Universite Pierre et Marie Curie Paris LM Algebre Calcul Vectoriel Matthieu Solnon Groupe de TD n

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Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6 LM 121 : Algebre 1 - Calcul Vectoriel Matthieu Solnon - Groupe de TD n?11.4 Devoir surveille n?2 - Corrige Vendredi 4 novembre 2011 Exercice n?1 : 1. On definit les vecteurs ??u , ??v et ??w de R3 par leurs coordonees : ??u ? ? u1 u2 u3 ? ? , ??v ? ? v1 v2 v3 ? ? et ??w ? ? w1 w2 w3 ? ? . On peut donc ainsi definir le determinant de ??u , ??v et ??w par det (??u ,??v ,??w ) = u1 ???? v2 w2 v3 w3 ????? u2 ???? v1 w1 v3 w3 ????+ u3 ???? v1 w1 v2 w2 ???? . = u1v2w3 ? u1v3w2 ? u2v1w3 + u2v3w1 + u3v1w2 ? u3v2w1 . 2. La propriete d'homogeneite s'ecrit ?(??u ,??v ,??w ) ? (R3)3 ?? ? R, det (???u ,??v ,??w ) = ?det (??u ,??v ,??w ) et la propriete d'invariance par combinaison lineaire de colonnes peut s'ecrire ?(??u ,??v ,??w ) ? (R3)3 ?(?, µ) ? R2, det (??u + ???v + µ??w,??v ,??w ) = det (??u ,??v ,??w ) .

  • ????h1h2 ·

  • passant par h2

  • propriete d'invariance par combinaison lineaire de colonnes

  • u1 w1

  • ????

  • v1 w1

  • unique droite

  • droite d2

  • unique point


Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Universit´ePierreetMarieCurie-Paris6 LM121:Alge`bre1-CalculVectoriel Matthieu Solnon - Parcours SHI et SPH
Exercice n 1 :
Mercredi 2 mai 2012
Devoirsurveill´en2-Correction
Le´galite´se´crit: 3 2 (u, v)(R),|uv| ≤ kukkvk etle´galit´ealieusietseulementsilesvecteurssontli´es. 3 2 Preuve :Soituetvdeux vecteurs deR. SoittRorsn,consid´eku+tvk= (u+tv)(u+tv). Lesproprie´te´sduproduitscalaireimpliquentque 2 22 22 ku+tvk=uu+ 2t(uv) +t(vv) =kuk+ 2t(uv) +tkvk.(?) 2 Ainsiku+tvkene(´rgeddnocesudemotuntrinˆest) et est toujours positif (c’est un carr´e).Sondiscriminantr´eduitestdonctoujoursn´egatif(sinon,letrinoˆmeseraitn´egatif pourcertainsr´eelst) : 02 22 Δ =(uv)− kuk kvk ≤0. 2 22 Ainsi (uv)≤ kuk kvket commekuketkvksont positifs ceci montre que|uv| ≤ kukkvk. Concernantlecasde´galit´e,silesvecteurssontlie´salorsilexisteunr´eelλtel queu=λv 2 et alors|uv|=|λ||uu|=|λ||u|=kukkvk. 0 Re´ciproquementsi|uv|=kukkvk(duitΔdutrinˆomeidelmircnanie´rtarslo?) est nul. 2 Cetrinoˆmeposse`dedoncuneuniquesolutionλ. On a doncku+λvk= 0. La norme du vecteuru+λvest nulle, ce vecteur est donc nul :u+λv= 0. Les vecteursuetvsont doncli´es.
Exercice n 2 :
On est ici dans le cas d’une transformation de la formez7→az+b`u,oaetbsont des nombres complexes. Il s’agit d’une similitude, et comme 1 3 |a|= +i= 1 2 2
latransformation´etudi´eeestunerotation.Langledecetterotationestdonne´par  ! 1 3π arg +i=. 2 23
1
On cherche alors le centre Ω(ωairtn)iopemmocledextnnsfoatraion,rmat-ta`csevee´d-ri le´quation  ! ! √ √1 33 31 3 ω= +i ω+ 1 ++ +i . 2 22 22 Ainsi  ! ! ! √ √√ √ 1 31 33 31 3 ω+i ω=i ω+ += 1 +i , 2 22 22 22 Et donc 3 31 3 1 ++ +i 2 22 ω=1 3 i 2 2  ! ! ! √ √3 31 31 3 ω+= 1+ +i+i 2 22 22 √ √√ √ 1 33 39 13 33 ω= +i+ +i+i+i2 24 44 4 4 4  ! √ √ 1 3 53 3 ω=+ + +i . 4 22 4
Remarque :ardelartit`apperaed´disnorpsenetaetbotnanxelri´erle´eerltsuOpnuevt solutiontrouve´e!
Exercice n 3 :
1.Onr´esoudlesyst`emeλu+µv`u=0,oλetµso.Alssiinserbee´redtnmons   3λ+ 3µ= 0λ=µ 2λ= 0λ= 0.   λ+µ= 0λ=µ Laseulesolution`acesyste`meestdonclecouple(0,0). Les vecteursuetvsont donc lin´eairementinde´pendants. Remarque :On aurait aussi pu calculer le produit vectoriel deuet dev. S’il est nul, lesvecteurssontcoline´aires,sinonilsnelesontpas.Icilesyst`emeestplusrapide! 2.Onr´esoudlesyst`emeλu+µv+νw=o`0,uλ,µetνdtnoonsesiAinsels.sr´embre  λ+µ= 0λ=µλ=µ µ+ν= 0µ=νµ=ν .  λ+µ+ 2ν= 0λ+µ=2ν0 = 0(L3L3L1L2) Cesyst`emeposs`ededoncaumoinsunesolution,parexempleletriplet(1,1,1) (u+vwrtpa.L!)sl`e=´eed(mafaellipeapensrdoievrcvuopno,0issuatiau, v, w) estdoncli´ee.
Exercice n 4 :
2
1. UnpointN(ed´eesodnnocrox, y, z) appartient au planPsi et seulement si la famille (AN , u, vcse-ta`tsile´,e)e(tedistnmeleeutsieesir-dAN , u, v) = 0. Calculons ce d´eterminant: x11 1x01 1 C3C3C2 y22y24 =  z12 3z2 32 Ond´eveloppeparrapport`alepremi`ereligne,led´eterminantvautdonc: 24y4 (x1)= 8x8 + 2y4z+ 8 = 8x+ 2y4z .    32z22 Unee´quationcart´esiennedePest donc 4x+y2z= 0. Remarque :nvseurrentari´ebmonedreresesuerseuqleOeunp´tnetivecaftmeli coordonne´esdeA.auqenoituortee´vanntl´ulen 0 2.Unvecteurnormala`Pest (par exemple) le vecteurn2s(een´onrdooecd,3,1). La droiteDereeparig´ncdistdonet passe parB. Un pointMorconndosee´de(x, y, z) −−→ appartient`aDsi et seulement siBMetntnuestemele´iaers,snoctloni-diresiecest-`a silexisteunre´elλtel queBM=λnqeiuc,nt`avaleequiest´OM=OB+λn. On obtientdonclarepr´esentationparame´triquesuivante: x=2 + 2λ y= 33λ . z= 1+λ On utilise ensuite par exempleλ=zysusrave´edemt`noitauqes1rairopru carte´siennes: x2z= 0+ 4 . y+ 3z6 = 0 Le triplet (0,0,ndecesysssolution)etsap0,eme`tDne passe donc pas par 0 et n’est pas une droite vectorielle. Remarque :eruesvne´iratnuqdenombreuseserrelicanemeve´tretinpOtieuauciifss lescoordonn´eesdeBcsraitnoeinn´tset`emusysequaed´stnosdnoitulo.euo´vsert
Exercice n 5 :
1 442 142 12 L2L23L1L3L3+ 2L1 Δ =37 10019 719 7. = =  2 532 53 0131 End´eveloppantparrapporta`lapremi`ereligneonobtientalors 19 7 Δ = 1×= (19)(1)7×13 =72.   131 0 ConcernantΔonobservequeladeuxi`emecolonnedude´terminantestledoubledela premie`re,donclesvecteurscorrespondantauxcolonnesformentunefamilleli´ee.Ainsi 0 Δ =0.
3
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