Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première - 13 septembre 2010

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Description

Avec correction. Ds du 13 septembre 2010
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

Lundi 13 septembre 2010. MATHEMATIQUES. 1S1 et 1S2. 3 h. CALCULATRICE INTERDITE LES EXERCICES SERONT FAITS SUR DES FEUILLES SEPAREES. EXERCICE 1. Rappels utiles : à recopier et compléter. 1(a – b)² = …Pour tous réels a et b :2a étant un réel positif :( a)² = … A =16 - 67 etB =7%3. Calculer A² et B². Que peut%on en déduire pour A et B ? EXERCICE 2. On considère un carré ABCD de côté 8 cm. A MB Soit M un point du segment [AB], N de [BC], P de [DC] et Q de [AD]. On suppose de plus que AM = BN = CP = DQ = x. N 1.On note S(x) l’aire du carré MNPQ en fonction de x. Donner l’ensemble de définition I de la fonction S et calculer S(x). Q 2.Vérifier que, sur I, S(x) = 2(x%4)² + 32. a.En déduire la valeur minimale de S et la valeur de x pour laquelle elle est atteinte. D PC b.Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’aire du carré MNPQ vaut 50 cm². EXERCICE 3. 3x² + 5x + 2 f est la fonction définie sur IR\{−2 ; 2} par f(x) =(Forme A). x² - 4 1.Montrer que f(x) peut aussi s’écrire sous chacune des formes suivantes : Forme B:Forme C:Forme D : 3x 1(x + 1)(3x + 2)5x + 14 f(x) =− f(x)= f(x)= 3 + x - 2x + 2x² - 4x² - 4 2.Calculer : f(0) ; f(2 ) ; f(−2) ; f(−1) 3.Résoudre chacune des équations ou inéquations suivantes en indiquant pour chacune d’elles la forme de f utilisée : a.f(x) = 0 b.f(x) = 3 c.f(x) 0 ≤ EXERCICE 4. Comparer un réel non nul x et son inverse. EXERCICE 5. | | f est la fonction définie par f(x) =x(1- x)etC f j ).i ,est sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; I est le point de coordonnées (1/2 ; 0) 1.Déterminer le domaine de définition de la fonction f. 2.M étant un point deC f , calculer la distance IM. 3.En déduire la nature deC f .

DS du 13/09/10. Corrigé. EXERCICE 1 . Pour tous réels a et b : (a – b)² = a² − 2ab + b²a étant un réel positif : (a )² = a A =16 - 67 etB =7%3. Calculer A² et B². Que peut%on en déduire pour A et B ? A² = (16 - 67 )²= 16%7= (et B²6 7%3)² =7²%6 7+ 9 = 16%6 7. A² = B² donc A et B sont égaux ou opposés. or, par définition d’une racine, A > 0 et B < 0 car7< 3donc A =%B. EXERCICE 2. Données : ABCD est un carré de côté 8 cm donc AB = BC = CD = DA = 8 cm A MB MÎ[AB], NÎ[BC], PÎ[DC] et QÎ[AD]. AM = BN = CP = DQ = x. S(x) est l’aire du carré MNPQ N  AM= x et AB = 8 et MÎ[AB] donc MB = 8%x et de même, NC = PD = QA = 8%x. Q 1. Donner l’ensemble de définition I de la fonction S et calculer S(x). I = [0 ; 8]car : MÎ[AB] donc 0£AM£AB c’est à dire 0£x£8 D PC S(x) = MN²or, d’après le théorème de Pythagore dans le triangle BMN rectangle en B MN² = MB² + BN²par suite :S(x) =(8%x)² + x² S(x) = 2x²%16x + 64 Doncx  I ,S(x) = 2x²%16x + 64 2.Montrons que sur I, S(x) = 2(x%4)² + 32 : ceci est vrai, en effet : 2(x%4)² + 32 = 2(x²%8x + 16) + 32 = 2x²%16x + 64obtenu précédemment. a. En déduire la valeur minimale de S et la valeur de x pour laquelle elle est atteinte. S(x) est la somme de deux carrés donc S(x) est minimale quand chacun des deux est le plus petit possible. 32 est une constante donc la valeur de S(x) dépend de (x%4)² dont la valeur minimale est 0 quand x = 4 donc :pour x = 4,S(x) prend sa valeur minimale 32 cm².  Ou encore : 0,  32      :x  I, 2x  4  x  I, 2x  4  32  32,donc 32 est un minorant de S(x), et S(4)=32 Ainsi 32est le minimum de S sur I, atteint pour x=4. b. Déterminons les valeurs de x dans I telles que S(x) = 50. C’est à dire résolvons dans Il’équation : S(x) = 50Û2(x%4)² + 32 = 50Û 2(x%4)² = 18Û (x%4)² = 9Û x%4 =%3 ou x%4 = 3Ûx = 1 ou x = 7  L’ensembledes solutions de l’équation dans I est {1 ;7} Ainsiou x = 7 cm, l’aire du carré MNPQ vaut 50 cm².quand x = 1 cm EXERCICE 3. 3x² + 5x + 2 f est la fonction définie sur IR\{−2 ; 2} par f(x) =(Forme A). x² - 4 1.Montrer que f(x) peut aussi s’écrire sous chacune des formes suivantes : 3x 13x(x + 2) - (x - 2)3x² + 6x - x + 23x² + 5x + 2 Forme B= f(x)= =: − = x - 2x + 2(x - 2)(x + 2)x² - 4x² - 4 (x + 1)(3x + 2)3x² + 2x + 3x + 23x² + 5x + 2 Forme C := == f(x) x² - 4x² - 4x² - 4 5x + 143(x² - 4) + 5x + 143x² + 5x + 2 Forme D :3 += == f(x) x² - 4x² - 4x² - 4 2.Calculer : f(0) ; f(2 ) ; f(−2) ; f(−1) 2 3´2 + 5+ 52 88 + 52 + 22  f(0)= =−1/2 f(2 ) == =− - 42 - 4- 22 3 - 5 + 2 f(−2) n’existe pas car −2Ïf(−1) =IR\{−2 ; 2}= 0 1 - 4

3.Résoudre chacune des équations ou inéquations suivantes en indiquant pour chacune d’elles la forme de f utilisée : a.f(x) = 0 avec la forme C : (x + 1)(3x + 2)  f(x)= 0Û =0Û(x + 1)(3x + 2) = 0Ûx + 1 = 0 ou 3x + 2 = 0Ûx = −1 ou x = −2/3 x² - 4 b.f(x) = 3 avec la forme D : 5x + 145x + 14  f(x)= 3Û= 33 +Û0 =Û5x + 14 = 0Ûx = −14/5 x² - 4x² - 4 c.avec la forme C :f(x) 0 ≤ (x + 1)(3x + 2)(x + 1)(3x + 2)  f(x)0Û 0Û 0 ≤ ≤ ≤ x² - 4(x + 2)(x - 2)  àl’aide d’un tableau donnant les signes de x + 1, 3x + 2, x + 2 et x – 2 on obtient : f(x)0 quand xÎ]−2 ; −1]È[−2/3 ; 2[ ≤ EXERCICE 4. Comparer un réel non nul x et son inverse. 1 Méthode 1 : on étudie, pour tout réel x non nul, le signe de d = x −. x x² - 1(x - 1)(x + 1) d == .Un tableau de signe nous permet de conclure que : x x 1  pourxÎ]−¥; −1[È]0 ; 1[, d < 0 donc x < x 1  pourxÎ]−1 ; 0[È]1 ; +¥[, d > 0 donc x > x 1  pourx = −1 ou x = 1, d = 0 donc x = x 1 Méthode 2 : On trace les courbes représentatives des fonctions f(x) = x et g(x) =et on étudie leurs positions relatives. x y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 01 23 4 x -1 -2 -3 EXERCICE 5. | | f est la fonction définie par f(x) =x(1- x)etC f i ,est sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;j ). I est le point de coordonnées (1/2 ; 0) 1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f. f(x) existe à condition que x(1%x)³0 y à l’aide d’un tableau de signes, on obtient : xÎ[0 ;1] donc D f  = [0 ;1] 1 2. M étant un point deC f , calculer la distance IM. Soit M(x ; y) un point deC f , on sait alors que xÎD f  et y = f(x) I x 0 1 IM² = (x%1/2)² + (f(x)%0)² = x²%x + ¼ + f(x)² = x²%x + ¼ + x%x² = ¼ donc IM = ½car IM > 0 3. En déduire la nature deC f .  IM= ½ donc M est sur le cercle de centre I et de rayon ½ ; mais f(x)³0 doncC f est le demi-cercle de centre I et de rayon ½ et situé « au dessus » de l’axe des abscisses.