Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

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Avec correction. Mars 2012
Bac Blanc en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Extrait

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Terminale S3

BAC BLANC de Mathématiques Duréeresheu4:

Exercice 1 (5points)

Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : 0 x yx # y e 1 1 e ´ e 1 e . Pourtous réelsxety, . 1 %x e1 x e 1.Démontrer que pour tout réelx, . n x nx ( e ! 1 e 2.Démontrer que pour tout réelxet pour tout entier natureln, .

Partie B %nx 1 e u1 dx ò 0 n % x 1#e On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturelnpar :. u#u11 0 1 1. a.Montrer que. u 0 b.Calculeru.. En déduire 1 u ³ 0 n 2.Montrer que pour tout entier natureln, . %n 1%e u#u1 n#1 n n 3. a.Montrer que pour tout entier natureln.non nul, %n 1%e u£ n n b.En déduire que pour tout entier natureln.non nul, 4.Déterminer la limite de la suite (u n ).

29 mars 2012

Exercice 2 (5 points) %x 1 e I1dx ò 0 2%x % 2 10 Le but de cet exercice est de déterminer une valeur approchée àprès de l’intégrale :. % x e f ( x ! 1 2 % x 1. a.Étudier les variations de la fonctionf définie parsur l’intervalle [0 ; 1]. 1 1 £ f ( x ! £ e2 b.Montrer que, pour tout réelx.de l’intervalle [0 ; 1], on a 11 % x2 J 1 ( 2 # x ! e dx K 1 x f ( x ! dx ò 0 ò 0 2. SoitJetKles intégrales définies paret . 4 J13% e a. .Au moyen d’une intégration par parties, prouver que 1 1 £K£ f ( x ! 3e6 b. obtenu précédemment pour démontrer que.Utiliser un encadrement de

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c. Démontrer queJ+K= 4I. % 2 10 d. Déduire de tout ce qui précède un encadrement deIprès, puis donner une valeur approchée à deI. Exercice 3 (5 points) Obligatoire Obligatoire Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué +1 si la réponse est exacte, – 0,5 pour une réponse inexacte et 0 en l’absence de réponse. (O;u,v) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct. iq z11%2i#e q 1.Soit (E) l’ensemble des pointsMd’affixezun nombre réel., étantvérifiant : a.(E) est une droite passant par le point d’affixe 2 – 2i. b.(E) est le cercle de centre d’affixe –1 + 2iet de rayon 1. c.(E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2iet de rayon 1. 5 d.(E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2iet de rayon.

2.Soitf l’application du plan qui, à tout pointMd’affixezassocie le pointM’ d’affixez’ tel que z'1 %iz%2i . a.fest une homothétie. b.Le point d’affixe –1 – 2iest un antécédent du point d’affixei. p % 2 c.fest la rotation de centre le point d’affixe 1 +i.et d’angle p % 2 d.fest la rotation de centre le point d’affixe –1 –iet d’angle.

z % 1 # i 1 z # 1 # 2i 3.Soit (F) l’ensemble des pointsMd’affixezvérifiant . Soient les pointsA,BetCd’affixes respectives 1 –i, –1+ 2i et–1 – 2i. a.Cest un point de (F). b.(F) est la médiatrice du segment [AB]. c.(F) est la médiatrice du segment [AC]. d.(F) est le cercle de diamètre [AB].

2 z#z17#i 4.. Cette équationOn considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation admet : a.Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. b.Une solution réelle. c.Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. d.Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

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æ 1#i3 z1 %3 ç ¸ i è ø 5.Un argument deest égal à a b æ p p p % 3 % % ç 6 è 3 4 ø

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c 5p 6

d p % ´p 6

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Spécialité

Exercice 3(5 points) Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Spécialité

Partie A On suppose connu le résultat suivant : Une applicationfdu plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe z' 1 az # b aΣ* bΣ si et seulement sif, oùadmet une écriture complexe de la formeet .

Démonstration de cours: on se place dans le plan complexe. Démontrer que siA,B,A’etB’sont quatre points tels queAest distinct deBetA’est distinct deB’, alors il existe une unique similitude directe transformantAenA’etBenB’.

Partie B (O;u,v) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal directon considère les pointsA,B,C,D d’affixes respectives z1 %3%i z11%i3 z13#i z1 %1#i3 A BC D  ,, et.

1. a.Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexesz A ,z B ,z C etz D . b.Construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetD(on prendra pour unité graphique 2 cm). z B z A c.Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient. En déduire la nature du quadrilatèreABCD. p %i 3 z'1e z#2 2.On considère la similitude directeg.dont l’écriture complexe est

a.Déterminer les éléments caractéristiques deg.

b.Construire à la règle et au compas les images respectivesE,FetJpargdes pointsA,CetO.

c.Que constate-t-on concernant ces pointsE,FetJ?

Le démontrer.

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Exercice (5 points) Partie A ù é 0 ;# ¥ f(x) 1 ax # (bx # c)lnx û ë Soit la fonctionfpar : définie suraveca,betcdes réels. La courbe (C) def est donnée ci-dessous. f(2)12%3 ln 2 a1c11 b1 %2 En utilisant ce graphique et en sachant que, justifier que l’on aet . Partie B ù é 0 ;# ¥ g(x) 1 x # (1 % 2x)lnx û ë On considère alors la fonctiong.par :définie sur 1. a.Déterminer la limite degen 0. #¥ b.Déterminer la limite degen . 2. a.Déterminer la fonction dérivée deg. 1 % x ù é 0 ; # ¥ % 2 lnx x û ë b.Etudier, pourx. En déduire le signe dedans ,et celui dele signe de g'(x) et les variations deg. 3.Dresser le tableau complet des variations deg. y x D 4.d’équation .Soit la droite (1 % 2x)lnx 1 0 ¡ a.donner une interprétation graphique desl’équation etRésoudre dans solutions. D b.Etudier la position de la courbe représentative degpar rapport à. Déjà fini !!!

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