Exercices sur les integrales generalisees

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Exercices sur les integrales generalisees 1. Calculer les inegrales generalisees suivantes : a) ∞ ∫ 0 dx (1 + ex)(1 + e?x) b) ∞ ∫ 0 e? √ x √x dx c) 1 ∫ 0 lnx dx d) ∞ ∫ 1 lnx x2 dx e) 1 ∫ 0 lnx (1 + x)2 dx f) ∞ ∫ 0 xne?x dx (n ? N) g) ∞ ∫ 0 arctan x 1 + x2 dx h) ∞ ∫ a dx x(x + r)(a > 0, r > 0) i) pi/2 ∫ 0 cos 2xdx√ sin 2x 2. Montrer que les integrales suivantes convergent : a) ∞ ∫ 0 1√x e ? √ x2+x+1 dx b) pi/2 ∫ ?pi/2 ln(1 + sinx) dx c) ∞ ∫ 0 e?t2 dt d) ∞ ∫ 0 1 + sin t 1 + √ t3 dt . 3. Determiner pour quelles valeurs du couple (?, ?) ? R2 les integrales suivantes sont conver- gentes. (On dessinera dans le plan l'ensemble des couples (?, ?) pour lesquels il y a convergence).

  • dx x1

  • lnx

  • x?

  • xdx√ sin

  • primitive de e? √

  • e? √


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 19
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Exercicessurlesint´egralesge´n´eralis´ees
1. Calculerlesine´gralesg´en´eralis´eessuivantes: ∞ ∞ 1 a ) Z (1 + e x ) d ( x 1 + e x ) b ) Z e x x dx c ) Z ln x dx 0 0 0 1 d ) Z ln x 2 xdxe ) Z (1l+n xx ) 2 dx f ) Z x n e x dx ( n N ) 1 0 0 ∞ ∞ π 2 ) Z arcta x n 2 xdxh ) Z x ( xdx + r )( a > 0  r > 0) i ) Z cossi2n x 2 dxx g 1 + 0 a 0 2. Montrerquelesint´egralessuivantesconvergent: π 2 ∞ ∞ a ) Z 1 x e x 2 + x +1 dx b ) Z ln(1 + sin x ) dx c ) Z e t 2 dt d ) Z 11++sin t 3 tdt0 π 2 0 0
3. D´eterminerpourquellesvaleursducouple( α β ) R 2 lesint´egralessuivantessontconver-gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples ( α β ) pour lesquels il y a convergence). ∞ ∞ ∞ a ) Z x α (1 dx + x β ) b ) Z ln(1 x + β x α ) dx c ) Z (1 + tt ) βα t α dt  0 0 0 4. Etudier pour quelles valeurs de n N linte´grale I ( n ) = Z ln x n xdx converge et calculer I ( n ) 1 dans ce cas. 5. Soit I ( λ ) = Z dx ) . Montrer que I ( λ )convergepourtoutr´eel λ et calculer (1 + x 2 )(1 + x λ 0 cette int´ al n utilisant le changement de variable t = 1 x . egr e e 6. Soit I = Z e t 2 t dt e . t 0 a) Montrer que I est convergente. 2 ε b) Pour ε > 0,´etablir,enposant x = 2 t , la relation Z e t te 2 t dt = Z et t dt  ε ε c)End´eduirelavaleurde I . π 2 7. Soit J = Z ln sin x dx . 0
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π 2 a) Montrer que J est convergente et que l’on a J = Z ln cos x dx . 0 π 2 b) Montrer que 2 J = Z lnsin22 xdx ,etend´eduirelavaleurde J . 0 8. Montrerquelesint´egralessuivantessontsemi-convergentes: ∞ ∞ ∞ a ) Z cos xxdxb ) Z cos( x 2 ) dx (poser u = x 2 ) c ) Z x 2 sin( x 4 ) dx  π 1 π 9. Soit f une fonction de R dans R continueetpe´riodiquedontlint´egrale Z f ( x ) dx est conver-0 gente. Montrer que f est la fonction nulle. (Raisonner par l’absurde : supposer que f ( c ) 6 = 0 pouruncertainr´eel c ,etmontrerquelecrit`eredeCauchyestalorscontredit). 10. Soit f unefonctionuniforme´mentcontinuede[ a [ dans R , telle que l’int´ al egr e Z f ( x ) dx converge. Montrer que x li m f ( x )=0(montrerquesinonlecrite`redeCauchyse-a rait contredit). 11. Soit f une fonction de classe C 1 de R dans R telle que, quand x tend vers ±∞ , on ait f ( x ) = O x 1 2 . a)D´emontrerqueleslimites L et de f en + et −∞ respectivement existent. b) On suppose en outre que, pour tout x re´el,ona | f ( x ) | ≤ x 2 1+1.Montrerque | L | ≤ π . 12. Soit f unefonctionde´croissantede[ a [ dans R + . a)Montrerquesilint´egrale Z f ( t ) dt converge, alors x li m xf ( x ) = 0. a 2 x (Remarquer que l’on a, si x a ,line´galit´e: xf (2 x ) Z f ( t ) dt ). x b)Montrerparuncontre-exemplequelare´ciproqueestfausse. 13. D´eterminerlalimitedessuites( a n )d´eniesci-dessous: 1 + a ) a n = Z a n r(c1ta+n( xn 2 x )) dx  b ) a n = Z 1 d + xx n  c ) a n = Z 1 d + xx n  d ) a n = Z + arcta1n+ n x + n 21 x dx  0 0 1 0 14. Etudier pour quelles valeurs de n N lint´egrale J Z dx ) n converge. Calculer J 1 , n = ( x 3 + 1 0 3 n 1 puis montrer que si n 2, on a J n +1 =3 nJ n .End´eduire J n si n 1.
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Corrige´ 1. a) On a 1 e x = (1 + e x )(1 + e x ) (1 + e x ) 2 Cette expression est de la forme u (1 + u ) 2 et admet comme primitive 1 (1 + u ). Donc Z (1 + e x ) d ( x 1 + e x ) = 1+1 e x 0 =12 x li m 1+1 e x =12 0 b) Une primitive de e x  x est 2 e x , donc Z e x x dx = h 2 e x i 0 = 2( x li 0 x →∞ m e x lim e x ) = 2 0 c) Une primitive de ln x est x ln x x . Donc 1 Z ln x dx = h x ln x x i 10 = n x x ) = 1 1 x li m 0 ( x l 0 car la limite de x ln x est nulle en 0. d)Eninte´grantparparties Z ln x 2 xdx = ln xx + Z dxx 2 = ln xx 1 x  donc Z l x n 2 xdx = ln xx 1 x 1 = x li m ln xx 1 x + 1 = 1 1 e)Eninte´grantparparties Z (1l+n xx ) 2 dx = 1ln+ xx + Z x (1 d + xx ) Maisend´ecomposantlafractionrationnelle 1 1 1 = x (1 + x ) x 1 + x  on obtient ln x Z (1ln+ xx ) 2 dx = + ln x ln(1 + x ) = x 1l+n xx ln(1 + x ) 1 + x Alors
1 (1 + x ) 2 dx = x 1l+n x 1 = ln 2 l x i m 0 x 1l+n xx ln(1 + x ) = ln 2 Z ln xx ln(1 + x ) 0 0
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f) Posons I n = Z x n e x dx .Puisquelesfonctionsint´egr´eessontpositives,lafonction F n de´nie 0 par α F n ( α ) = Z x n e x dx  0 estcroissanteetposs`edeunelimitenieounon`a+ . Eninte´grantparparties,si n 1. Z x n e x dx = x n e x + Z nx n 1 e x dx  Mais lim xe x = 0 x →∞ Ilenre´sulteque α α α li m Z x n e x dx = n α l →∞ Z im x n 1 e x dx  0 0 et donc I n = nI n 1 Mais, d’apres b), ` I 0 = Z e x dx = 1 0 donclinte´grale I n converge et I n = n ( n 1)    1 I 0 = n ! g) Comme arctan x apourd´eriv´ee1 (1 + x 2 ), on a Z arctan 2 xdx =21(arctan x ) 2 1 + x et Z a1rct+a x n 2 xdx = 12(arctan x ) 2 0 = x li m 12(arctan x ) 2 = π 8 2 0 h)Lafractionrationnellesede´composefacilement,puisque 1 r )=1 r x 1 1 r x ( x + x + et admet sur [ a [ la primitive r 1ln xx + . Donc r dr Z x ( x + r ) = r 1ln xx + r a = r 1 ln a + ar + x li m ln xx + r = 1 r ln a + ara i) Une primitive de cos 2 x sin 2 x est sin 2 x , donc π 2 Z c ossi2n x 2 dxx = h sin 2 x i π 0 2 = x l i π m 2 sin 2 x l x i m 0 sin 2 x = 0 0 4
2. a) Au voisinage de 0 on a 1 e x 2 + x +1 e 1 x x 1 1 donclinte´grale Z 1 x Z x 1 x 2 . e x 2 x +1 dx convergeparcomparaison`a d 0 0 Lorsque x > 1, 1 e x 2 + x +1 e  x x ∞ ∞ Etlinte´grale Z 1 xe x 2 + x +1 dx convergeparcomparaisona` Z e x dx . 1 1 b)Cherchonsune´quivalentdeln(1+sin x ) dx au voisinage de π 2. Posons u = x + π 2. Alors ln(1 + sin x ) = ln(1 cos u ) = ln u 2 2 + ( u 2 ) = 2 ln u 1 + ln(1 2 + (1)) 2 ln u  2 ln u 1 π 2 Maislint´egrale Z ln u du converge (Voir ex 1c) et ln u estn´egative.Donclinte´grale Z ln(1 + sin x ) dx 0 π 2 converge. c)Onpeutdonnerdeuxargumentsmontrantlaconvergencedelint´egrale. 1) Lorsque t > 1, on a t 2 > t , donc e t 2 < e t ,etlinte´grale Z e t 2 dt converge par comparaison a`lint´egrale Z e t dt . 2) Lorsque t tend vers l’infini t 2 e t 2 admet0commelimite,doncestmajor´epar1surunintervalle ∞ ∞ [ a + [ . Alors e t 2 1 t 2 ,etlinte´grale Z e t 2 dt convergeparcomparaison`alinte´grale Z td 2 t . d) On a, si t > 0, 1 0 1++sin t 3 t t 3 2 2 ∞ ∞ etlint´egrale Z 11++sin 3 tdt convergeparcomparaisonalinte´grale Z t 3 d t 2 ` t 3. a)Cherchonsune´quivalentsimpleen0eten+ de la fonction f d´eniesur]0 [ par f ( ) x α (11+ x β ) x = Lere´sultatde´penddusignede β .Onpeutr´esumercequelonobtientdansletableausuivant:
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