Universite Pierre et Marie Curie Paris LM Algebre Calcul Vectoriel Matthieu Solnon Parcours SHI et SPH

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Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH TE n?2 - Corrige Mercredi 21 mars 2012 Exercice n?1 : Voici quelques erreurs commises dans les questions. (a) Dans la definition d'une famille liee c'est : il existe (a1, . . . , an) ? Rn, (a1, . . . , an) 6= (0; 0; 0) tel que a1 ??u 1 +a2 ??u 2 +a3 ??u 3 + · · ·+an ??u n = ?? 0 . Une famille est alors libre quand pour toute famille (a1, . . . , an) ? Rn, si (a1, . . . , an) 6= (0; 0; 0) alors a1 ??u 1+a2 ??u 2+a3 ??u 3+· · ·+an ??u n 6= ?? 0 . (b) Si (a1; a2; . . . ; an) = (0; 0; . . . ; 0) alors pour toute famille ??u 1, ??u 2, . . . , ??u n ? (R2)n, a1 ??u 1 + a2 ??u 2 + · · · + an ??u n = 0. C'est evidemment vrai mais cela n'exprime pas la liberte d'une famille.

  • exercice n?4

  • debut du polynome avec le debut du developpement

  • factorisation du polynome

  • racine carree du membre

  • ??u

  • equation

  • relations coefficients-racines


Publié le : jeudi 1 mars 2012
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Universit´ePierreetMarieCurie-Paris6 LM121:Alg`ebre1-CalculVectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH
Exercice n 1:
TEn2-Corrige´ Mercredi 21 mars 2012
Voici quelques erreurs commises dans les questions. n (a)Danslade´nitiondunefamilleli´eecest:ilexiste(a1, . . . , an)R, (a1, . . . , an)60; 0)= (0; −→ −→ −→ −→−→ tel quea1u1+a2u2+a3u3+∙ ∙ ∙+anun= 0. Une famille est alors libre quand pour toute n−→−→ −→ −→ famille (a1, . . . , an)R, si (a1, . . . , an)60; 0) alors= (0;a1u1+a2u2+a3u3+∙ ∙ ∙+anun6= −→ 0 . −→ −→−→2n−→ (b) Si(a1;a2;. . .;an0;) = (0;. . .alors pour toute famille; 0)u1, u2u, . . . ,n(R) ,a1u1+ a2u2+∙ ∙ ∙+anunidevt´esvrntmeemecsiamiarpxenalimepaslalibert´ednue.0C= −→ −→−→ famille. Il faut dire que sia1u1+a2u2+∙ ∙ ∙+anun= 0 alors (a1;a2;. . .;an) = (0;0;. . .; 0). (c)Meˆmeremarque. 3 2 (d)Icilare´ponsetraıˆtelecasdedeuxvecteursdeR, et non pas denvecteurs deR. Il semble −→ 2yavoiraussiuneerreurdeDanscecadrel`alaphrase(a, b)Rtel quea u+b v6= 0 33 avec (u ,v)Rest toujours vraie quand (vu ,)R!ne sont pas tous les deux nuls −→ −→ En effet siu6= 0 ilsuffit de prendre (a, b) = (1,0) et sinon (a, b) = (0,beli´ert1La).edal −→ 2familles´ecrit(a, b)R(a, b)6= (0,0)a u+b v6atdnsiuq=,0ert`i´elecelacart´seirce −→ 2(a, b)R,(a, b)6= (0,0) eta u+b v.= 0 (e)Quefaut-ilcomprendre?Quandetcommentsontx´eslesvecteursu,v,weltee´rssle (a;b;clsse-tliseuanuds?Ondtresitauevraˆtulpisss:eriltoi(?D)pe´eennda;b;c)60; 0)= (0; alors les vecteursu,v,wtnosli´es. 2n Uneformulationdelaliberte´dunefamille(u1, . . . , un)(Rtse)se´lederemilltefartou:pou n (a1, . . . , an) sia1u1+∙ ∙ ∙+anun= 0 alors (a1, . . . , an) = (0, . . . ,0) ((a1, . . . , an)R, a1u1+ ∙ ∙ ∙+anun= 0(a1, . . . , an) = (0, . . . ,0)). Onpeutlexprimerparsacontrapos´ee:pourtoutefamilledere´els(a1, . . . , an) si (a1, . . . , an)6= n (0, . . . ,0) alorsa1u1+∙ ∙ ∙+anun6= 0 ((a1, . . . , an)R,(a1, . . . , an)6= (0, . . . ,0)a1u1+ ∙ ∙ ∙+anun6= 0). Ennlecaracte`relie´decettefamilles´ecrit:ilexisteunefamilleder´eels(a1, . . . , an) telle n que (a1, . . . , an)6= (0, . . . ,0) eta1u1+∙ ∙ ∙+anun= 0 ((a1, . . . , an)R,(a1, . . . , an)6= (0, . . . ,0) eta1u1+∙ ∙ ∙+anun= 0).
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Exercice n 2:
1. [xE, p(x) etq(x)][xE, p(x)] et [xE, q(x)] En effet sixE, p(x) etq(x) alors pour unaquelquonque dansEon ap(a), donc xE, p(x) et pour unaquelconque dansEon aq(a), doncxE, q(x). On a donc bien [xE, p(x)] et [xE, q(x)]. R´eciproquementsi[xE, p(x)] et [xE, q(xAinsitvraies.ce)]eusde´tenossorpx´irp pour unaquelquonque dansE p(ae´´tpoir)ete)ire´vtsere(pee´prre`emiq(a´eriestv)´ee (secondeproprie´te´),doncp(x) etq(x) est vraie, doncxE, p(x) etq(x). 2. [xE, p(x) etq(x)][xE, p(x)] et [xE, q(x)] Supposons quexE, p(x) etq(xrPne.)´nlenousnt´emeadansEtnaiv´erp(a) etq(a). Alorsp(a) est vraie doncxE, p(x) etq(x) est vraie, doncxE, q(x). Ainsi [xE, p(x)] et [xE, q(x)]. Lar´eciproquenestpasvraie:cenestpasparcequelaproprie´te´pest vraie enxet que lapropri´ete´qest vraie enyquex=y. Contre-exemple :E=N,p(x) :x >2 etxest premier,q(x) :xest pair. 3. [xE, p(x) ouq(x)][xE, p(x)] ou [xE, q(x)] On suppose que [xE, p(x)] ou [xE, q(x)]. Soit unaquelconque dansE. Supposons quexE, p(x). Alorsp(a) est vraie doncp(a) ouq(a) aussi. SinonxE, q(x), doncq(a) est vraie doncp(a) ouq(a) aussi. Ainsip(a) ouq(a) est vraie. Lar´eciproquenestpasvraie.Contre-exemple:E=N,p(x) :xest pair,q(x) ;xest impair. 4. [xE, p(x) ouq(x)][xE, p(x)] ou [xE, q(x)] Supposons quexE, p(x) ouq(x). SoitadansEire´tnavp(a) ouq(a). Sip(a) est vraie alorsxE, p(x), sinonq(a) est vraie doncxE, q(x). Ainsi [xE, p(x)] ou [xE, q(x)] R´eciproquementsi[xE, p(x)] ou [xE, q(x)], supposons quexE, p(x). Prenonsl´ele´mentatel quep(a) est vraie.p(a) ouq(a) est donc vraie doncxE, p(x) ouq(x). SinonxE, q(xsnle´´l)P.eronementatel queq(a) est vraie. p(a) ouq(a) est donc vraie doncxE, p(x) ouq(x).
Exercice n 3: e PourunpolynoˆmePon notePdemeAldbeem-rtioctonaflnpolynomialeassoice´.eeLhTe´roe` Gaussse´critdonc e PC[X],deg(P)1[αC, P(α) = 0].
Exercice n 4:
1. Vrai.SixR,x >4x >3. 2. Vrai.SixR,x >3x6= 2. 3. Vrai.SixR,x3x2.
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4. Faux.Contre-exemple :x=3. 5.Faux.Cestuneconditionsusante,pasn´ecessaire.
Exercice n 5: Lare´solutiondelapremie`ree´quationesticienti`erementd´etaille´e.Ondonnejustelese´tapesa` r´ealiserpourlesautres,leraisonnementestlemeˆme! 2 1.Ondivisedabordl´equationpar2pourobtenirz+ (5i+ 3)z+ 146i= 0. On identifie 2 22 ensuitelede´butdupolynˆomeavecled´ebutdude´veloppementde(zα) =z2+α. 2 Cecicorresponddonc`aα=(5i+ 3)/te)2cnoda`α= (16 + 30i)/4 =4 + 15i/2. 2 22 Onobtientdoncl´equation(zα)α+ 146i= 0, soit (zα) =18 + 27i/2. Onchercheuneracinecarre´ede18 + 27i/2. Posonsz=x+iyet cherchonsxety 2 tels quez=18 + 27i/rtpaimieinagreaiomteeludno2.Entiaidentreitnapll,e´ree obtientalorslesyst`emesuivant: 2 2xy=18 2 459  2x==18 + 2 2 27 2xy= 27 2xy=>0. q4 22 4581 2 22 27 45 x+y= 18+ =2y= +18 = 2 2 4 2 On a doncx∈ {3/2,3/2}ety∈ {9/2,9/2}avec la conditionxy >0. Une racine carr´eedumembrededroiteestdonc 3 9i β1= +. 2 2 2 22 2 Lepolynoˆmes´ecritdonc(zα) =β`t(alaneivqu´estiequce,zα)β= (zα1 1 β1)(zα+β1) = 0. Il y a donc deux solutions, qui sont z1=α+β1=37ietz2=αβ1= 2i . Ontrouvebiendeuxsolutionsa`le´quation.Pourve´rierquelasolutionestbienlabonne onpeutsoitv´erierquez1etz2queier´vreostira,t´dpetiuadeonnlieeq´irebtne´vz1 etz2v´etsencieconsioatlerselneibtneire(inac-rnnieivqu(edtnezz1)(zz2) = 2 z(z1+z2)z+z1z2). Ici on a bienz1+z2=5i3 etz1z2= 146i. Unefactorisationdupolynˆomeest2(z2i)(z+ 3 + 7i). 2 2 2.Le´quationeste´quivalente`az(2+i)z+5i(crits´eequi1=0cz(1i/72)) =/46i. Lesyst`emeobtenuest 2 27xy= 2 725 42x= 8= + 4 4 2xy=6 xy=3<0. q 27 252 257 9 2 2 x+y236 == +y== 4 4 2 4 4 Une solution est doncβ1= 23i/2. Lessolutionsdele´quationsontdonc34iet1 +i. Ilyabiendeuxsolutionsquiv´erientlesrelationscoecients-racines:32i+(1+i) = 2iet (32i)(1 +i) = 5i. Unefactorisationdupolynˆomeest3(zi+ 1)(z3 + 2i).
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