" >(γ9 >(γ≤a2.ja =) jJ(a) Uj< "

(ii) siU2RetB= +1alors ≤" >(γ9ε2Rγ≤a2.γ  a > ε

J

a) Uj<

) jJ(a) Uj<

(iii) siU2RetB=1alors ≤" >(γ9ε2Rγ≤a2.γ  a < ε= (iv) siU= +1etB2Ralors ≤λ2Rγ9 >(γ≤a2.γ  ja Bj< =)J(a) (v) siU= +1etB= +1alors ≤λ2Rγ9ε2Rγ≤a2.γ  a > ε=)J(a)> λ (vi) siU= +1etB=1alors ≤λ2Rγ9ε2Rγ≤a2.γ  a < ε=)J(a)> λ (vii) siU=1etB2Ralors ≤λ2Rγ9 >(γ≤a2.γ  ja Bj< = (viii) siU=1etB= +1alors ≤λ2Rγ9ε2Rγ≤a2.γ  a > ε=) (ix) siU=1etB=1alors ≤λ2Rγ9ε2Rγ≤a2.γ  a < ε=)

Exemples : –) x x + ! x! – ) ( ! x x! 1

1

λ

)J(a)< λ  J(a)< λ  J(a)< λ

4

2.2. Définition séquentielle

On donne une définition équivalente de la limite d’une fonction en termes de suites. Elle permet notamment de montrer qu’une fonction n’a pas de limite : Définition 12(Définition séquentielle).SoitJ:.!R,B2.,U2R;JadmetUcommelimiteenBsi, pour toute suite(a)d’élements de.ayant pour limiteB, la suite(J(a n )a pour limiteU. n

Exemples : – siχ(x) = )pourx(et 0 pourx <(, alorsχn’a pas de limite en( – siχ=alorsχn’a de limite en aucun point. Q

2.3. Propriétés des limites

Théoreme 1(Unicité de la limite).SiJ:.!Radmet une limite enB2., alors elle est unique. Sous certaines conditions, on peut additionner et multiplier les limites. C’est utile pour les calculs.

Proposition 1(Opérations algébriques). SoitJ:. β !RetL:. g !R; on suppose qu’il existeB2. β \. g ; siJetLadmettent respectivementUetU 0 comme limite enB, alors : –J+LadmetU+U 0 comme limite enB, ( avec la convention : siBest réel,B 1=1, hormis les formes indéterminées ) –J,2R  , admetUcomme limite enB, ( avec la convention : siBest réel,B 1=1siB >(et1siB <(), –J LadmetUU 0 comme limite enB, (même convention), – siU=◦(, alors)ηJadmet)ηUcomme limite enIB, ( la convention étant que)η1= (, hors formes indéterminées ). On rappelle lesformes indéterminées: 1 (γ1 1γ ( ( γ 1 1 γ) 1 γ( ( γ1 ( Proposition 2(Composition).SoitJetLdeux fonctions telles queJ:. β !R,L:. g !RetB2. β . On suppose queJ(. β ). g . Si2i3J(a) =U,U2.et2i3L(t) =alors2i3 (L−J()a) =. g x!α x!α t!l 2.4. Limite à droite et à gauche

SoitJdéfinie sur.. Notons. 0 =.\]Bγ+1[etJ ) =Jj D0 la restriction deJà. 0 . Définition 13.On dit queJpossède une limite à droite enB2. 0 siJ ) possède une limite enB, et alors 2i3J= 2i3J ) . On définit de même lalimite à gaucheavec. 0 =.\] 1γ B. [ α+ α Proposition 3.SiJadmet une limiteUenBet siB2. 0 , alorsJadmet une limite à droite enBet2i3J= α+ 2i3J=U. On a le même résultat pour la limite à gauche. α Attention : la réciproque est fausse. Exemple :J(a) =I  )x= n’admet pas de limite en(. Théoreme 2.SiB2.et si2i3J= 2i3J=J(B), alorsJpossède une limite enBet c’estJ(B). α+α  2.5. Limites et encadrement Les propositions suivantes permettent de faire des liens entre les informations que l’on a sur la limite et les informations que l’on a sur la fonction elle-même. Proposition 4.Supposons queJest une fonction définie sur une partie.deR. SoientB2.etU2Rtels queJtend versUenB. SoientDetEdeux réels. Alors : 1. siD < Ualors il existe un voisinage deBsur lequelD < J,

5

2. siU < Ealors il existe un voisinage deBsur lequelJ < E.

Attention : Cette proposition est fausse si on remplace les inégalités strictes par des inégalités larges. En effet, siJ(a)raison de rester plus grand ou plus petit quen’a aucune Usur un voisinage deB(considérerJ(a) =a, B= (etU= ().

Proposition 5.Supposons queJest une fonction définie sur une partie.deR. SoientB2.etU queJtend versUenB. SoietDetEdeux réels. Alors : 1. s’il existe un voisinage deBsur lequelJ > DalorsUD, 2. s’il existe un voisinage deBsur lequel EJ <alorsU×E.

Proposition 6.Supposons queJetLsont deux fonctions définies sur.et soitB On suppose que2i3J(a) =Uet2i3L(a) =U 0 . x!α x!α 1. siU < U 0 alors il existe un voisinage deBsur lequel LJ <, 2. s’il existe un voisinage deBsur lequelJ < LalorsU×U 0 .

..

tels

Pour calculer une limite, il suffit parfois d’encadrer la fonction considérées par des fonctions bien connues dont on connait les limites (des polynômes, etc...)

Théoreme 3(Théorème des gendarmes). SoientJγ LetMtrois fonctions de.dansR,B2.etU2R. 1. SiJetMtendent versUenBet s’il existe un voisinageVdeBtel que pour touta2V\.,J(a)×L(a)× M(a)alorsLadmet une limite enBet2i3L(a) =U. x!α 2. siJtend vers+1enBet qu’il existe un voisinageVdeBtel que pour touta2V\.on aitJ(a)×L(a), alorsL(a)!+1 x!α 3. siLtend vers1enBet qu’il existe un voisinageVdeBtel que pour touta2V\.on aitJ(a)×L(a), alorsJ(a)!+1 x!α Exemples : soc( ) )!( – x x x!( Théoreme 4(Limite de fonctions monotones).SiJest monotone sur]Bγ C[,(Bγ C)2R + , alorsJpossède une limite enBet enCl’une égale àspu ]α;b[ (J)et l’autre ànif ]α;b[ (J)2R(suivant la monotonie deJ).

Remarque 1. – siJest bornée et monotone sur]Bγ C[alors ses limites enBet enCsont finies, – siJest monotone sur]Bγ C[droite en tout point de cet intervalle.alors elle possède une limite à gauche et à

6

3. Continuité des fonctions réelles

3.1. Continuité en un point, continuité sur une partie

On considère, comme précédemment, une fonctionJ:.!R.

3.1.1. Continuité locale Définition 14.SoitB2., on dit queJest continue enBsiJadmet une limite enB. Dans ce cas cette limite est égale àJ(B). Cela revient à dire queJest continue enBsi

≤" >(γ9 >(γ≤a2.γja Bj<

J(a) J(B)j<

Définition 15(Caractérisation séquentielle).SoitB2., on dit queJest continue enBsi pour toute suite a n )de.convergeant versB, la suite(J(a n )converge versJ(B).

3.1.2. Continuité globale La continuité est une propriétélocalede la fonction. Mais on s’intéressera en particulier aux fonctions qui présentent cette propriété en tout point de leur domaine de définition : Définition 16(Continuité sur une partie).On dit qu’une fonctionJestcontinue sur.siJest continue en tout point de.. Cela revient à dire queJest continue sur.si

≤" >(γ≤a2.γ9 >(γ≤y2.γ(jy aj< =) jJ(y) J(a)j< "

Définition 17.SoitB2Rn.. On appelleprolongement deJenBune fonction réelleLdéfinie sur.≥ ∼Bg telle queLj=J. D On peut toujours prolonger une fonction en un point en lui donnant une valeur arbitraire, mais ce n’est pas très intéressant... LorsqueJest continue sur.et que l’on souhaite prolongerJ, sous certaines conditions, on peut s’arranger pour que ce prolongement soit lui aussi continu :

Définition 18.SoitB2.n.. On dit queJadmet unprolongement par continuité au pointBs’il existe un prolongementLdéfini sur.≥ ∼Bgà valeurs dansRtelle queLsoit continue au pointB. Proposition 7.SoitB2.n.;J:.!Radmet un prolongement par continuité enBsi et seulement s’il existeA2Rtel que2i3J=U x!α 3.2. Quand la fonction n’est pas continue Une fonction peut ne pas être continue en un point de son domaine de définition. Cela s’appelle unpoint de discontinuité. Nous distinguerons en particulier deux types de discontinuité :

Définition 19(Discontinuité de première espèce). Lorsque les trois nombresJ(B),2i3Jet2i3Jexistent et sont finis mais ne sont pas égaux, on dit queJprésente α α+ une discontinuité de première espèce enB. Définition 20(Discontinuité de seconde espèce). Lorsque2i3Jou2i3Jn’existe pas ou est infinie, on dit queJprésente une discontinuité de seconde α α+ espèce enB.

Définition 21(Continuité par morceaux).On dit qu’une fonctionJestcontinue par morceauxsur un intervalle,, si elle est continue en tout point de,sauf peut-être en un nombre fini de points où elle présente une discontinuité de première espèce.

Exemples : – La fonction « partie entière » est continue par morceaux sur tout intervalle borné deR. – La fonction définie parχ(x) = ) six−= (etχ(() (n’est pas continue par morceaux sur[ )π)]. = x

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3.3. Stabilité de la continuité par les opérations usuelles

On peut déduire des propriétés des limites (avec uniquement des limites réelles ici), des énoncés relatifs aux fonctions continues :

( >() etjJjsont continues

Proposition 8. Si les fonctionsJetLsont continues sur.alors les fonctionsJ+L,J L,J ηL,J  partout où elles sont définies. Soit les fonctionsJ:.!. 0 etL 0 R. SiJest continue sur.etLcontinue sur. 0 alors la fonction :.! L−Jest continue sur..

Cela permet par exemple de montrer que les fonctions polynomiales sont continues surR.

3.4. Informations capitales sur les fonctions continues

Ces informations sont valables quandJest définie sur un intervalle. Lorsqu’un intervalle,est fermé borné (et donc du type[Bγ C]), on dit que,est un segment.

Théoreme 5(Théorème des Valeurs Intermédiaires).Soient,un intervalle deRnon vide,J application continue sur,et(Bγ C)2, + avecB×C. On note=J(B)etα=J(C), alors

≤2[3in (γ α)γ3xa (γ α])γ9D2[Bγ C]γ J(D

Corollaire 1.intervalle par une fonction réelle continue est un intervalle.L’image d’un

Théoreme 6.L’image d’unsegmentpar une application continue est un segment.

,

une

Corollaire 2.Une application continue sur un segment deRest bornée et atteind ses bornes. C’est-à-dire, si J: [Bγ C]!Rest une application continue, il existe(mγ M)2R + tel que – pour touta2[Bγ C],m×J(a)×M – il existe(a ( γ y ( )2[Bγ C] + , tel queJ(a ( ) =metJ(y ( ) =M. Théoreme 7.Soit,un intervalle etJune application continue sur,. On noteJ=J(,), (Jest un intervalle). SiJest strictement monotone sur,alorsJest une bijection de,versJet sa bijection réciproqueJ  ) vérifie : 1.J  ) est monotone surJ(de même monotonie queJ) 2.J  ) est continue surJ

8

4. Entraînement

Cette partie est exclusivement composée d’exercices. Leur pratique est nécessaire à la compréhension de ce cours. Elle permet de devenir familier avec les notions introduites. Apprendre un cours, c’est savoir l’utiliser.

4.1. Echauffements préliminaires

Exercices : – Traduire avec des quantificateurs les propositions 4 et 5. – Traduire avec des quantificateurs la phrase suivante : “SoitJune fonction réelle définie sur une partie. deRetλune partie de.telle que son adhérence est contenue dans.. Alors l’image de tout point de l’adhérence deλest dans l’adhérence de l’image deλ. ” – Montrer que l’énoncé précédent est vrai si et seulement siJest continue.

4.2. Premiers flirts avec les limites

Exercices : – On considère la fonction f deRdansRdéfinie parJ(a) = 0a 5 a définiti ue2i3J(a) = 5et2i3J(a 1. Montrer en revenant à l on q x!( x !+1 2. La fonction f est-elle continue en 0 ?

1

– Montrer que les seuls polynômes ayant une limite finie quanda! 1sont les polynômes constants. – SoitJ:R!Rune fonction/périodique (avec/ >() telle que2i3Jexiste dansR. Montrer queJ +1 constante.

4.3. Les joies de la continuité

Exercices : 8 > a  0si a <+ < – On considère la fonction f deRdansRdéfinie parJ(a) =  +  +s a= + > : + sia >+ a 5 La fonction f est-elle continue à droite, continue à gauche, continue ena ( = +? + – Etudier la continuité dea!•E(a) + (a E(a) . – Montrer que l’équationa 4  1a 0 + +a ) = (admet au moins une solution sur l’intervalle[ )γ)].

9

est

5. Comparaison de fonctions

SoitJetLdeux fonctions définies sur.et à valeurs réelles, etB2..

5.1. Fonction dominée Définition 22.On dit queJestdominéeparLau voisinage deBs’il existe un voisinageVdeBet tels que ≤a2.\VγjJ(a)j ×MjL(a)j De façon équivalente,JestdominéeparLau voisinage deBs’il existe un voisinageVdeBetϕ: bornée telle que ≤a2.\Vγ J(a) =ϕ(a)βL(a) On note alors J=O α (L)

Exemples : + – ( (x) =O + – x=O(x) +1 Proposition 9.Supposons de plus queLne s’annule pas sur un voisinage deB. AlorsJ si β est une fonction bornée au voisinage deB. g 5.2. Fonction négligeable

α (L

(

si et seulement

Définition 23.On dit queJestnégligeabledevantLau voisinage deBs’il existe un voisinageVdeBet :V!Rtelle que 2i3"= (It≤a2.\Vγ J(a) ="(a)βL(a) α On note alors J= )

o α (L

Exemples : 3 ( (x + ) – + 3 – x=o(x) +1 Proposition 10.Supposons de plus queLne s’annule pas sur un voisinage deB. AlorsJ=O α (L)si et seulement si β(x) tend vers(quandatend versB. g(x) On montre dans cette proposition quenégligeable=)dominéeet que ces deux relations sont transitives : Proposition 11. 1 .J=o α (L) =)J=O α (L), 2.J=o α (L)etL=o α (M) =)J=o α (M)- idem avecO Ces relations sont aussi stables par multiplication et combinaison linéaire. Attention à la composition : Proposition 12. 1.J=o α (L ) )etM=o α (L + ) =)J M=o α (L ) L + )- idem avecO- 2.J=o α (M)etL=o α (M) =)J+L=o α (M)- idem avecO- 3.J=o α (L)et2R=)J=o α (L)- idem avecO- 4. composition à droite :J=o α (L)et2i3M=B=)J−M=o b (L−M)- idem avecO- b Il n’y a pas de résultat pour la composition à gauche. En revanche, il existe des relations de négligeabilité entre les fonctions monomiales, exponentielles et logarithme : Proposition 13. si < αalors a  =o ( (a  ) si < αalors a  =o(a  ) +1 si >(etα >(alors  
) et2(na)  =o(a  ) j2n(a)j  =o ( ( a  ) +1 si >(etα >(alors a  =o(I x )etjaj  =o(I  x ) +1 1

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