ASYMPTOTIQUES DEWEYL CHAMPS MAGNETIQUES ET POTENTIELS DEGENERES

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ASYMPTOTIQUES DEWEYL, CHAMPS MAGNETIQUES ET POTENTIELS DEGENERES Franc¸oise Truc Institut Fourier, Grenoble 30/09/08 – p. 1

  • asymptotiques deweyl

  • bouteilles magnétiques

  • asymptotique de weyl

  • potentiels dégénérés

  • contexte euclidien

  • compacte comportement asymptotique

  • champs magnetiques


Publié le : lundi 18 juin 2012
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ASYMPTOTIQUES DE WEYL, CHAMPS MAGNETIQUES ET POTENTIELS DEGENERES
Fran¸coiseTruc
Institut Fourier, Grenoble
30/09/08 – p. 1
Introduction
Motivation classique
Plan
: Bouteilles magnétiques en mécanique
Asymptotique de Weyl pour des bouteilles magnétiques contexte euclidien contexte hyperbolique
Asymptotique de Weyl pour des potentiels dégénérés
30/09/08 – p. 2
Introduction Objectif : établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrödinger. SoitVune fonction continue deRdà valeurs positives , et h]01]un petit paramètre .
30/09/08 – p. 3
Introduction Objectif : établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrödinger. SoitVune fonction continue deRdà valeurs positives , et
h]01]un petit paramètre .
Condition ND :V(x)+quand|x| →+h]01], l'opérateurHh=h2Δ +Vdéni surL2(Rd) essentiellement auto-adjoint et à résolvante compacte comportement asymptotique semi-classique de son spectre :
est
30/09/08 – p. 3
Introduction Objectif : établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrödinger. SoitVune fonction continue deRdà valeurs positives , et
h]01]un petit paramètre .
Condition ND :V(x)+quand|x| →+h]01], l'opérateurHh=h2Δ +Vdéni surL2(Rd) essentiellement auto-adjoint et à résolvante compacte comportement asymptotique semi-classique de son
Ns(pλecHtrhe):hd(2π)dvZRd(λV(x)) dd+2dx(h0) N(λ Hh) de valeurs propres inférieures à une: nombre énergie xéeλ.
vd: volume de la boule unité ,W+
est
: partie positive deW.8003/90/
– p. 3
Remarques
Si l'on poseh= 1la formule précédente donne l' asymptotique à grande énergie de l'opérateurH1=Δ +V: dZd2
N(λ H1)λ+(2π)vd
(λV(x))+dx Rd
30/09/08 – p. 4
Remarques
Dans les deux cas : correspondance asymptotique entre
le nombre de valeurs propres inférieures àλet
le volume, dans l'espace des phases, de l'ensemble {(x ξ)T(Rd)H(x ξ)λ},
H(x ξ) =ξ2+V(x)est le symbole principal deHh, et aussi le Hamiltonien de la dynamique classique associée.
Que se passe-t-il pour un opérateur de Schrödinger dont le spectre est discret sans que la condition (ND) soit vériée?
30/09/08 – p. 4
Exemple
Si la condition (ND) n'est plus vraie, il se peut que le volume de {(x ξ)T(Rd)H(x ξ)λ}soit inni, ce qui enlève son sens à la formule de Weyl.
30/09/08 – p. 5
Exemple
:
Exemple
V(y z) = (1 +y2)z2
x= (y z)R2
30/09/08 – p. 5
Exemple
:
20
15
10
5
Exemple
V(y z) = (1 +y2)z2
0 -2
-1
0 y
1
2
2
1
x= (y z)R2
0
-1 x
-2
30/09/08 – p. 5
2 directions :
Dégénérescences
30/09/08 – p. 6
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