Exercices sur l'integrale de Riemann

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Exercices sur l'integrale de Riemann 1. a) Montrer que si k > 0 on a k+1 ∫ k dx√x ≤ 1√ k , et si k > 1 on a 1√ k ≤ k ∫ k?1 dx√x . b) En deduire que la suite (un)n≥1 definie par un = n ∑ k=1 1√ k ? 2 √ n , est convergente, et que sa limite ? verifie : ?2 ≤ ? ≤ ?1. 2. Soit f une fonction continue de R dans R. Calculer F ?(x) dans les cas suivants : a) F (x) = x2+1 ∫ 2x?1 f(t) dt , b) F (x) = x ∫ 0 (x2 ? f(t))2 dt. 3. A l'aide des sommes de Riemann d'une fonction convenable, calculer la limite des suites dont le terme general est donne ci-dessous. an = 1 n n ∑ k=1 sin kπ n , bn = n ∑ k=0 1 n? + k (? > 0) , cn = n ∏ k=1 ( 1 + k n )1/n 4. Soit ? > 0.

  • arctan t2 dt√

  • exercices sur l'integrale de riemann

  • dx ?

  • dt√ t4

  • dx√x ≤

  • majorant irra- tionnel


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
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Exercicessurlinte´graledeRiemann
k +1 k 1. a) Montrer que si k > 0 on a Z dxx 1 ket si k > 1 on a 1 k Z dxxk k 1 n 1 b)Ende´duirequelasuite( u n ) n 1 de´niea X p r u n = k =1 k 2 n  est convergente, et que sa limite v´erie: 2 ≤ − 1. 2. Soit f une fonction continue de R dans R . Calculer F ( x ) dans les cas suivants : x 2 +1 x a) F ( x ) = Z f ( t ) dt  b) F ( x ) = Z ( x 2 f ( t )) 2 dt . 2 x 1 0 3. A l’aide des sommes de Riemann d’une fonction convenable, calculer la limite des suites dontletermeg´ene´ralestdonn´eci-dessous. n k =1 k =0 1+ k ( α > 0)  c n = k = Y n 1 1 + kn 1 a n = n 1 X n sin knπb n = X n n 4. Soit α > 0.Trouverune´quivalentsimplede u n = X k α . k =1 5. Soit f une fonction continue de [ a b ] dans R + . Montrer que l’on a Z ab f ( x ) dx Z ab f (1 x ) dx ( b a ) 2 etquel´egalite´alieusietseulementsi f est constante. 6. Soit f une fonction continue et positive sur [ 0 1].De´montrerlin´egalit´e: 0 Z 1 f ( x ) dx 2 Z 01 f ( x ) dx 
Quanda-t-onegalite´? ´ 7. Calculerlesinte´grales I suivantes en utilisant un changement de variable convenable
π a ) Z 1 e x dxb ) Z 4 coss x i(n1 x ++tacons 2 xx ) dxc ) Z π sin 5 x cos 2 x  dx  d ) Z π 1co+s 2 s 1 in x 13 dxxe x + 1 0 0 0 0 π 2 8. Soit I n = Z sin n x dx (Inte´gralesdeWallis).Pour n 2´etablir,enint´egrantparparties, 0 unerelationder´ecurrenceentre I n et I n 2 .End´eduirelavaleurde I n .
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9. Soit f une fonction de [ a b ] dans R de classe C 2 .Enint´egrantparpartiesladerni`ere int´egrale´tblirlarelation e a b b Z f ( x ) dx = b 2 a ( f ( a ) + f ( b ))+21 Z ( x a )( x b ) f ′′ ( x ) dx  a a End´eduirequelorsquelonremplace,surunintervalle[ a b ] une fonction f par la fonction line´aireane g ve´riant f ( a ) = g ( a ) et f ( b ) = g ( b ),lerreurcommisesurlint´egraleestmajore´e par sup | f ′′ ( x ) | ( b a ) 3 12. x [ a b ] 2 x 10. Soit F lafonctiond´eniesur R par F ( x ) = Z t 4 dt + t 2 + 4 x a) Montrer que F est une fonction impaire. b) Montrer que la fonction F estde´rivablepuiscalculer F ( x ) pour x re´eletde´terminerlesigne de F . c) Montrer que pour tout x > 0,onalesine´galite´s0 F ( x ) x 4 + x 2 + 4 . x d)D´eduiredecequipr´ece`dequelafonction F estborn´eesur R et donner un majorant irra-tionnel de | F | . Tracer approximativement le graphe de F . 1 11. On pose, pour tout x r´eel, F ( x ) = Z sin ttxdt . 0 a) Montrer que F ( x )estd´eniepourtoutr´eel x . b) Montrer que F estd´erivableetcalculer F ( x ). 12. Calculerleslimitessuivantesa`laidedelapremi`ereformuledelamoyenne 3 x n 2 + n +1 x 2 a ) x l im 0 + Z tdet t  b ) n l i + m Z arctan tt 2 dtc ) x l im 1 + Z cosl(n πtt ) dtxn 2 +1 x 13. Calculerlalimitedelasuitede´niedanslexercice8. π 2 π 2 ε 2 π 2 Indication:e´tantdonnee ε > 0,´ecrire R = R + R . ´ 0 0 π 2 ε 2 14. Soit f une fonction continue de ue lim f ( x ) = . Calculer la [ 0 + [ dans R telle q x + limite de la suite ( u n ) dans les cas suivants : n + a n 2 + n n a ) u n = Z f ( x ) dx ( a > 0)  b ) u n = Z f ( xx ) dx  c ) u n = n 1 Z f ( x ) dx  nn 2 0 n +1 15. Soit u n = Z sin xxdx .Est-cequelase´riedetermege´n´eral u n converge ? n Indication:inte´grerparparties.
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Corrige ´ 1. a) Soit k 1. Si x appartient`alintervalle[ k k + 1 ] , on a 1 1 x ket donc k +1 k +1 Z dxx Z dxk = 1 kk k Soit k 2. Si x appartient`alintervalle[ k 1  k ] , on a 1 1 x ket donc k k Z dxx Z dxk = 1 kk 1 k 1 b) Etudions si la suite ( u n ) n 1 est monotone. On a n +1 1 u n +1 u n = k = X 1 k 2 n + 1  k = X n 1 1 k 2 n ! = 1 2( n + 1 n ) n + 1 1 2 = n + 1 n + 1 + n n n + 1 = 1( n + 1 + n ) n + Commeladie´renceestn´egative,ilenr´esultequelasuite( u n ) n 1 estd´ecroissante. Ensommantdesine´galit´esobtenuesdans1),onobtient X n k Z k +1 dxx k = n X 1 1 kk =1 n +1 n Z dxx X 1 1 k1 k = n 1 2( n + 1 1) k X 1 k = 2( n + 1 1) 2 n u n 2( n + 1 1) 2 n = 2 + 2( n + 1 n ) ≥ − 2
soit et donc Alors Mais
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La suite ( u n ) n 1 estminor´eepar 2.Commeelleestde´croissanteelleconvergeversunelimite , et ≥ − 2. Ensommantlesautresin´egalite´sobtenuesdans1),onobtient n k dx k = n X 1 1 k 1 + X Z x k =2 k 1 soit X n 1 k 1 + Z n dx x k =11 et donc n 1( n 1) X k 1 + 2 k =1 Alors u n ≤ − 1 2. a) Soit G une primitive de f . Alors F ( x ) = G ( x 2 + 1) G (2 x 1) et donc, puisque G = f ,onobtientpard´erivationdesfonctionscomposees ´ F ( x ) = 2 xG ( x 2 + 1) 2 G (2 x 1) = 2 xf ( x 2 + 1) 2 f (2 x 1) b) On a donc
x F ( x ) = Z ( x 4 2 x 2 f ( t ) + f ( t ) 2 ) dt 0 x x x = x 4 Z dt 2 x 2 Z f ( t ) dt + Z f ( t ) 2 dt 0 0 0 x x = x 5 2 x 2 Z f ( t ) dt + Z f ( t ) 2 dt  0 0 Alors x F ( x ) = 5 x 4 2 x 2 f ( x ) 4 x Z f ( t ) dt + f ( x ) 2 0 3. a n Si l’on pose f ( x ) = sin πx pour x [ 0 1 ] , on a encore a n = n 1 kn = X 1 f kn Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur [ 0 1 ] . Donc 1 n l i + m a n = Z sin xπ dx = π 1 h cos( πx ) i 10 = π 2 0 4
b n On´ecrit b n = n 1 X n 1 k + n 1 αk =1 α + n Si l’on pose f ( ) = 1 x [ 0 1 ] on a encore x pour α + x k =1 kn + n 1 α  b n 1 n X n f = Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur [ 0 1 ] . Donc 1 n l i + m b n = Z αd + xx = h ln( α + x ) i 10 = ln αα + 1 0 c n One´crit ln c 1 n = k X n =1 ln 1 + nk n Si l’on pose f ( x ) = ln(1 + x ), on a encore ln c n = n 1 k = X n 1 f kn Cette suite converge vers la valeur moyenne de f sur [ 0 1 ] . Donc 1 n l i + m ln c n = Z ln(1 + x ) dx = h ( x + 1) ln( x + 1) x i 01 = 2 ln 2 1 0 Donc lim c n = e 2 ln 2 1 = 4 n + e
4. On a nu αn +1 = 1 n X n kn n k =0 Donc 1 n l i + m nu αn +1 = Z x α dx = α 1+1 0 Onende´duitque n α +1 u n 1 α + 5. Onappliqueline´galit´edeSchwarzauxfonctions f et 1  f . Alors b ( b a ) 2 = Z a p f ( x ) f 1( x ) dx 2 a Z b f ( x ) dx Z ab f (1 x ) dx
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line´gailte´
Etl´egalite´alieusietseulementsi f et 1  f sont proportionnelles. Puisque les fonctions ne sontpasnulles,celarevienta`direquilexiste re´eltelque f =  f soit f = .Le´galite´a donc lieu dans la formule si et seulement si f est constante. 6. a)Enappliquantline´galit´edeSchwarzauxfonctions f et g de´niespar f ( x ) = f ( x ) et g ( x ) = 1 On obtient, puisque 1 Z g ( x ) 2 dx = 1 0 Z 1 f ( t ) dx 2 Z 1 f ( x ) dx  0 0 Depluslegalit´ealieusietseulementsilesfonctionssontproportionnelles,cest-a`-diresiet ´ seulement si f est constante. 7. a) Si l’on pose u = e x , on a du = e x dx . Pour x = 0, on a u = 1 et pour x = 1, on a u = e , donc e e e I = Z 1 d + u 1= Z uudu = Z  1 1 = h u ln( u + 1) i 1 e = e 1 ln(1 + 1 u 1 1 u 1+ du e ) + ln 2 + 1 b) Si l’on pose u = tan x , on a du = (1 + tan 2 x ) dx . Si x = 0, alors u = 0, et si x = π 4, alors u = 1, donc I = Z (1 + n π 4 1+tata 2 n xx ) dx = Z 1 1 d + uu = h ln(1 + u ) i 10 = ln 2 0 0 c) Si l’on pose u = cos x , on a du = sin xdx . Si x = 0, on a u = 1 et si x = π , on a u = 1, donc π 1 I = Z sin x (1 cos 2 x ) 2 cos 2 x dx = Z (1 u 2 ) 2 u 2 du  0 1 Ende´veloppant
1 I = Z ( u 2 2 u 4 + u 6 ) du = h u 3 3 2 u 5 5 + u 7 7 i 1 1 =11065 1 d) Si l’on pose u = sin x , on a du = cos xdx . Si x = 0, on a u = 0 et si x = π , on a u = 0, donc π 0 I = Z (1 sin 2 x ) 10 cos x dx = Z (1 1 + u 2 u ) 1103 du = 0 1 + sin 13 x 0 0 8. Posons u ( x ) = sin n 1 x et v ( x ) = sin x  Alors u ( x ) = ( n 1) cos x sin ( n 2) ( x ) et v ( x ) = cos x  6
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