Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

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Intégration
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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• Langue: Français

Extrait

Mathématiques

I) Intégraled'une fonction:

1. Notiond'aire sous une courbe:

Ch...: Intégration

O ; OI; OJ désigne un repère orthogonal du plan.  On pose donc i= ;  j= et ij=OK . OI OJ   On appelle .................................................. l'unité de mesure des aires et A(OIJK) = 1 u.a Remarque: OIJK peut être un carré si ...

Propriété:

Terminale S

Si ƒ est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b], alors le domaine D, situé sous la courbe représentative de ƒ admet une aire (exprimée en u.a)

On dit que D est le domaine situé sous la courbe C pour indiquer que D est l'ensemble des points M(x;y) tel que: axb et 0yfx .

2. Intégraled'une fonction continue et positive: a) Définition:

P est un plan muni d'un repère orthogonal, a et b sont deux réels tels que ab . La fonction ƒ est continue et positive sur l'intervalle [a;b] et C ƒ  est sa courbe représentative dans ce repère. L'unité d'aire de référence est l'aire du rectangle OIJK.

On appelle intégrale de ƒ de a à bl'aire du domaine D défini par: b ∫ D= {Mx ; y∈P/axb et0yfx} . On note l'aire de ce domaine fxdx . a Les réels a et b sont les bornes de l'intégrale.

Remarques: ➢ Le symbole de l'intégrale rappelle qu'elle est obtenue comme limite d'une somme d'aires de rectangles. ➢ fxdx est l'aire d'un rectangle de dimensions f(x) et dx . ➢ La variable x est dite muette car elle peut être remplacée par n'importe quelle lettre.

b) Cas d'une fonction constante positive continue sur [a;b]:

Soit   un repère  orthonormé du pque .  O ; i ;j lan tel ∥i∥=∥j∥=1 b ∫ Posons fx=k , k réel positif, sur [a;b]. On a ainsi: k dx=b−ak car il suffitde voir qu'il y a un rectangle. a

Cas particulier:si ƒ est nulle sur [a;b], alors ...

c) Cas d'une fonction affine positive sur [a;b]:

Soit fx=m xp continue et positive sur [a;b].

b ∫ Ainsi, fxdx = aire (A'B'BA) a Or, l'aire de ce trapèze est égale à: ... D'où, b ∫ fxdx = ... a

d) Cas des fonctions positives en escalier supposée positive sur [a;b]:

Les fonctions en escaliers sont des fonctions tels qu'il existe des réels a ;a ;a ;...; a tels que: 0 1 2n a=a et aa...a avec a=b . De plus, la fonction ƒ est une constante k sur chacun des intervalles 0 0 1n n i [a ;a] (  ). i i1 0i n−1 On a alors, en sommant les aires des n rectangles, b n −1 ∫ ∑ i1 −ak . fxdx= a i i a i=0

3. Extensionà une fonction de signe quelconque:

a) Intégrale d'une fonction continue et négative sur [a;b]:

La fonction ƒ est une fonction continue et négative sur [a;b] etC ƒ dans un repèreest sa courbe représentative de ƒ orthogonal. D est le domaine compris entreC f , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b .

Dans ce cas, on dit que l'intégrale de a à b de ƒ est l'opposée de l'aire de D. b ∫ On note fxdx=−aireD . a 1 ∫ Exemple: Calculer −2x−2dx . 0 ............................................................................................................................................................................................................................

b) Intégrale d'une fonction continue et de signe non constant sur [a;b]:

Pour englober les cas où f0 et f0 , on peut dire que l'intégrale de domaine situé entre Cf et l'axe des abscisses (aire comptée positivement si

Définition:

Si ƒ est continue et de signe non constant sur [a;b], alors l'intégrale de a à b est la somme des « aires algébriques » des domaines situés entreC f et l'axe des abscisses: b ∫ 1 2 3 fxdx=AD−ADAD . a

a à b est « l'aire algébrique » du f0 et négativement si f0 ).

II) Propriétés de l'intégrale:

1. Relationde Chasles:

Si ƒ est une fonction continue sur un intervalle I, alors, pour tous réels a ,b et c de I, b c b ∫ ∫ ∫ fxdx=fxdxfxdx a a c

Démonstration: ............................................................................................................................................................................................................................ Exemple: { x3si x∈[−2;0] ƒ est la fonction définie sur [-2;1] par:. 3−x² si0x1 a) Démontrer que ƒ est continue sur [-2;1]. 1 ∫ b) Calculer fxdx . −2 ............................................................................................................................................................................................................................ 2. Linéarité:(admise)

Si ƒ et g sont deux fonctions continues sur I, alors, pour tous réels a et b de I et pour tout réel  ,

b bbb b ∫ ∫∫∫ ∫ ● fgxdx=fxdxgxdx ● fxdx=fxdx a aaa a 1 2 ∫ Exemple: Calculer I= x5x−3dx . 0 ............................................................................................................................................................................................................................ 3. Positivitéet ordre:

Soient ƒ et g deux fonctions continues sur [a;b]: b ● Si fg sur [a;b], alors: ∫ ● Si ƒ est positive, alors fxdx0 b b ∫ ∫ a fxdxgxdx b a a ∫ ● Sifest négative, alors fxdx0 a Démonstration: ............................................................................................................................................................................................................................ 4. Valeurmoyenne d'une fonction continue sur un intervalle [a;b]:

Soit ƒ une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] (avec a≠b ). b 1 ∫ La valeur moyenne de la fonction ƒ sur [a;b] est le réel: =fxdx . b−a a

Interprétation graphique:(Pour ƒ continue etpositive) Dans un repère orthogonal, Cƒ est la courbe représentative de la fonction ƒ co etpositiveet on note  la valeur moyenne de ƒ sur [a;b]. b ∫ Alors fxdx= b−a . L'aire du domaine situé sous la courbe C est é a l'aire du rectangle de dimensions  et b−a . Si l'on note gx= , alors les aires sous les courbes de ƒ et de g sont éga

b ∫ Ici sur la figure ci-contre, fxdx=8 . a Tracer le rectangle de dimension  et b−a .

Propriété:Inégalité de la moyenne Si ƒ est une fonction continue sur [a;b] telle que mfM , alors on a: b ∫ mb−afxdxMb−a a Démonstration: .............................................................................................................................................................................................................................

Application:Majoration d'une intégrale t a) Démontrer que pour tout réel t∈[0;1],t . 1t² 1 t1 ∫ b) En déduire que dt . 1t²2 0

Source schémas: !! Les courbes illustrant le I) jusqu'au 3. ont été prises sur le cours de G.COSTANTINI- site Bacamaths.!!