Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées Bât M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex

Charles Suquet

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Intégration Analyse de Fourier Probabilités Réédition 2 septembre 2010 Charles SUQUET Licence de Mathématiques 2003–2004

• application aux lois marginales


• rappels sur les c1-difféomorphismes


• transformée de fourier


• applications de la lfgn


• convergence en loi


• changement


• propriétés de la transformation de fourier dans l1


• théorème d'extension

Sujets

• Suquet
• Transformée de Fourier
• Changement

Informations

• Publié par: rasum
• Publié le: 01 septembre 2010
• Nombre de lectures: 54
• Langue: Français
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Extrait

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Bât. M2, F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Intégration
Analyse de Fourier
Probabilités
Réédition 2 septembre 2010
Charles SUQUET
Licence de Mathématiques 2003–2004Table des matières
1 Mesures 13
1.1 Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Exemples immédiats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Opérations ensemblistes dans une tribu . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Génération de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Le théorème π-λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5 Tribus boréliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Propriétés générales d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.4 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.5 Mesures extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.6 Théorème d’extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.7 d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.8 Mesures de Stieltjes surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
d1.3.9 Mesure de Lebesgue surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Applications mesurables 57
2.1 Topologie et tribus boréliennes deR etR . . . . . . . . . . . . . . . . . 57+
2.2 Arithmétique dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61+
2.3 Mesurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Fonctions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Mesures images, lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.2 Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.3 Lois uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.4 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.5 Un premier exemple de modèle statistique . . . . . . . . . . . . . 81
3 Intégration des fonctions mesurables positives 85
3.1 Intégration des fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Intégrale dansM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89+
33.3 Applications aux mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Mesure à densité par rapport à une autre mesure . . . . . . . . . 95
3.3.2 Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.3 Intégration par rapport à une série de mesures . . . . . . . . . . . 100
14 Intégration, espace L 105
4.1 Fonctions μ-intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.1 Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.2 Finitude presque partout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.3 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14.3 L’espace de Lebesgue L (μ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4 Le théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 Comparaison avec l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.1 Intégrabilité au sens de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5.2 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
R
4.5.3 Changement de variable dans une intégrale f dλ . . . . . . . . . 135
4.5.4 Fonction de répartition et densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6 Applications du théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . 139
5 Intégration sur des espaces produits 145
5.1 Produit de deux mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1.1 Produit de deux tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1.2 Construction de la mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1.3 Application aux calculs de volumes et d’espérances . . . . . . . . 151
5.2 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.1 Cas des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.3 Fonctions f ⊗f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1561 2
5.3 Intégration sur un produit fini d’espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.1 Produits finis de tribus et de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.3.2 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3.3 Application aux lois marginales d’un vecteur aléatoire . . . . . . . 162
d5.4 Changement de variable dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4.2 Changement de variable linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
15.4.3 Le théorème de changement de variable C . . . . . . . . . . . . . 167
15.4.4 Rappels sur les C -difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4.5 Méthode pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.4.6 Coordonnées polaires, coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . 170
d5.4.7 Calculs de lois par changement de variable dansR . . . . . . . . 173
5.5 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.5.1 Indépendance d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.5.2 Indép de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 179
45.5.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
p6 Espaces L 191
p6.1 Construction des espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
p6.2 Comparaison des L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.3 Théorèmes de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7 Espaces de Hilbert et séries de Fourier 209
7.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1.1 Quelques définitions et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.1.2 Bases hilbertiennes et séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.1.3 Meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.1.4 Développement dans une base hilbertienne . . . . . . . . . . . . . 215
7.2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2.1 Espaces de fonctions 2π-périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
27.2.3 Bases trigonométriques de L (T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.4 Noyaux de Dirichlet et de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.2.5 Le théorème de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8 Lois des grands nombres 235
8.1 Convergences de suites de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.3 Lois fortes des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.4 Quelques applications des lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . 248
8.4.1 Applications de la LFGN pour des v.a. bornées . . . . . . . . . . 248
8.4.2 La méthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.4.3 Estimation de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9 Transformation de Fourier et convergence en loi 255
9.1 Transformée de F d’une mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.1.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.1.2 Fonction caractéristique de la loi normale standard . . . . . . . . 258
9.1.3 Transformée d’un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . 261
9.1.4 Caractérisation des mesures finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.2 Transformée de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
19.2.1 Propriétés de la transformation de Fourier dans L . . . . . . . . 267
9.2.2 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.3 Convergence en