Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

Stefan Banach

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques MA5.01 –Topologie Automne 2006 Page web: http : // IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert, applications lineaires continues, exemples David Hilbert mathematicien allemand (1862–1943) Stefan Banach mathematicien polonais (1892–1945) 1. Generalites sur les espaces de Banach Definition : Un espace de Banach est un espace norme (E, ? . .?) qui est complet pour la distance d(x, y) = ?x? y ? Exemples : • R et C sont des espaces de Banach pour | . | (valeur absolue, respectivement module) • Rn et Cn sont des espaces de Banach pour les normes equivalentes ?x?p = { ( |x1|p + . . . + |xn|p ) 1 p si 1 ≤ p < +∞ max ( |x1| , . . . , |xn| ) si p = +∞ Plus generalement, un produit E = E1 ? E2 d'espaces de Banach est un espace de Banach, pour les normes equivalentes ?(x1, x2)?p = { ( ?x1? pE1 + ?x2? p E2 ) 1 p si 1 ≤ p < +∞ max ( ?x1?E1 , ?x2?E2 ) si p = +∞ • L'espace B(X) des fonctions bornees sur un ensemble quelconque X est de Banach pour la

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Sujets

• Stefan Banach
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Extrait

Universited’Orleans FacultedesSciences DepartementdeMathematiques

LicencedeMathematiques MA5.01 – Topologie Automne 2006

Page web: http :/www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html

IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert, applicationslineairescontinues, exemples

David Hilbert Stefan Banach mathematicienallemandmathematicienpolonais (1862–1943) (1892–1945) 1.GeneralitessurlesespacesdeBanach Denition:neUacspe(pacenormehtsnusedeBenacaE,k. .kest complet pour) qui la distanced(x, y) =kxyk Exemples :  RetCsont des espaces de Banach pour|.|(valeur absolue, respectivement module) n n  RetCeesivquenalstesontdesespacesdeBnacaphuolrseonmr ( 1   p p p |x 1 |+. . .+|x n |si 1p <+∞ kxk p =   max|x 1 |. . ,, .|x n |sip= +∞ Plusgeneralement,unproduitE=E 1 E 2 d’espaces de Banach est un espace de Banach,pourlesnormesequivalentes ( 1   p p p kx 1 k+kx 2 ksi 1p <+∞ E 1 E 2 k(x 1 , x 2 )k p =   maxkx 1 k E 1 ,kx 2 k E 2 sip= +∞  L’espace B(Xsnmelbqeeuclnouqnsborneessuruneed)nofsoitceXest de Banach pour la norme (de la convergence uniforme) kfk ∞ = sup|f(x)| x∈X  (Voir§4) L’espace C(Xetriquenceosmppaacctemunseusurnocsnoitfoestinc)dX est un espace de Banach pour la norme de la convergence uniforme.(C’est un sous–espace de Banach deB(X).) C([0,pas un espace de Banach pour la norme1]) n’est Z 1 kfk 1 =|f(x)|dx 0 P n j L’espace P([0,fonctions polynomiales1]) desf(x) =a j xsur [0,un1] n’est j=0 espace de Banach pour aucune norme Z 1 kfk= max|a j |,kfk + ∞= sup|f(x)|,kfk 1 =|f(x)|dx x∈[0,1] 0

Proposition :spacUnemeenorEest de Banach si et seulement si, pour toute suite P +∞ (x n ) n∈N dansEocvnreeg,aleriencedelaskx n kdansRimplique la convergence n=0 P +∞ delaseriex n dansE(convergence normale). n=0

2.Espacesdedimensionnie n Theoreme:Toutes les normes surRneetssontequival Corollaire : (a)Surunespacevectorieldedimensionnie,touteslesnormessontequivalentes (b)ToutespacenormededimensionnieestdeBanach (c)Dansunespacenormededimensionnie, unepartieestcompactesietseulementsielleestalafoisfermeeetbornee. Theoreme(Riesz): Lesboulesfermeesd’unespacenormededimensioninnienesontjamaiscompactes

3.Applicationslineairescontinues Theoreme:snoiuqenoCitid,levaesnt pouruneapplicationlineaireT:E→F:sneonrtmreedseuxespace (a)Test continue (b)Test continue a l’origine (c)∃C0 ,∀x∈E,kT(x)k F Ckxk E kT(x)k F (d) sup<+∞ x∈Er{0} kxk E (e) sup kxk E 1 kT(x)k F <+∞ (f) supkT(x)k F <+∞ kxk E =1 Remarques :  uminlesadescimum(,)f(,)eeagostnetnatsnossqlentuaeitd)s(aDecsn,sacC0 intervenantdans(c).Onobtientainsilanormed’operateurdeT.  L’ensembleL(E, Fcoesireanlinsioedseunitnpalpcitad)seEdansFest un espace vectorielnormepour  (l’addition :S+T)(x) =S(x) +T(x)  : (la multiplication scalaireT)(x) = T(x)  ronalepo’demnourteraeetkTk L(E ,F) ,kTk E→F ou plus simplementk|Tk|,kTk  irevretauepreed’onormLa kT(x)k F  kTk L(E ,F) kxk E  kTSk L(E ,G)  kTk L(F,G) kSk L(E ,F)  kIk L(E ,E) = 1   cideliuetatser’oederpLarmnoerallaeuaveenergn  dimE <+∞=⇒eireantoilppaetuilnoitacT:E→Fest continue.  F=de Banach⇒ L(E, FBanach) de Denition:SoitEunpaesveceorcturesmorlnieF=RouC. Le dual (topologique) deEest  l’espaceE=L(E,Fd)seeanesirrmfoliesrusstnoceuniE (i.e.desapplicationslineairescontinuesf:E→F) . C’estunespacedeBanachpourlanorme(d’operateur) kfk E = sup|f(x)|= sup|f(x)|  kxk E 1kxk E =1

4. Exemple:C(X) Cadre : Xsp=eactqieuocpmcameert C(X) = ensemble des fonctions continues surXlevaa(es)plexcumoeloselerurs Proposition :C(XcuniterbeBedecanaevah)eunstlgea  (addition :f+g)(x) =f(x) +g(x)  scalaire :[ multiplication(f)(x) = f(x) ]  (multiplication :f
g)(x) =f(x)g(x)  nuti)etnatsnconctio(fone:1 norme (de la convergence uniforme):kfk + ∞= sup x∈X |f(x)|  kf
gk + ∞ kfk + ∞ kgk + ∞   k1k + ∞= 1  C(X) est complet pourk. .k + ∞ TheoremedeWeierstrass: L’espace P([a, b]) des fonctions polynomiales est dense dans C([a, b]) Reductionaunintervalledereference(TD)  lyPo1:ontirastonmeD)n(TDtsieeBnrseedˆnmo  TDn()lovnoitunoitoC:2straemonD  onemrastDsasWeierstrdeStone–orlliaeritno:3oC TheoremedeStone–Weierstrass: SoitAune partie non vide de C(X). Supposons que (i)Asenu–suoglaerbedeC(steX) i.e. Aest stable par addition, mutiplication scalaire, et multiplication (ii)Aest autoadjointe i.e. f∈A=⇒f∈A (iii)Ane s’annule nulle part i.e. ∀x∈X,∃f∈Atelle quef(x)6= 0 (iv)AedespointsseparelXi.e. sixetysont deux points distincts deX, il existef∈Atelle quef(x)6=f(y) AlorsAest dense dans C(X). Remarques :  iit(indosneo)ciapLustureanedecslraslee  SiAcontient les fonctions constantes (ce qui est souvent le cas dans les applications), lacondition(iii)estsuperue etlacondition(i)sereduitalastabilitedeApar addition et par multiplication Theoremed’Ascoli–Arzela: SoitAune partie (non vide) de C(X). AlorsAest compacte si et seulement si (i)Ationicqu..eeinuetse ∀x∈X,∀ε >0,∃ >0,∀f∈A,∀y∈B(x, ),|f(x)f(y)|< ε (ii)Aest equibornee i.e. ∀x∈X,∃C0,∀f∈A,|f(x)| C Remarques :  usrnufiroemuiteestuicontinqe’l,etiunitnoacrlouepmmCoX: ∀ε >0,∃ >0,∀f∈A,∀x, y∈Xavecd(x, y)< ,|f(x)f(y)|< ε  A posteriori,Aeemofmrnretnobe:nitues sup sup|f(x)|<+∞ f∈A x∈X