Universite d'Orleans Licence de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite L6MT02 Integration, Fourier, Probabilites correction de l'examen du 28 juin 2007 Exercice I Posons Yn = X3n. Comme les (Xn)n≥1 sont independantes, les (Yn)n≥1 le sont aussi. Elles suivent toutes la meme loi, a savoir la loi image de la loi uniforme sur [0; 2] par l'application x 7? x3. On a |Yn| ≤ 2, donc les (Yn)n≥1 admettent des moments de tous ordres. D'apres le theoreme de transfert, on a EY1 = EX31 = ∫ [0;2] 1 2x 3 dx = 2 4 2.4 = 2. Les (Yn)n≥1 forment une suite de variables aleatoires independantes identi- quement distribuees admettant un moment d'ordre 1 : d'apres la loi forte des grands nombres, Sn/n converge donc vers EY1 = 2. Par ailleurs, les (Yn)n≥1 forment une suite de variables aleatoires independantes identiquement distribuees admettant un moment d'ordre 2 : d'apres la loi forte des grands nombres, (Sn ? nEY1)/ √n = (Sn ? 2n)/ √n converge donc vers N (0,Var Y1). Il n'y a plus qu'a calculer sa valeur exacte : Var Y1 = EY 21 ? (EY1)2 = EX61 ? 4.

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Sujets

• Théorème de convergence dominée

Informations

• Publié par: vehot
• Publié le: 01 juin 2007
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

Universit´ed’Orl´eans

Unite´L6MT02

Inte´gration,Fourier,Probabilite´s

LicencedeMath´ematiques

correction de l’examen du 28 juin 2007 Exercice I 3 Poso .Comme les (Xnepetnadtnos´dni),les(esY) lesont nsY n =X n nn≥1n n≥1 aussi.Ellessuiventtouteslamˆemeloi,a`savoirlaloiimagedelaloiuniforme 3 sur [0;2] par l’applicationx7→x. On a|Y n | ≤2, donc les (Y n ) n≥1 admettent des moments de tous ordres. D’apr`esleth´eor`emedetransfert,ona Z 4 1 2 3 3 EX EY 1 = 1 =x dx= =2. 2 2.4 [0;2] Les (Y n ) n≥1 ntdesiteanndpe´edniseriotae´laseevariablnesuitedofmrneut-i quementdistribu´eesadmettantunmomentd’ordre1:d’apre`slaloifortedes grands nombres,S n /nconverge donc versEY 1 = 2. Par ailleurs, les (Y n ) n≥1 foenrmnetuitsuvedeairaselbe´laepdndne´eristaiosante identiquementdistribue´esadmettantunmomentd’ordre2:d’apr`eslaloiforte √ √ des grands nombres, (S n −nEY 1 )/ n= (S n −2n)/ nconverge donc vers 2 − N(0,VarY 1 asavlurexecaelrulusq’yapcalcu’`anlI.):VtearY 1 =EY 1 2 6 (E Y 1 ) =EX 1 −4. D’apr`esleth´eor`emedetransfert,ona Z 7 6 1 22 6 6 EX=x dx= =. 1 2 2.7 7 [0;2] Finalement 6 4 2 24(16−7) 36 VarY 1 =−4 = 4(−1) ==. 7 77 7 Exercice II 1.X i ne prend que les valeurs 1 et−1 donc|X i |.Etantborn´ee,=1X i est 1 1 biensuˆrinte´grable.EX i = (1)P(X i = 1)+(−1)P(X i =−1) =−= 0. Si 2 2 2 i=j, on aEX=E1 = 1. Sii6=j,X i etX j abrivaestdonsseriotae´lasel i ind´ependantesadmettanttoutesdeuxunmomentd’ordreun,doncleur

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