Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur l'integration sans jamais avoir ose le demander

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nancy L3 Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur l'integration sans jamais avoir ose le demander Questions 1. Qu'est ce qu'une fonction integrable pour l'integrale de Riemann ? 2. Qu'est ce qu'une fonction integrable pour l'integrale de Lebesgue ? 3. Qu'est-ce qu'une fonction localement integrable (sur ? intervalle de R) ? 4. Qu'est-ce qu'une integrale impropre ? 5. Qu'est-ce qu'une integrale faussement impropre ? 6. Peut-on ecrire ∫ f alors que f n'est pas integrable ? 7. Comment montrer qu'une fonction est integrable ? 8. Quand peut-on appliquer le theoreme de Tonelli ? 9. Quand peut-on appliquer le theoreme de Fubini ? 10. petit o, grand O, c'est quoi ? Reponses 1. Oula, c'est complique. Ce que vous devez retenir, c'est qu'essentielle- ment, l'integrale de Riemann permet d'integrer n'importe quelle fonc- tion continue par morceaux sur un compact et qu'alors, les fameuses “sommes de Riemann” convergent vers l'integrale de Riemann. 2. La encore, c'est complique. Une fonction f est integrable pour l'integrale de Lebesgue si elle est mesurable (pour les tribus boreliennes) et qu'un certain sup complique est fini.

• integrale de riemann generalisee


• tribu produit


• integrale de riemann


• mesurabilite pour la tribu produit


• theoreme de tonelli


• integrale de lebesgue


• vraie integrale


• meme chose


• croissante d'intervalles compacts

Sujets

• Tribu produit
• Intégrale de Riemann
• Théorème de Fubini
• Intégrale de Lebesgue

Informations

• Publié par: vehot
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

URLvecdLee3eNaR’i

´Tge’eagevTgdezaveTgjTgcdvTgNgdvaTLcdgcN'LRegceaeLTRdaRd jaQaLdvaTLcTedNe3eQaR3ec

QgedeLTRd ”.=bfiLˆaFL“bfibTLMUTFaPUTPTLaN]DEQL[Ub]QfiPTLaN]DQLILRPLRDTT? ’. =bfiLˆaFL “bfibTL MUTFaPUT PTLaN]DEQL [Ub] QfiPTLaN]DQL IL 6LELˆNbL? (. =bfiLˆa´FL“bfibTL MUTFaPUT QUFDQLRLTa PTLaN]DEQL ffiˆb] PTaL]vDQQL IL R) ?

). +. ,. -. .. 0. ”!.

=bfiLˆa´FL “bfibTL PTLaN]DQL PR[]U[]L? =bfiLˆa´FL “bfibTL PTLaN]DQL MDbˆˆLRLTa PR[]U[]L? R :Lba´UTLF]P]L>DQU]ˆ “bL>TfiLˆa [Dˆ PTLaN]DEQL 3URRLTa RUTa]L] “bfibTL MUTFaPUT Lˆa PTLaN]DEQL? =bDTI [Lba´UT D[[QP“bL] QL aOLUL]RL IL ?UTLQQP? =bDTI[Lba´UTD[[QP“bL]QLaLOUL]RLILFbEPTP? [LaPa U` N]DTI 9` FfiLˆa “bUP?

eURTRded ”.9bDQ`FfiLˆaFUR[QP“Lb.3L“bLvUbˆILvLz]LaLTP]`FfiLˆa“bfiLˆˆLTaPLQQL´ RLTa`QfiPTLaN]DQLILRPLRDTT[L]RLaIfiPTLaN]L]TfiPR[U]aL“bLQQLMUTF´ aPUT FUTaPTbL [D] RU]FLDbc ˆb] bT FUR[DFa La “bfiDQU]ˆ` QLˆ MDRLbˆLˆ BˆURRLˆILRPLRDTT"FUTvL]NLTavL]ˆQfiPTLaN]DQLILRPLRDTT. ’.6DLTFU]L`FfiLˆaFUR[QP“Lb.UTLMUTFaPUT>Lˆa PTLaN]DEQL [Ub] QfiPTLaN]DQL IL 6LELˆNbL ˆP LQQL Lˆa RLˆb]DEQL ffi[Ub] QLˆ a]PEbˆ EUL]QPLTTLˆ) La “bfibT FL]aDPTˆb[FUR[QP“LbLˆaTP.IQMDbaˆb]aUba]LaLTP]“bL>Lˆa PTLaN]DEQL [Ub] QfiPTLaN]DQL IL 6LELˆNbL ˆP La ˆLbQLRLTa ˆPj>jLˆa PTLaN]DEQL [Ub] QfiPTLaN]DQL IL 6LELˆNbL. (. 3fiLˆabTL MUTFaPUT>aLQQL “bL [Ub] aUba PTaL]vDQQL FUR[DFaK` QD MUTFaPUT” K >Lˆa PTLaN]DEQL. ffi9T [Lba baPQPˆL] FL vUFDEbQDP]LD QD MUPˆ [Ub]RPLRDTTLa6LELˆNbL.):D]LcLR[QLQLˆMUTFaPUTˆFUTaPTbLˆˆb] ˆUTa QUFDQLRLTa PTLaN]DEQLˆ.

”

).IQˆfiDNPaDQIfibTvUFDEbQDP]LbaPQPLˆIDTˆQLFDI]LILFL“bfiUTD[[LQQL QfiPTLaN]DQLILRPLRDTTNLTL]DQPLˆLffi“bPTfiLˆa[DˆbTLv]DPLPTLaN]DQL` RDPˆ[DˆˆUTˆ).6fiPLIL`FfiLˆa“bLˆP LˆabTPTaL]vDQQLILRTUT FUR[DFa` UT [Lba “bDTI RL^RL QLfiF]P]L FURRLL]bTPUT ILTURE]DEQL F]UPˆˆDTaL IfiPTaL]vDQQLˆ FUR[DFaˆI n ` La Ib FUb[` UT [Lba ˆL [UˆL] QD “bLˆaPUT IL R QfiLcPˆaLTFL IfibTL QPRPaL [Ub] QD ˆbPaL>IDTaLIL“PbLˆD]aPTPI[LTL I n QD ˆbPaL ffiI n TDQˆFLˆDUb)FUTˆPIL]LL.4>Lˆa IL ˆPNTL FUTˆaDTa` QD ˆbPaL LˆaRUTUaUTL`IUTFPQdDaUbjUb]ˆbTLQPRPaLIDTˆR` La PQ Lˆa MDFPQL ILRUTa]L]“bfiLQQLTLIL[LTI[DˆILQDˆbPaLffiI n :D]LcLR[).U[LQ]b R +1 ) ) ()n=)  =−”` UT Dx ,x= `IUTa QD QPRPaL QU]ˆ“bLIaLTI ) =n +) ) vL]ˆQfiPTTPLaˆP >” La ı1ˆP <”. 1PTˆP IDTˆ QL []LRPL] +) R )  ) FDˆ` UTLF]P]Dx ,xUT IPa “bL QfiPTLaN]DQL FUTvL]NL. 4DTˆ QL= La (  ILbcLPRL FDˆ` UT IPa “bL QfiPTLaN]DQL IPvL]NL` RDPˆ UT [Lba ˆfiDbaU]PˆL] R )  DLF]P]Lx ,x= ı1. ( +. 9TIPa “bL QfiPTLaN]DQL IL>TLT]UELQQDv]LaTDbBMˆaaLDFR[FUUT´ˆˆb]QfiP ˆLRLTa PR[]U[]L " ˆP>ˆL []UQUTNL LT bTL MUTFaPUT FUTaPTbL [D] RU]´ R ) nisx FLDbcˆb] .:D]LcLR[QL,xˆL]bPRL][D:L]LvbLUTPTaLN] ( x C!;UPaFLfiTTD[aˆLIˆ´FUT[DURffiQFaUTDM”“CPbˆLTaQˆDR`PDTL)!TLP MUTFaPUT[LbaˆL[]UQUTNL][D]FUTaPTbPLaLT!LTLTvUdDTa!ˆb]”.IQ Tfid D IUTF [Dˆ IL []UELQRL IL FUTvL]NLTFL. ,. 9bP`ILˆ QU]ˆ “bL>Lˆa RLˆb]DEQL IL ˆPNTL FUTˆaDTa ffiQL [Qbˆ ˆUbvLTa [UˆPaPM)`UT[LbaDQU]ˆLF]P]L“bLQfiPTLaN]DQLLˆaLNDQLDı1ffiUb1). IQMDbaaUbaLMUPˆL^a]LaL]ˆvPNPQDTaˆb]QLˆU[L]DaPUTˆD]PaORLaP“bLˆ ffiˆURRL [D] LcLR[QL) “bL QfiUT [LbaL^a]L aLTLa IL MDP]L. -.6LˆFDˆbU>Lˆa bTL MUTFaPUT FUTaPTbL [D] RU]FLDbc “bfiUT PTLaN]L ˆb]bTFUR[DFaUbLTFU]LUb>LLN]TPTaLLTUfib“UPaF]UETbTˆaUTLML ˆb]bTLTˆLREQLILRLˆb]LTPLˆUTaLvPILRRLTaQLˆ[QbˆMDvU]DEQLˆ. 7DPˆQLFDˆQL[QbˆML]“bLTaLˆaFLQbPUb>Lˆa bTL MUTFaPUT QUFDQLRLTa PTLaN]DEQL“bPLv]PL`LTFOD“bLEU]TLaIL QfiPTaL]vDQQL>=Offig)`bU g“bUTfiULQMUTLaPTFTPL]NLaPDˆTaL^aLTˆ^b]`[]aDbELQˆL.2PQbUF]QLPD MDbaFUTTaD^]L[D]FULb]bTFL]aDPTTURE]LILMUTFaPUTˆPTLaN]DEQLˆ: ) at LˆˆLTaPLQQLRLTat!7  [Ub] >” ˆb] A”;ı1A`t!7<[Ub]a >! t  ˆb] A!;ı1A`t7!t[Ub] >” ˆb] C!;”C. .. 4Lˆ“bL QD MUTFaPUT Lˆa [UˆPaPvL La RLˆb]DEQL [Ub] QD a]PEb []UIbPa. 5T[]DaP“bL`QDRLˆb]DEPQPLa[Ub]QDa]PEb[]UIbPaˆLLIIbPaˆUbvLTa IL QD FUTaPTbPLa IL QD MUTFaPUT [Ub] QD aU[UQUNPL []UIbPa ffiFfiLˆaD IP]L QDFUTaPTbPLaFURRLMUTFaPUTIbFUb[QL.)IQLˆaDbˆˆPˆUbvLTabaPQLIL + + TUaL] “bL QD MUTFaPUT ffi;x t)7!” fxαtg =” ](;+1[ ffitx) Lˆa ffiR;BffiR)´

’

ffiR;BffiR)RLˆb]DEQL. 0. 4Lˆ“bL QD MUTFaPUT Lˆa RLˆb]DEQL [Ub] QD a]PEb []UIbPa La “bL QL aOLUL]RL IL ?UTLQQP TUbˆ D [L]RPˆ IL FUTFQb]LD QfiPTLaN]DEPQPLa. ”!. 9TIPa “bL>Lˆa bT N]DTI 9 ILgDb vUPˆPTDNL ILa2RˆP >ffix) QPR ˆb[j j<ı1 x!a gffix) ffiPFPjLˆb[[UˆL“bLgTL ˆfiDTTbQL [Dˆ ˆb] bT vUPˆPTDNLL[UPTLa ILa [Ub]TL[DˆFUR[QP“bL]PTbaPQLRLTaQLˆFOUˆLˆ.)5T[]DaP“bLPQˆba IL a]UbvL] bT vUPˆPTDNL ILaLa bTL]LQMaLQ “bLj>j Mjgjˆb] FL vUPˆPTDNL. 9T IPa “bL>Lˆa bT [LaPaoILgDb vUPˆPTDNL ILa2RˆP >ffix) QPR ˆb[j j= ! x!a gffix) ffiRL^RL ]LRD]“bL FUTFL]TDTag]aMULQ[ˆbPaTUTUPITbFLˆ^b]EPLTfiLˆa).3 ILfi^a]L bT [LaPa U “bL ILfi^a]L bT N]DTIOTLF]Pa.9>=offig) Ub>=Offig) [Ub]ˆPNTPL]“bL>Lˆa bT [LaPa U Ub bT N]DTIOILgabDMUˆLˆQI.LTbvP] “bLo`O]bUjbUaabL[TU:aTTaˆUˆIaˆLRLTLFPaPRPQ[UaPLDb“bDNLˆ[Dˆˆ “bUaPLTaL] bT [Lb [Qbˆ` RDPˆ UT TL [Lba [Dˆ ]LRUTaL]. :D] LcLR[QL + 3+ LT !` UT D QUNffi”ıx) =xıOffix) La ˆPTffix) =xıOffix) =xıOffix) 3 + FD] LT ! bTOffix) Lˆa DbˆˆP bTOffixU[TLUaL)PbIITLLbD“]L]]b + QUNffi” ıx)ˆPTffix) =Offixffi”ı`R)Dˆ“bLQUNTPRLTL[aPDFˆ]LDax) ˆPTffixb“LITaP`ULLIfiPLII]U]RLL^RLQˆTD4Ω!=)>LˆaL“bPvDQLTaD gDb vUPˆPTDNL ILaffiLa UT TUaL>ffix)gffix) ˆP>ffix)gffix) =offi>ffix)` UbILRDTLP]LL“bPvDQLTaLffiaUbjUb]ˆLTˆb[[UˆDTa“bLgTL ˆfiDTTbQL ,(x) [Dˆ ˆb] bT vUPˆPTDNLL[UPTLa ILa) ˆP QPR x!a = ”. 8UaUTˆ “bLo` g(x) OLaˆUTa FUR[DaPEQLˆ DvLF QD RbQaP[QPFDaPUT [D] bTL MUTFaPUT. 1PTˆP 3 nsix + ˆPTffix) =xıOffixaTL)=”ı^]DTLOffixRD[[).ˆLTLQUT“TLb x [Ub]α−= !` IP]L “bfiUT D QLfi“bPvDQLTa>ffix)αLˆa LcDFaLRLTa QD RL^RL FOUˆL “bL IL IP]L “bL>DIRLa bTL QPRPaL Db [UPTaa“bP Lˆaα.

(