Knotengruppen Darstellungen und Invarianten von endlichem Typ

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Knotengruppen-Darstellungen und Invarianten von endlichem Typ Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat an der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universitat zu Bonn vorgelegt von Michael Eisermann Bonn 2000

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Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 56
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Knotengruppen-Darstellungenund
Invariantenvon endlichemTyp
Inaugural-Dissertation
zur
ErlangungdesDoktorgrades
der
Mathematisch-NaturwissenschaftlichenFakulta¨t
ander
RheinischenFriedrich-Wilhelms-Universita¨t zuBonn
vorgelegt von
MichaelEisermann
Bonn2000Angefertigt mit Genehmigung
der Mathematisch-NaturwissenschaftlichenFakulta¨t
der RheinischenFriedrich-Wilhelms-Universita¨t Bonn
Referent:Prof.Dr. C.-F.Bo¨digheimer
Korreferent:Prof.Dr. F.Pop
Tagder Promotion:13. Januar 2000
MathematicsSubject Classification:
57M25Knots and links in the 3-sphere
57M27 Invariants ofknots and3-manifolds
57M05 Fundamental group and presentations
20C40 Computational methods
57–04 Explicit machine computation and programs
ADiese Arbeit wurde mit LT X2 im Formatamsbookgesetzt.E
Die Verwendung derSchriftfamilie NewCentury Schoolbook
wurde durch das Paketnewcentrealisiert.
Druck: Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universita¨t Bonn
ISSN 0524–045X
"WeißschimmertdaseinsameSegel
im blassblauenNebeldesMeeres!
Was suchtesimfernenLande?
Was ließesam Heimatstrand zuru¨ck?
Die Wellenspielen,derWindpfeift,
und derMastbiegtsichund knarrt.
O weh–seinGlu¨cksucht esnicht,
und esfliehtauch nicht davor.
MichailLermontov,DasSegel
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...Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
Zum Aufbau dieserArbeit ................................................. 2
TeilI:Knotengruppen-Darstellungen ...................................... 2
TeilII:Vassiliev-Invarianten .............................................. 5
Bezeichnungen ............................................................. 7
TEIL I: KNOTENGRUPPEN-DARSTELLUNGEN
Kapitel 1. Grundbegriffe der Knotentheorie 9
1.1. Knoten und Verschlingungen ........................................ 9
1.2. Die Kategorie derTangles ........................................... 11
1.3. Zo¨pfeund Markov-Zu¨ge ............................................. 12
1.4. Diagramme und Reidemeister-Zu¨ge ................................. 14
1.5. Verbundene Summe ................................................. 16
1.6. Spiegelung, Reversion, Inversion .................................... 17
1.7. Wassind und was sollen Invarianten? .............................. 18
Kapitel 2. Darstellungen von Knotengruppen 21
2.1. Die Knotengruppe ................................................... 22
2.2. Die Wirtinger-Pra¨sentation ......................................... 23
2.3. Knoten und lange Knoten ........................................... 24
2.4. Fa¨rbungen von Knotendiagrammen ................................. 25
2.5. Die Kategorie derQuandel .......................................... 28
2.6. Quandel von Knoten und langen Knoten ............................ 28
2.7. Quandel- versus Gruppenfa¨rbungen ................................ 31
2.8. Fa¨rbungszahlen und Zopfgruppen-Darstellungen ................... 32
2.9. HomomorpheBilder von Knotengruppen ........................... 34
Kapitel 3. Fa¨rbungspolynome 35
3.1. Definition ............................................................ 35
3.2. Anwendungen und Beispiele ........................................ 36
3.3. Die Longitudengruppe ............................................... 38
3.4. Der Fa¨rbungsring ................................................... 39
3.5. PerfekteGruppen ................................................... 41
3.6. Verbundene Summe und Symmetrien ............................... 43
3.7. Periodische Knoten .................................................. 45
3.8. Mo¨gliche Verfeinerungen ............................................ 48
3.9. Mo¨gliche Verallgemeinerungen ...................................... 49
vvi Inhaltsverzeichnis
Kapitel 4. Zentrale Erweiterungen 51
¨4.1. Uberlagerung perfekterGruppen ................................... 51
4.2. Hochhebung von Fa¨rbungspolynomen ............................... 53
4.3. Beispiele ............................................................. 54
4.4. Universelle Fa¨rbungsgruppen ....................................... 55
4.5. Unendliche Fa¨rbungsgruppen ....................................... 56
4.6. Reduktionauf endliche Fa¨rbungsgruppen .......................... 57
4.7. Anwendung auf Fa¨rbungspolynome ................................. 58
Kapitel 5. Ein schneller Algorithmus zur Knotenfa¨rbung 61
5.1. Erzeuger der Knotengruppe ......................................... 62
5.2. Ein typisches Beispiel ............................................... 64
5.3. Fa¨rbungsskripte und ihre Komplexita¨t ............................. 66
5.4. Reduktionrationaler Tangles ....................................... 68
5.5. Optimierte Skripteund ihre Komplexita¨t ........................... 71
5.6. Anwendungen und Beispiele ........................................ 73
5.7. Diedurchschnittliche Komplexita¨t .................................. 74
5.8. Conway-Polyeder .................................................... 76
5.9. Arboreszente Knoten ................................................ 78
5.10. AbschließendeBemerkungen ........................................ 80
TEIL II: INVARIANTEN VON ENDLICHEM TYP
Kapitel 6. Grundbegriffe der Vassiliev-Theorie 81
6.1. Definition nach Birman und Lin .................................... 81
6.2. Prominentestes Beispiel:dasJones-Polynom ........................ 82
6.3. DieVassiliev-Filtrierung der Tangle-Kategorie ..................... 84
6.4. LineareDarstellungen der Zopfgruppen ............................ 85
6.5. Vassiliev-Invarianten aus R-Matrizen ............................... 86
6.6. Vassiliev-Invarianten aus der Artin-Magnus-Darstellung .......... 88
Kapitel 7. Der Kontsevich-Isomorphismus 91
7.1. DieHopf-Algebrader Knoten ....................................... 91
7.2. DieHopf-Algebrader Sehnendiagramme ........................... 92
7.3. DieAlgebra derVassiliev-Invarianten .............................. 95
7.4. Der Kontsevich-Isomorphismus ..................................... 95
7.5. OffeneFragen ....................................................... 96
Kapitel 8. Vassiliev-Invarianten sind Polynome 97
8.1. Twistfolgen .......................................................... 98
8.2. Geometrische Folgen ................................................ 99
8.3. Geometrische Gitter ................................................. 100
8.4. Charakterisierung von Vassiliev-Invarianten als Polynome ......... 101
8.5. Invarianten in endlicher Charakteristik ............................ 102
8.6. Anwendung auf Brezel-Knoten ...................................... 104
8.7. DieSuche nach nicht-unterscheidbaren Knoten .................... 105
8.8. Anwendung auf Zopfgruppen ........................................ 107Inhaltsverzeichnis vii
Kapitel 9. Fa¨rbungszahlen sind nicht von endlichemTyp 109
9.1. Sequentiell beschra¨nkte Invarianten ................................ 109
9.2. Zopfindex,Geschlecht, Entknotungs- und Bru¨ckenzahl ............. 110
9.3. Die Anzahl derKnotengruppen-Darstellungen ...................... 112
9.4. NilpotenteGruppen ................................................. 113
9.5. Verallgemeinerung auf Verschlingungen ............................ 114
Zusammenfassung 117
Fa¨rbungspolynome ........................................................ 117
Algorithmen ............................................................... 118
Vassiliev-Invarianten ...................................................... 118
Offene Fragen ............................................................. 120
Anhang A. Alexander-Moduln 121
Anhang M. Metazyklische Gruppen 123
Anhang P. DiskretePolynomfunktionen 124
Literaturverzeichnis 127
Nachwort 133
Lebenslauf 135Oft schonhatteersoempfunden,oftschonsogedacht,sogefu¨rchtet.
(...) undnachWochenoderMonaten,nachQualoderBeta¨ubungwardie
Auferstehunggekommen,neuerBrand,neuerAusbruchderunterirdischen
Feuer,neueglu¨hendereWerke,neuergla¨nzenderLebensrausch.
Sowaresgewesen,unddieZeitenderQual unddesVersagens,
dieelendenZwischenzeitenwarenvergessenwordenunduntergesunken.
HermannHesse, Klingsors letzterSommer
Einleitung
Die mathematische Untersuchung von Knoten beginnt in der ersten Ha¨lfte
des 19.Jahrhunderts mit C.F.Gauß und seinen Studien zur Elektrodynamik.Sie
wurdefortgefu¨hrtvonseinemSchu¨lerJ.B.Listing,demwirauchdieBezeichnung
Topologie verdanken. Als eigensta¨ndiges Gebiet wurden Knoten von P.G.Tait,
T.P.KirkmanundC.N.Littlebehandelt,diegegenEndedes19.Jahrhunderts eine
empirische Klassifikation einfacher Knoten unternahmen. Mit der Entwicklung
vonTopologieundalgebraischerTopologie,initiiertdurchH.Poincare´,nahmauch
die Knotentheorie nach und nach ihre heutige, topologischeGestalt an.
Der klassische Blickwinkel. In der ersten Ha¨lfte des 20.Jahrhunderts
wurdendieheuteklassischenKonzeptezurUntersuchungvonKnotenentwickelt,
allen voran die Fundamentalgruppe und das Alexander-Polynom. Diese wurden
durch die Untersuchung topologischer Ra¨ume motiviert und mit großem Erfolg
auf Knoten angewendet bzw. darauf zugeschnitten. Hierzu waren die Arbeiten
von M.Dehn, J.W.Alexander, K.Reidemeister, E.Artin, H.Seifert und E.R.van
Kampen grundlegend (um nur einige zu nennen).
In den folgenden Jahrzehnten besta¨tigte sich die zentrale Stellung der Kno-
tentheorieinderniedrig-dimensionalenTopologie.SiefandAnwendungenbeider
Untersuchung von Singularita¨ten eingebetteter Fla¨chen im durch R.H.Fox
und J.W.Milnor, ebenso bei der Chirurgie-Darstellung von -Mannigfaltigkeiten
durch W.B.R.Lickorish, R.C.Kirby und andere, und schließlich bei der Untersu-
chung hyperbolischer -Mannigfaltigkeiten durch W.P.Thurston.
Das Jones-Polynom und seine Folgen. Seit 1984 hat die Knotentheorie
eine stu¨rmische Entwicklung erlebt. Nach der Entdeckung des Jones-Polynoms
entstand eine erstaunliche Vielfalt weiterer Knotenpolynome. Sie wurden zwar
auf verschiedenen Wegenentdeckt, gemeinsam ist ihnen jedoch, dass sie aus de-
formierten Darstellungen der Zopfgruppen gewonnen werden ko¨nnen.
DievonV.A.VassilieventwickelteIdeederKnoteninvarianten endlichenTyps
bietet hierfu¨r einen allgemeineren Rahmen und wurde innerhalb weniger Jahre
zu einer weitverzweigten Theorie ausgearbeitet. Dabei wurden Bru¨cken zu an-
deren Gebieten der Mathematik und zur theoretischen Physik geschlagen, zur
TheoriederLie-AlgebrenundQuantengruppen ebensowiezutopologischenFeld-
theorien.DieseWechselwirkungengabenderKnotentheorie wesentlicheImpulse
und pra¨gen heute einen großen Teilder Forschung auf diesemGebiet.
Eine topologische Interpretation des Jones-Polynoms und anderer Vassiliev-
Invarianten ist hingegen noch nicht gelungen. Das Alexander-Polynom bildet
bislang die einzige Verbindung zwischen der Knotengruppe und der Klasse der
Vassiliev-Invarianten.
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32 Einleitung
ZumAufbaudieserArbeit
Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen und folgt damit der historischen Ent-
wicklung der Knotentheorie: Der erste Teil widmet sich der Knotengruppe und
ihren Darstellungen. Hierzu wird die Klasse der Fa¨rbungspolynome eingefu¨hrt
und eingehend untersucht. Der zweite Teil behandelt Vassiliev-Invarianten und
entwickelt das Konzept der geometrischen Folgen von Knoten. Damit gelingt ei-
ne Charakterisierung vonVassiliev-Invarianten alsPolynome auf geometrischen
Knotenfolgen. Die Handlungsstra¨nge beider Teile fu¨hren im letzten Kapitel zu-
sammen, in demich zeige, dass dieAnzahlen von Knotengruppen-Darstellungen
und Vassiliev-Invarianten zweigetrennte Klassen bilden.
TeilI:Knotengruppen-Darstellungen
Das erste Kapitel behandelt die Grundlagen zu Knoten, Verschlingungen,
TanglesundZo¨pfen,wiesieindenfolgendenKapitelnbeno¨tigtwerden.Kapitel2
widmet sich der Knotengruppe und stellt die grundlegenden
Technikenfu¨rdieUntersuchung ihrerDarstellungen zusammen.Hierzuwirddie
Wirtinger-Pra¨sentation erkla¨rt und ihre Interpretation durch Knotenfa¨rbungen
diskutiert. Diese Betrachtung nutzt aus, dass fu¨r Knotengruppen-Darstellungen
nicht die gesamte Gruppe, sondern nur die Konjugationsklasse der Meridiane
wesentlich ist. Zur allgemeinen Behandlung von Fa¨rbungen wurde von D.Joyce
der Begriff des Quandels eingefu¨hrt, der die Eigenschaften von Konjugations-
klassen axiomatisiert. Konjugationsklassen sind Quandel, umgekehrt la¨sst sich
aber nicht jedesQuandel in eine Gruppe einbetten.Ich zeige jedoch:
SATZ 2.34. Fu¨rjedenKnotengibteseineBijektionzwischenFa¨rbungenmitQuan-
deln undFa¨rbungen mitGruppen.
Dies rechtfertigt, sich imFolgendenauf Gruppen zu konzentrieren.
Fa¨rbungspolynome. DarstellungeninendlicheGruppensindeinStandard-
WerkzeugderKnotentheorie, dennsieerlauben inbesonderemMaßedieBerech-
nung von Invarianten, vor allem die Homologie-Invarianten von (verzweigten)
¨Uberlagerungen. JenachAnwendung wurden dazuauch dieBildervonMeridian
und Longitude als charakteristische Elemente betrachtet. Zur Systematisierung
werden in Kapitel 3 Fa¨rbungspolynome eingefu¨hrt und eingehend untersucht.
Hierzu sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Konjugationsklasse.
Fu¨r jeden Knoten ist dasFa¨rbungspolynom definiert als
Summiert wird dabei u¨ber alle Darstellungen ,dieden fest gewa¨hl-
ten Meridian des Knotens auf das Element in abbilden. Das Bild
derLongitudeisteinCharakteristikum derDarstellung .Durch dieSummation
u¨ber alle Darstellungen erhalten wir eineKnoteninvariante.
BEISPIEL 3.2. Fu¨r die alternierende Gruppe mit Fußpunkt
ist das Fa¨rbungspolynom der linksha¨ndigen Kleeblattschlinge , das der
rechtsha¨ndigen hingegen . Dieses Beispiel zeigt bereits, dass die beiden
Kleeblattschlingen chiral sind.
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