Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première - Baycentre

Kdouh

Description

Avec correction. Dsn4-barycentre
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première SSI

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Extrait

DS N°4 MATHEMATIQUES BARYCENTRE 1°SSI 2010-2011

Exercice 1 4 points les points A ( 3 ; 2 ! et B% . 1 ; 4 Dans un repère orthonormé ( O;i,j ! du plan, on considère ( !  On pose alors G1Bar { A, 3 ;B,%2 } et H1Bar { A;, 2 B,%3 } . ( ! ( ! ( ! ( !

1°. Calculer les coordonnées des points G et H .

2°. Vérifier que les segments [AB] et[GH] ont le même milieu.

Exercice2inpots4:  Dans un repère ( O;i,j ! du plan, on considère les points A3 ;%2 ,B et 4 ; 2 C . 5 ;1 ( ! ( ! ( ! 1°. Calculer les coordonnées :  a. du centre de gravité G du triangle ABC ;  b. de H1Bar { A,1 ;B,%2 ;C, 3 } ( ! ( ! ( ! 2°. Déterminer les coordonnées du point D tel que H1Bar { A,1 ;B,%2 ;D, 2 } . ( ! ( ! ( !

Exercice3iotns:7p

 Soit ABC un triangle tel que AB 1 7cm ; BC 1 9cm et AC 1 12cm ; on note I le milieu de [AB] , M le milieu de [AC] , L le milieu de [MC] , N le milieu de [AM] et J , K , les deux points de[BC]  vérifiant BJ1JK1KC .

1°. Faire une figure, puis exprimer sans justification les points I , J , K , L , M et N comme barycentres  des points A , B ou C .

2°. Soit G1Bar { A, 2 ;B;, 2 C,1 } que. Montrer G est l’intersection des droites AJ et IC . ( ! ( ! ( ! ( ! ( !

3°. Soit H l’intersection des droites AK et BL . Exprimer H comme barycentre de A , B et C . ( ! ( !

1 ( a ! ( b ! ( g ! Principe : il faut considérer le barycentre partiel et choisir les réels G Bar { A, ;B, ;C, }  en « visant » bien pour qu’il appartienne aux droites adéquates.

Exercice4:po5tsin

 Soit ABCD un carré. Pour tout point M du plan, on pose V1 %MA%MB

#MC

#MD%BD .

1°. Montrer que le vecteur V (est constant et donner sa valeur. V ne dépend pas du point M ).

9MB#MD%MC 2°. Déterminer l’ensemble 1 des points M du plan tels que

1 V .

3°. Déterminer l’ensemble 9 2 2 des points M du plan tels que MB#MD%MC

4°. Construire ces deux ensembles sur une figure.

1MA#MC .

Exercice 1 1. Dans un repère ( O;i,j ! , les coordonnées de G1Bar { A, 3 ;B,%2 } sont ! ( ! ( ! 3 3 2 ( 1 ! 3´y%2y3´2%2´4 3´x A %2x ´ % ´ % A B B y1 %1 1 2 x1 1 1 11 et G G 3% 3 2 1 %2 1  De même , le coordonnées de H1Bar { A, 2 ;B,%3 } ( ! ( ! 2´x%3x 2´3%3´ ( %1 ! 2´y%3y2´2%3´4 A B A B x1 %1 1 11 1 H 9  et y G 8 2%3%1 2%3%1 1 (( ! % ! 1 (( ! % ! 2. Soit I le milieu du segment [GH] , on a : G Bar { A, 3 ;B, 2 } et H Bar { A;, 2 B, 3 } , H1Bar A%2 ;B d’après l’homogénéité des barycentres , si bien que , 3  on a aussi { ( , ! ( ! } ( ! ( ! 1 ( ! ( % ! ( % !! ( 1 ( !( ! I1Bar { G,1 ;H,1 } Bar { A;, 3 B;, 2 A;, 2 B, 3 } Bar { A,1 ;B,1 } ce qui signifie  que par associativité des barycentres, ce qui prouve que le point I est aussi le milieu du segment [AB].  Ainsi, Les segments [AB] et [GH] ont le même milieu. Remarque:on peut aussi calculer directement les coordonnées des milieux de ces segments ; on tombe  dans les deux cas sur le point I . 1; 3 ( ! Exercice 2 1. Dans un repère ( O;i,j ! , les coordonnées de G1Bar { A, 3 ;B,%2 } sont ! ( ! ( ! x#x#x 3#4#5 y#y#y %2#2#1 1 A B G A B C x1 1 14y1 1 1 G et G 3 3 3 3 3  De même , le coordonnées de H1Bar { A, 2 ;B,%3 } ( ! ( ! 1´x%2x#3x 1´3%2´4#2´ 5 1´y%2´y#3y %2%2´2#3´1 3 A B C A B C x1 1 15 ety1 %1 1 H H 1%2#13 2 %2#23 2 æ %3 ö D ( x y ! H1Bar { ( A,1 ! ; ( B,%2 ! ; ( D, 2 ! } H5 ; 2. On pose D ; D et. Comme ç ¸ è 2 ø 1´x%2x#2x 1´3%2´4#2x A B C  On a : x H 1 1 12x%5 et 1%2#2 1 1´y%2´y#2y %2%2´2#2´y A B C D y H 1 1 12y%6 1%2#2 1 3 9 9  D’où 2x % 5 1 5 Û 2x 1 10 Û x 1 5 et 2y%6Û1 % 2y1 Ûy1 2 2 4 Remarque: on peut aussi montrer que D1Bar { A,%1 ;B, 2 ;H,1 } ,en partant de la définition ( ! ( ! ( !  De D , et calculer ses coordonnées à partir de cette relation. Exercice 3 1.La figure est très simple .en regardant bien le rapport de distance , on trouve sans problème I1Bar { A,1 ;B,1 } J1Bar { B;, 2 C,1 } K1Bar { B,1 ;C, 2 } ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! 1CM1Bar { ( A,1 ! ; ( C,1 ! } N1Bar { ( A, 3 ! ;C,1 } L Bar { ( A,1 ! ; ( , 3 ! } ( ! G Bar { A;, 2 B, 2 ; ,1 } J1Bar ( B ! C associativité, on dé 1 par 1 (( ! ( ! C ! et { , 2 ; ( , ! } duit que : 2. On a : G1Bar { A, 2 ;J, 3 } , donc GÎAJ ! . ( ! ( ! ( ( ! ( ! ( ! 1 ( !( !  On a : G1Bar { A, 2 ;B;, 2 C,1 } et J Bar { B;, 2 C,1 } par associativité, on déduit que : G1Bar { I;, 4 C,1 } , donc GÎCI .On déduit que GÎAJ et GÎCI , donc GÎAJÇCI . ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! .On considère le point H1Bar Aa;B,b;C;g 3 { ( , !! ( ! ( }  Si ÎAK , alo { ( ! ( ! H rs K1Bar B,b;C;g } , donc g12b . ( !  On veut qu’il appartient aussi à BL donc L1Bar { A,a; ( C,g ! } et on a : g13a . ( ! ( !  On déduit que H1Bar { ( A, 2 ! ; ( B, 3 ! ; ( C; 6 ! }

 Vérification  On a : H1Bar { A;, 2 B, 3 ;C; 6 } et K1Bar { B, 3 ;C; 6 } , par associativité , on en déduit ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! H1Bar { A, 2 ;K, 9 } soit H ! ÎAK . ( ! ( ! (  On a : H1Bar { ( A, 2 ! ; ( B, 3 ! ; ( C; 6 ! } { ( ! ( ! et L1Bar B, 2 ;C; 6 } , par associativité , on en déduit H1Bar { B, 3 ; ( L,8 ! } soit HÎBL . D’où H1Bar { A, 2 ;B;, 3 C; 6 } . ( !( !( !( ! ( ! Exercice 4 1. on a : V1 %MA%MB#MC#MD%BD1AM#MC#BM#MD%BD1AC#BD B%D A1C  donc V1AC pour tout point M. 2. Soit G1Bar { B,1 ;D,1 ;C,%1 } , qui existe et unique puisque 1 # 1 % 1 1 1 ¹ 0 ( ! ( ! ( !  D’après l’égalité de réduction et GB#GD%GC10 MB#MD%MC1MG#GD#MG#GB%MG%GC12MG ( #GD#GB%GC ! 1MG .  En particulier , pour M1B , on obtient : BB#BD%BC1BGÛBD#CB1BGÛCD1BG1BA  Donc G1A G est confondue avec A .  l’ensemble 9 1 des points M du plan tels que MB#MD%MC1VÛMG1ACÛMG1AC . 9  Ainsi 1 est le cercle de centre A et de rayon AC; il passe par C. puisque G est confondue avec A. 3. Soit H1Bar { B;, 2 D,1 ;C,%1 } ui existe et unique puisque 2#1%112¹0 . q ( ! ( ! ( !  D’après l’égalité de réduction , 2MB#MD%MC12MH2 pour tout point M; puisque GB#GD%GC1 0 .  En particulier , pour M1B , il vient BD%BC12BHÛCD12BHÛ2BH1AB  Donc H est le milieu de [AB]. I1Bar { ( A,1 ! ; ( C,1 ! } 1m [ AC ]  Soit de même , donc MA#MC12MI . Û 1 Û 1 Û 1  2MB#MD%MC1MA#MC2MH2MI2MH2MIMI MH  Ainsi 9 2 est la médiatrice du segment [HI] . 4. Trop facile !  Exercice 3. Exercice 2. C 9 1

9 (

D

A

I

H

C

B

A

N

M

I

L

G

H

K

J

B

Annexe exercice 2

A

 Annexe exercice 2

A

B

B

C

C

DM N°4 MATHEMATIQUES BARYCENTRES 1°SSI 2010-2011

Exercice 1  Soient A et B deux points distincts du plan. 1. Quel est l’ensemble 9 des points M du plan tels que 2MA#MB1AB ?

2. Quel est l’ensemble S des points M du plan tels que 2MA#MB13MA ? vecteurs et soient colinéaires ? 3. Quel est l’ensemble D des points M du plan tels que les 2MA#MB AB 4. Sur une même figure, représenter les ensembles 9 , S et D .  On prendra AB = 6 carreaux. Exercice 2  Soient ABCD un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].  On appelle K, L et M les points tels que : KA1 %2KB  ; LC1 %2LD LM1MK 1. Faire une figure. { ( ,1 ! ; ( , 2 ! ; ( ,1 ! ; ( , ! } 2. On pose G1B C DBar A 2 .  a. En associant les points judicieusement, montrer que G est le milieu de [KL].  b. À l’aide d’une autre association, montrer que G, I et J sont alignés.  Préciser la position du point G sur la droite (IJ).  c. Où se situe le point G sur la figure ?

Exercice 3  Soient A, B et C trois points non alignés du plan. On pose I1Bar { B,1 ;C, 2 } . ( ! ( !  La parallèle à (AC) passant par I coupe le segment [AB] en J. 1. Faire un dessin 2. Montrer que I1Bar { B,1 ;A, 2 } . ( ! ( ! 3. En quel point la parallèle à (AB) passant par I coupe-t-elle le segment [AC] ?  Justifier la réponse.

Exercice 4 uuu uuu 1 AP1 %AC  Soient ABC un triangle non plat et M, N, P trois points tels que AM13AB  . BN1BC 4 1. Exprimer chacun des points M, N et P comme barycentre de deux des sommets du triangle ABC affectés  de poids entiers. 2. Prouver que les droites (AN), (BP) et (CM) sont concourantes. a g ( ! ( ! ( !  On pourra chercher à déterminer trois réels , b queet tels G1Bar { A,a;B,b;C,g }  appartienne à chacune de ces droites ... et utiliser pour cela les résultats de la première question. Exercice 5 a  Soient A, B et C trois points non alignés. Pour et b deux nombres réels tels e a # b 11 qu ,  on définit H1Bar { A,a;B,b } et F1Bar { C,a;A,b } , puis G le centre de gravité ( ! ( ! ( ! ( !  du triangle AHF.

1. Montrer que G1Bar { A;, 2 B,1% a;C,a } pour tout a ÎR . ( ! ( ! ( !

a 2. Exprimer le vecteur AG .en fonction du réel

( a 3. On pose I1Bar { A, 2 ! ; ( B,1 ! } . Exprimer le vecteur IG en fonction du réel .

a 4. Quel est le lieu des points G lorsque décrit R ? Le construire sur une figure.

Exercice 1 1.

AB  ce qui montre que E 1 est le cercle de centre G et de rayon 3

 ce qui montre que E2 est la médiatrice du segment [AG]. 3.

4. Exercice 2

 Enfin signifie que M est le milieu de [KL]. LM1MK 2.

 si bien

 Ainsi

ue G est le milieu de [KL], soit G = M.

E3 est la droite (AB).

par homogénéité des barycentres.