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Universit´edeNice Nice-Polytec
Cours2:Cr´editetmicrocr´edit
Ann´ee2011-2012 MMDFA
Cettele¸conestunemodesteexcursiondansunvasteetimportantchapitredelanancemath´ematique quiconcernelecr´editetlestauxdinte´rˆets. Linte´rˆetestavanttoutlare´mune´ration,souslaformedeversementsp´eriodiques,dunprˆetconsenti parunpre´teura`unemprunteur.Cestprobablementlunedesactivit´esnacie`reslesplusanciennes,de´ja pratique´edanslaplushauteantiquit´e.Pourlepr´eteur,linte´reˆtestleprixdelarenonciationtemporaire a`uneconsommationetpourlemprunteurcestleprixpaye´pourunejouissanceimme´diate. Auldutempslesint´erˆets,accuse´sdappauvrirlesunsauprotdautresontfaitsouventlobjet dinterdictionoudelimitations.Ilssontper¸cusdefac¸onbiendi´erenteselonlesculturesetselonles religions. Ainsi la Bible (dans l’ancien testament) et le Coran contiennent des passages qui condamnent fermementlapratiquedupreˆta`int´erˆets.Leschosesonte´t´ecodie´esdanslareligionjuiveparlinterdiction dedemanderdesint´erˆets.Cettemeˆmere`glea´et´eaussilongtempsenvigueurdanslareligioncatholique. Lesprotestantsontcontribue´s`alalev´eeprogressivedesoninterdictiondanslespayseurope´ens,rest´ee pourtantenvigueurjusquen1830.Pourlislam,linterditsubsisteetlede´veloppementr´ecentdebanques islamiquesfonctionnantsurdesprincipesdie´rentsenestunecons´equenceimportante.Quoiquilensoit laquestiondelint´ereˆtresteunsujetsensiblequiestencoresouventperc¸udi´eremmentselonlesorigines culturelles des intervenants.
1 Capitalisationet actualisation LeprincipedebasedelacapitalisationestquunEuroaujourdhuinestpas´egal`aunEurodemain mais qu’il vaudra alors (un peu) plus : c’est ce que l’on appelle lavaleur temps de l’argent. Ainsi un montantB0daocpelpenuire´ude´tnarδtaccueinmulurˆetnt´eB0ρ >0 et vaudra doncB0(1 +ρsuisl`a)e decettep´eriode.Onparledselint´erˆetssimplqsroleu´tniˆeercctaulumes´eteedoire´pueaqch`ameˆeemtl donc,a`lissueden´erip,doseT=nδt, il vaudraitB0(1 +touqeereplutˆnconsid`re´no,lae,sie´gnMa). lesint´ereˆtsaccumule´spendantunepr´erioderapportent`aleurtourdesint´erˆetsdurantlape´riodesuivante et ainsi de suite : c’est la formule desint´erˆetscompos´es. Ainsi le montantB0vaudra encoreB0(1 +ρa)` 2 lissuedelapremi`erep´eriodemaisilvaudra[B0(1 +ρ)](1 +ρ) =B0(1 +ρussila`uedaledei)xe`emte n BT=B0(1 +ρs)apr`enperiodes. Lasuitedequantit´esB0, Bδt, . . . , BTg´eosiongreseprocnnutnodroemf1+n(osiaredeuqirte´mρ) (alorsquedanslecasdinte´reˆtssimplecestuneprogressionarithm´etique).Silonde´signe,comme pre´ce´demment,partles instants successifs multiples deδt,t∈ {0, δt,2δt, . . . , nδt=T}ntits,eliodne´ reuqletlee´rcmolenombreme´etant rδt e= 1 +ρ nombre que l’on appelle ledxituainucontrˆetnt´etidealusseutr,´onperiree´ecBkδt=Btcomme une fonction exponentielle du temps rt Bt=B0e, avecB0etreopminatredetegi´e`al,sa1spanosvunectohsieil´te´ar´gne. Cestcette´ecriturequenousutiliseronsleplussouventparlasuite.Anoterquepourrassez petit, comme rδt1 2 e= 1 +rδt+ (rδt) +. . .t´inl,tˆeerρes´idueptedtnererδteste,lsuivrmesud´dnastpoepvelentme 2 ! limite´´etantparfoisne´glige´s. rδt Tout comme un Euro aujourd’hui vaudraeeussila`deioerepundδt, la valeur actuelle d’un Euro rδtrδt d´elivr´eenδtvaut aujourd’huiee´qaautntine.Etlee, qui est (un peu) plus petite que 1, vaudra rδt rδt (e)enecamespdstuocruurauvaledelarendntlamucu=a1canupfitroL.uqserp´deio`eprnesu desint´ereˆts,onparledecapitalisationinverselapriseedfe.lAuaalontiundtiacmocndetplsnave´˜ sa valeur actuelle au lieu de sa valeur future s’appelle l’actualisation. On noteCtlaalv´sila`eearueautc ˜ rt l’instantte=0delauqnait´tCteir-d`at-,cseCt:=e Ct. rt Anoterquelavaleuractualis´eedelasuitedesBt=te ,∈ {0, δt, . . . , nδt}est la suite constante.
2Microcr´edit Lemicrocr´editestunensembledecontratspermettantdorirdetr`espetitscr´edits`adesindividus tre`spauvrespourlesaider`ade´velopperdepetitesentreprisesoudesactivit´esge´ne´ratricesderevenus.
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Lide´edebaseestpartiedelaconstatationquunegrandepartdelhumanit´enapasacce`saucr´edit traditionnelcarlesbanquesexigentdeleursemprunteursquilssatisfassenttouteunes´eriedecrit`eres, commelefaitdesavoirlireet´ecrire,deposse`derdesdocumentsdidentication,davoirdesgarantiesou deja`und´epotminimum. Lespremie`resexpe´rimentationsremontentauxann´ees70auBangladesh`alinitiativedeMuhammad Yunus,alorsprofesseurde´conomiea`luniversite´deChittagong.En1974,ilassista,impuissant,a`une terriblefaminedanslepetitvillagedeJohaprochedesonuniversit´e.Ilinterrogealorsavecses´etudiants les artisans et paysans du village pour tenter de comprendre leurs besoins et recence une demande de petitsprˆetschez42femmesa`quiilde´cidenalementdepre`terlui-mˆemeunesommetotaledenviron27 Euros.Ilmetensuitepre`sde10ann´eesa`tenterdeconvaincrelesbanquesdassumercespreˆtsavantde de´cidernalementdefondersaproprebanque,laGrameenBanque,en1983.Cettebanqueetlui-meˆme re¸curentleprixNobeldelaPaixen2006.Actuellementlactivite´demicrocre´ditsestr´epanduedans laplupartdespaysdumonde,elleestassure´eparpre`sde10000Instituts de Micro Finance(IMF) qui pre`tent50MilliardsdEuros`apr`esde500Millionsdebe´ne´ciaires. Lesprincipalescarate´ristiquesdumicrocr´editsont Detre`spetitspreˆtsconsentissurdespe´riodescourtes(10Eurossuruneanne´e)avecdesrembourse-mentsfr´equents(chaquesemaine). Abscencecomple`tedegarantieindividuelle – Souventil s’agit deetrˆps´euprosg`-tsecocerid-arentt35e0)pmurdeesre(tnuetis`nsenroupaung quirec¸oiventchacununprˆetsmaissontsolidairesencesensquilsdoiventassumertoutoupartie delade´faillance(onditlede´faut)dunmembredugroupe. Lesb´en´eciairessontleplussouventdesfemmes. Lestauxdint´erˆetpratiqu´essont´ele´v´es,delordrede20%,pouvantparfoisallerjusqua`30%. Possibilite´dunnouveaupreˆtautomatiquementaccorde´encasderemboursementseectifsetdans lestemps(m´echanismedincitation dynamique). – Tauxde remboursement proches de 100%. 1 Exemple :adYunusarMuhamm:emexesplLnodtpe´naviusetn 2 Conside´ronsunpreˆtde1000BDT,dunedure´edunanetsupposonsquelesremboursementsde-mande´sse´le`vent`a22BDTparsemaine.Silonnoters22BDTunlerptaqi´u,eelxcauetlannution r rembours´esapre`sunesemaineontpourvaleurpr´esente22eet ceux que l’on rembourse la semaine 52 2r r suivante 22e....et ainsi de suite. On aura donc, en posantq=enaviopreutitauusno,leq´q: 52 52 50 X 51 qq k 1000 = 22q= 22. 1q k=1 Lare´solutiondecettee´quationconduit`alasolutionq'0.atxudni´treeˆt9et96ncdoun`ar'19,74 presque´egal`a20%.
3 Obligationset taux actuariel Acote´desactionsetdeleursproduitsde´riv´es,ilexistesurlesmarch´es`aladispositiondesinvestisseurs uneautregrandefamilledactifsnanciersli´esauxtauxdinterˆetdontlesplussimplessontlesobligations. Lesobligationssontdescontratsquiassurent`aleurd´etenteura`lasignatureducontratunux connuderevenus,compos´eduprincipaldnoisseceetmeeratucesund´s`evrecouponssedaetadsrev`se´s interme´diaires.On´evaluefacilementleurprix`alinstantinitialteˆt´tredniatxu=leitnaonncoil0s (suppos´econstantpoursimplier).Parexempleuneobligationd´etatquirapporte1000Eurosdans5 anset3%(soit30Euros)tousles6moispourraitse´valuer,siletauxdinte´rˆetannuelρstantconetai´t surlape´riode,comme 30 30 3030 1000 + ++. . .+ + 1 39 5 (1 +ρ) (1+ρ) (1 +ρ+) (1ρ+) (1ρ) 2 22 ou, en utilisant le taux continur: 1 39 5 rrrrr 2 22 2 30e+ 30e+ 30e+. . .+ 30e+ 1000e . 1 Le livre de Muhammad Yunusdnsenapsuarvtee´Versunmoelbinopsidtnese´en1(se)799tse,rpa`di,EontiCLsJt`at Livre de Poche. 2 100 Bangladesh Taka (BDT) vaut environs 1 Euros.
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