Logarithme népérien Activité 5

De
Travaillez les devoirs et les activités 2009/2010 pour la classe de terminale ES.
Publié le : jeudi 1 janvier 2009
Lecture(s) : 147
Source : sarmate.free.fr
Nombre de pages : 6
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T ES2
lnx 1ln(x)
g :x −→ h :c −→f : x −→ 2ln(c +1)x−2x+2

22t+3 i : x → ln(x−3)−ln(x+3) k : x −→ln(1−4x+x )i : t −→ln
1−3t
1 1 1
ln2 A = ln8 B = ln C = ln
16 2 4

2 5e 49 e
D = ln +ln5 E = 2ln7−ln F = ln
3 35 e e
√ 1
G = ln e−ln √
e
H = ln12− 3ln4 I =
1
4ln +3ln2+ln8
2
2ln(2+5x) = ln(x+6) ln(3x−4) = ln(x −4)
ln(x−2)≤ ln(2x−1) ln(4−3c) > 0
2lnx−ln(1−x) = ln2 ln(3c −c)≤ lnc+ln2

24x−5 (lnt) +lnt = 0ln ≥ 0
3−2x
F : x −→ ln(2x+4) [0 ; +∞[ f
1 1 1
f(x) = f(x) = f(x) =
x+4 2x+4 x+2
1
f ]0 ; +∞[ f(x) = −lnx+1
x −→ −→
C f , ı , 
C 1
3
(2 ; 0) (1 ; −1) 2 ; −ln2
2
e
d?nie
oin
par
r?els
:
l'ensem

?re
3
te
R?soudre
oin
les
primitiv
.
?quations
:
et
an
in?quations
et
suiv
e
nom
passe
:
ordonn?es
an
de
tes
.
:
repr?sen
D?terminer
la
1
un

ts
?rien
bres
logarithme
les
bres
La
suiv
la
an
au
n?p
d'abscisse
logarithme
le

de
F
la
5
de

sur
A
est
ts
fonctions
?
tes
l'aide
tativ
2.
de
Soit
fonction
d'un
dans
1
rep
fonction
orthonorrnal
d?nie
O
sur
suiv
Ecrire
nom
les
:

,
2
.
1.
tangen
,
?
par

:
2.
Exprimer
p
en
t
fonction
Simplier
La
par
1.
p
seul
t
4


:
fonction
de
fonction
ble
les
d?nition
,

,
e
.
une
On

note
des
,
suiv
la
an

:
e
de
3.
la
x+1
f ]0 ; +∞[ f(x) = 2x+ln
2x −→ −→
C f , ı , 
C
y = 0 y = 2x−ln2 y = 2x
u [0;4]
C
(0;−3) (1;0) (2;1)
(3;0) (4;−3)
2
f = ln◦u u ln
f
f ]0;4[

f

′f (2) = 0

x = 2
f

1 x
f ]1;+∞[ f(x) = x+2ln
3 x−1
f

x
+∞ x → ln
x−1
f
lnx
g ]0;+∞[ g(x) = 2x+1+
x
Elle
tangen
la
te
t
parall?le
et
?
est
l'axe
alle
des
sur
abscisses.
est
On
dans

limite
alors
d'?quation
la
En
fonction
.
par
:
sur
5
d?nie
p
fonction
orthonormal
la
graphique
Soit
.

1.

Etudier
os?e
fonction
de
able
3.
d'une
.
tativ
de
d'abscisse
tativ
au
e
note
).
de
On
fonction
admet
sur
que
par
de
:
est
rep
d?riv

able
repr?sen
en

tout
Etudier
p
.
oin
terpr?ter
t
r?sultat.
o?
limite
elle
de
est
4.
d?nie.
l'in
la
et
est
une
d?nie
oblique
sur
e
,
de
fonction
6
dans
fonction
un
oin
rep
Elle
V
.
rai

?re
aux
F

aux
La
,
ts
orthonormal
d?nie
est
oin
p
les
ositiv
passe
e
par
ou

n
?re
ulle
le
sur
fonction
son
de
ensem
tation
O
la
une
droite
e
d?nition
La
V
1.
rai
la
.
de
F
en
aux
In
La
graphiquemen


,
2.
e
la
admet
en
p
:
our
la
asymptote
.
V
Soit
rai
terv
la
sur
F
d?riv
aux
.
:
d?duire
La
?quation
droite
asymptote
d'?quation
?
es

ectiv
repr?sen
resp
e
est
d?nie
asymptote

?
Soit
la
la

d?nie
e
t
:
p
fonction
admet
e
par
de
.
ordonn?es
On
V
la
rai
e

repr?sen
F
repr?sen
une
tativ
ble
de
2
suivieC f Df
+∞
C Df
f(x) = lnx g(x) = ln(x+2) h(t) = ln(3t−6)
2i(x) = ln(2−5x) j(c) = ln(3c −4c+100) k(c) = clnc−c

lnq−1ln(1+2x) 1
l(x) = m(x) = x+ln 1− n(q) =
qx+2 x

lnx−1 ln(x−1) x−1
p(x) = r(x) = s(x) = ln
lnx+1 ln(x+1) x+1
1
H ]− ;+∞[
2
H(x) = (2x+1)ln(2x+1)−(2x+2)ln(2x+2)
1
H ]− ;+∞[ h
2
2x+1
h(x) = 2ln
2x+2
2x+3 a b
a b = +
2x +2x x x+2
2x+3
f ]−2;+∞[ f(x) =
2x +x
3 2f ]1;+∞[ f(x) = ln(x −x )
x ]1;+∞[ f(x)
lim f(x) lim f(x)
> x→+∞
x→1
′f f x ]1;+∞[
′f (x) f
f(x) = 0 ]1;+∞[ α
−1α 10
f(x) ]α;+∞[
→→
(O, , j) Γi
f ]1;+∞[
trer
Soit
oisinage
de
une
la
.
fonction
.
d?nie
trer
sur
fonction

de

la
des
v
fonctions
2.
suiv
un
an

par
7
:
tableau
tes
.
:
par

2.
8
fonction
Soit
?
la
trer
fonction
t
:
de
par
une
d?nie
asymptote
sur
tativ
l'in
tels
terv
.
alle
ensuite
.
v
1.
fonction
Justier
(a)
que,
l'?quation
p
osition
our
sur
tout
sur
tan
solution
de
Donner
l'in
de
terv
e
alle
(b)
Mon
d?duire
trer
est
que
ositif
la
la

5.
d?nie
?re
,
e
sur
au

tracer
in
une
terv
de
est
sur
d?nie.
et
2.

D?terminer
et
alle
Dresser
e
le
repr?sen
de
d'une
ariation
t
la
Etude
de
-
4.
par
D?mon
r?els
que
les
e
Calculer
relativ
et
p
1.
admet
9
Etudier

.
.
d?nie
A
une
artie
unique
P
.
marginal
une
fonction
aleur
arrondie
3
la
fonction
de
.
primitiv
3.
pr?s.
On
D?mon
note
que
Co?t
En
10
Mon
la

fonction
p
d?riv
sur
?e
que
de
fonction

est
.
Dans
Calculer
rep
p
orthonormal
our
primitiv
tout
sur
.
v
dans
oblique
?e
,
d?riv
la
fonction
e
la
repr?sen
de
e
l'expression
la
,
:
l'expression
que
alg?brique
admet
de
Calculer
1.
.
de
lah ]1;+∞[ h(x) = 2xlnx+(x−1)ln(x−1)
′ ′h x ]1;+∞[ h (x)
f ]1;+∞[
x [2;9] c(x)
3 2c(x) = ln(x −x )
C (x) xτ
′C (x) = c(x)τ
′C Cττ
C (2) = 10τ
C (x) xτ
C (9)−C (2)τ τ
x
2x 9
C (x) = + ln(x+1) x∈ [0;5]τ 4 2
f [0;5]
2x 9x
f [0;5] f(x) = + −9ln(x+1)
2 x+1
′f (x)
f [0;5]
f ]2;5] α
−510 α
f [0;5]
Cm
C (x) x 9ln(x+1)τ
C ]0;5] C (x) = = +m m
x 4 2 x
m?tho
de

la
ose

que
hine
fonction
et
de
fabrication)
tableau
est

dix
aleur
milliers
:
d'euros,
rapp


qui
P
se

traduit
exprim?
par
doit
d?duire
r?sultats
En
du
.
d?nie

v
,
le
de
:
tout

our
et
.
.
1.
.
D?terminer
de
le
.

sur
total
une
P

?e.

d?riv
?e).
fonction
signe
sa
duire
en
en
fonction
en
de
tout
note
de
.
de
2.
est
Calculer
que
On
liquide.
.

:
de
par
est
sur
pro
d?nie
t
fonction

route
Calculer
la
qu'elle
Soit
Etablir
6.
v
.
sur
On
par
donnera
En
d'abro
s'ann
d
milliers
la
p
v
aleur
aleur
D?terminer
exacte,
?
puis
marginal
une
pr?cisera
v
emplo
aleur
D?duire
appro
ts

du
h?e
la
?
B.
l'euro
mo
pr?s.
moins
3.
mo
Donner

une
de
in
P
terpr?ration

graphique
t
de

la
fabrique
question
et
pr?c?den
pro
te.
sur

elle
11
On
Une
par
en
de
treprise

fabrique
fabrication
un
total
pro
le
duit,
une
en
hine
quan
duisan
tit?
,
en
un
,
os?
exprim?e
himique
en
1.
milliers
liquide.
de
our
tonnes.
soit
(mise
2.
.
le
total
de
de
ariations
fabrication
ren-
est
table,
donn?
:
par
donn?e
:
3.

d?duire
premiers
est
deux
ule
des
d'euros,
total
en

,
Le
our
.
v
une
unique
primitiv
.
de
un
?e
t
d?riv
hine
fonction
pro
la
de
d?signe
(on
e
la
de
de
la
y
p
4.
our
des
o?
pr?c?den
,
le
fonction
de
sur
sur
.
v
P
,
artie
.
.
Etude
Les


y
son
au
t
La
exprim?s

en
y
millions
deux
d'euros.
est
A.
sur
F
De

our
auxiliaire
par
B
hine.
d?nie
la
sur
r?vision
-
an
In
a
terpr?tation
neuf
?conomique
maximale
On
une
On
imp

dangereux
la
duit
fonction
liquide
:
plus
d?nie
Le
4
f(x)′ ′C (x) C (x) = fm m 22x
C ]0;5]m
f [−1;6] C
f B(0;2) C(5;2)
D A(3;1) E(0;−1)
g g(x) = ln(f(x))
x g(x)
g
g(x) = 0
g(5)
′ ′ ′g (x) f(x) f (x) g (3)
g
(Γ) g
3
2
C
C
1 A
0 B
-1
E
-2 D
-1 0 1 2 3 4 5 6
]0 ; +∞[
f ]0 ; +∞[
f(x) = (2−lnx)lnx.
(C ) ff −→ −→
, ı , 
(C )f
(C )f
(C )f
rep
,
sur
Etudier
te
2.
p
A.
et
partie
.
est-elle
sur
d?nie
la
?
La
On
est
note
ourra
I

l'in
un
terv
minimal,
alle
?
trouv
?
?.
par
2.
e
Quel
?
est
tangen
le
dans
sens
donn?
de
admettra
v
son
ariation

de
la
la
par
sur
en
I
tangen
?
La
3.
tativ
R?soudre
fonction
dans
Soit
l'in
tan
terv

alle
en
I
tangen
l'?quation
et
de
des
auxiliaire
?
fonction

la
?tre
est
p
o?
graphique
.
13
4.
les
Donner

une
d?riv
v
terv
aleur
treprise

.
appro
mo

terv
h?e
y
de
par
?crire
t
eut
par
p
.
l'on
est
?

0,01
e
pr?s.

5.
de
Exprimer
dans
que
ortho-
?riera
une
v
d?riv
On
able
.
e
en
.
5
des
de
;
le
B.
de
en
aleurs

v
t
et
?
de
et
quelles
en
Calculer

our
Soit
P
tout
1.
exploit?
.b
Enb
d?duireb
lab
v
Le
aleur

de
On
.
que
1.
fonctions
sens
dans
de

v
t
.
ables
6.
l'in
Quelle
alle
est
l'en
la
a-t-elle
limite

de
Soit
la
fonction
fonction
d?nie
ariation
l'in
en
alle
2
passe
?
en
In
exprim?
terpr?ter
:
graphiquemen
euros
t
oin

au
r?sultat.
te
7.
Sa
de
tonnes
la
Quel
e

des
gure
les
donne
r?sultats

pr?c?den
repr?sen
ts,
e
donner
et
dans

un
la
rep
12
?re
un
orthonormal
?re
l'allure
normal
de
O
la
fonction

passe
e
t
fonction
repr?sen
sur
.
.

repr?sen
e
tan
La
t

la
l'axe
fonction
abscisses
3.
A(1
ainsi
0)
que
en
sa
La
tangen
te
te
C
au
la
p
e
oin

t

d'abscisse
parall?le
3.
l'axe
P
abscisses
our
la
quelle
te
par
A
d?nie
la
fonction
e
la
sur
pro
En

utilisan
l'axe
t
ordonn?es
tous
D.
en
fonction2
1
1 (C )f−→

0
−→-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1 1 2 3 4 5 6 7 8ı
-1
−1
-2
−2
-3−3
f 0 f +∞
′f f ]0 ; +∞[
x ]0 ; +∞[
2(1−lnx)′f (x) =
x
g ]0 ; +∞[
g(x) = x[f(x)+2lnx−4].
g f ]0 ; +∞[
f ]−1;+∞[
f(x) =−3x+4+8ln(x+1).
(C)
f −1
ln(x+1)
f +∞ lim = 0
x→+∞ x
5−3x′ ′f f ]−1 ; +∞[ f (x) =
x+1
′f f
f ]−1 ; +∞[

5
; +∞
3
−2f(x) = 0 x x 100 0
F
3 2F(x) =− x −4x+8(x+1)ln(x+1)
2
f ]−1 ; +∞[
du

fonction
e
Calculer
repr?sen
une
tativ
aleur
e
appro
dans
primitiv
un
audixi?me
rep
se
?re
que
orthonormal.
not?e
1.
14
(a)
en
Calculer
note
la
trer
limite
1.
de
B
t
terv
en
demand?e).
son
terv
exactes
admet
.
Donner
Donner
la
l'in
4.
terpr?tation
et
graphique
sur
du
que
r?sultat
?e
obten
.
u.
aleur
(b)
um
D?terminer
D?terminer
la
oin
limite
3.
de
dans
aleurs
(la
en
exacte
v
D?mon
(les

(on
l'?quation
p
limite
ourra
solution
utiliser
fonction
D
v
t
h?e
oin
?
terv
.
par
que
alle
d?nie
,
limite
p
terv
du
de
l'ordonn?e
est
et
D?mon
C
fonction
t
sur
oin
e
(b)
(a)
p
v
du
arrondie
sa
du
maxim
.
de
(a)
sur
On
l'abscisse
note
p
D?terminer
t
les
.
la
On
d?riv
place
?e
l'in
de
alle

v
sur
par
p
est
our
.
tout
trer
r?el
dans
de
in
l'in
alle,
4.
2.
Soit
la
demand?es).
sur
d?nie
trer
une
que
unique
note
de
alle
.
On
une
la
aleur
fonction

ordonn?es
de
terv

l'in
On
sur

d?nie
pr?s.
A
V?rier
B
la
C
en
.
par
(b)
la
?tudier
de
le
alle
signe
l'in
de
.
D
e
6
une
et
3.
dresser
trer
le
On
tableau
la
de
d?riv
v
de
ariations
est
de
primitiv
O
de
.
sur
On
D?mon
donnera
que
une
.
D?mon
).
2.
+

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