PSI Mai MATHEMATIQUES

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PSI Mai 2011 MATHEMATIQUES Préparation à l'oral Planche 1 Exercice 1 : Soit E = IRn[X]. On considère l'application ? : E ? IR P 7?? ∫ 1 ?1 P (t) 1+t2dt Soient (x0, x1, · · · , xn) n + 1 réels distincts. Démontrer qu'il existe n + 1 réels uniques (a0, a1, · · · , an), tels que :?P ? E,?(P ) = n∑ k=0 akP (xk). Donner une méthode « pratique» de calcul des ai. Exercice 2 : 1) Montrer que, pour 0 < x < 1, f(x) = ∫ x 0 ln (1? t) t dt = ∫ 1 1?x ln t 1? t dt. 2) En admettant que +∞∑ n=1 1 n2 = pi2 6 , montrer que f ( 1 2 ) = ? +∞∑ n=1 1 2nn2 = (ln2)2 2 ? pi2 12 . 3) A l'aide du développement en série de Fourier de la fonction 2pi périodique coïnci- dant avec l'identité sur [?pi, pi], montrer le résultat précédemment admis.

  • nature de la surface d'équation x2

  • déterminant de la matrice ?

  • a1 a1

  • réelles distinctes

  • déterminant égal


Publié le : dimanche 1 mai 2011
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PSI MATHEMATIQUES
Mai 2011
PrÉparation À l’oral
Planche 1 Exercice 1: SoitE=IRn[X]. On considÈre l’application ϕ:EIR R 1P(t) P72dt 1 1+t Soient(x0, x1,∙ ∙ ∙, xn)n+ 1rÉels distincts. DÉmontrer qu’il existen+ 1rÉels uniques(a0, a1,∙ ∙ ∙, an), tels que :PE, ϕ(P) = n X akP(xk). k=0 Donner une mÉthode « pratique» de calcul desai. Exercice 2: Z Z x1 ln(1t)lnt 1) Montrer que, pour0< x <1,f(x) =dt=dt. 0t1x1t + +X X 2 22 1π(1 1ln2)π 2) En admettant que=, montrer quef==. 2n2 n26 2n2 12 n=1n=1 3) A l’aide du dÉveloppement en sÉrie de Fourier de la fonction2πpÉriodique conci-dant avec l’identitÉ sur[π, π], montrer le rÉsultat prÉcÉdemment admis. Planche 2 Exercice 1: On dÉfinit la suite de fonctions(fn)nINpar : p x[0,1], f1(x2 + 2) =xetnfIN ,n+1(x2 +) =fn(x). 1. Etablir que :x[0,1],(fn(x))nINest croissante, majorÉe par 2 et minorÉe par 2. 2. Etablir la convergence simple de(fn(x))nINsur[0,1]. Z 1 dx 3. Etudier la suite(an)nINan=r. q 0p 2 +2 +∙ ∙ ∙+ 2+ 2x Exercice 2: √ √ SoitPla courbe d’Équationx+y= 1. π4 4 1. Justifier qu’il existeθ[0,],x(= cosθ), y= sin(θ). 2 2. Montrer quey=xest un axe de symÉtrie pourP.   1 1 3. Trouver une Équation cartÉsienne dePdans le repÈre(O, I, J)I= 2 1   11 etJ=. 2 1 4. En dÉduire nature, construction et longueur deP.
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Planche 3 Exercice 1: SoitE=IRn[X]muni de sa base canoniqueB0. k 1. SoitB1= ((1 +X) )0kn. Justifier queB1est une base deE. 2. SoitPEde coordonnÉes(ak)0kndansB0et(bk)0kndansB1 3. Donnerla matrice de passage deB0ÀB1et son inverse. (a) Pourchaquek∈ {0..n}, donneraken fonction des(bp)0pn. (b) Pourchaquek∈ {0..n}, donnerbken fonction des(ap)0pn. 4. SoitSnl’ensemble des permutations de[1..n]dans lui mme etDnle nombre de permutations deSnn’ayant pas de point fixe. On poseD0= 1 n  X n (a) MontrerqueDnk=n!. k k=0 (b) EndÉduireDn.
Z ZZ π dxdy 2 Exercice 2, calculer: En calculant par 2 mÉthodes,ln(sint)dt. 2 2 (x,y)[0,1]×[0,]1 +x tan y0 π 2 Planche 4
PournINetx[1,1], on poseTn(x) = cos(narccosx). Pourn1, calculerTn+1(x) +Tn1(x)et en dÉduire une relation de rÉcurrence entre Tn+1, Tn, Tn1. Montrer queTnest un polynÔme de degrÉnexactement dont on dÉterminera le coef-ficient dominant. CalculerTn(1)etTn(1). Montrer que(T0,∙ ∙ ∙, Tn)est une base deIRn[X]. ˜˜1 2 On poseT0=T0et, pourn1,Tn=Tn. π π Z 1 P(x)Q(x) ˜ ˜ Montrer que(T0,∙ ∙ ∙, Tn)est une b.o.n deIRn[X]pour le produit scalaire< P,Q >=dx. 2 11x Z π 2 p Montrer quelim sin(t)dt= 0. p+0 Montrer que, surIR[X],kPk=P >< P,etN(P) =Sup|P(t)|ne sont pas deux t[1,1] normes Équivalentes. 3 3 DÉterminerPtel quekXP(X)k=InfkXR(X)k. RIR2[X] Planche 5
Exercice 1: Justifier la convergence et donner la somme des sÉries suivantes : X X 2n+ 11 1 ,(n+ ) n n!n2 (n1)! n0n1
Exercice 2: SoitAune matrice deM10(IC)dont le polynÔme caractÉristique estP(X) = 2 2 4 X(X1) (X2) (X3). 9 Montrer que(I10, A,∙ ∙ ∙, A)est gÉnÉratrice de l’algÈbreIC[A]des polynÔmes enAet 9 X 20i expliciter lesaitels queA=aiA. i=0
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Planche 6 Exercice 1: sin(3θ) 1. Tracer la courbeCd’Équation polaire :ρ=. 1 + sin(2θ) 2. On orienteCdans le sens destcroissants. Calculer les rayons de courbures enO π pour chacun des arcs passant par ce point et au pointA(θ= ). 2 Exercice 2: SoitnINet(A, B)deux matrices d’ordrensymÉtriques et rÉelles, dÉmontrer : 2 2 1)tr(AB+BA)4(tr(A) +tr(B)) 2 22 2)(tr(AB+BA))4tr(A)tr(B)(question indÉpendante de la prÉcÉdente) Planche 7 Exercice 1: SoitnINetA∈ Mn(IC)etB∈ M2n(IC)dÉfinie par blocs :B=   A4A . A A   1 4 1) Etudier la diagonalisabilitÉ de. 1 1   A0 2) Montrer queBest semblable À. 0 3A 3) Montrer queBest diagonalisable dansM2n(IC)ssiAl’est dansMn(IC). Exercice 2: 2 SoitSnle nombre de solutions(x, y)INde l’Équation2x+ 3y=nnest un entier naturel donnÉ. 1. Montrer que,t]1,1[, ∞ ∞X XX 2n3n n t t=Snt n=0n=0n=0 1 2. DÉvelopper en sÉrie entiÈre la fonctiont7. 2 3 (1t)(1t) 3. En dÉduireSn. Planche 8 Exercice 1:    0 1 10 2 1    1) Montrer que1 0 0et1 0 1sont semblables. 2 1 00 1 0    0 04 21 1    2)1 08et0 02?sont-elles semblables 0 15 01 3 π Exercice 2: Soithune application continue sur[0,]. Etudier la convergence simple de 2 n la suite de fonctions(fn)nfn(x) =h(x)(sinx). Etudier la convergence uniforme.
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Planche 9 R 1 cos(xt) Exercice 1: Ensemble de dÉfinition deg:x72dt. Montrer quegest paire et 0 1t 2 CsurIR. Montrer quegvÉrifie une Équation diffÉrentielle et dÉterminer son dÉveloppe-ment en sÉrie entiÈre. Exercice 2: SoitA, rÉelle, carrÉe d’ordre impair, de dÉterminant Égal À 1 et dont les racines complexes du polynÔme caractÉristique sont de module 1. Montrer que 1 est valeur propre deA. Planche 10
Exercice 1: PourAmatrice carrÉe d’ordrenet inversible, montrer qu’il existe un 1 polynÔme de degrÉntel queP(A) =A. Exercice 2: x e1x 1Montrer quefdÉfinie parf(x) =pourx6= 0etf(0) =estCsurIR. 2 2 x 2 2 2 Exercice 3: Nature de la surface d’Équationx+ 2y+ 3z+ 4xz4 = 0. Planche 11 3 Exercice 1: Soient(a, b, c)IR. Calculer le dÉterminant de la matrice   a+b a+c b+c 2 22 22 2   a+b a+c b+c 3 33 33 3 a+b a+c b+c Z Z 1 Exercice 2: Pour1< a < b, calculerdxdy. ycos(x) ayb,0xπ Planche 12 Exercice 1:   a0a1∙ ∙ ∙an1 . . . . an1. .. En observant queA=∈ Mn(IC), est la somme de puis-. . . .. . .a1 a1∙ ∙ ∙an1a0 sances d’une matrice donnÉe, montrer queAest diagonalisable et chercher ses ÉlÉments propres.
Exercice 2: Z x +∞ − e n On note, pour toutnIN− {0,1}:In=dx. 0ln(x) 1. Montrer que, pour toutnIN− {0,1},Inexiste et que : Z +∞ −t n e In=dt e ln(n)ln( t) 1 + nln(n) n 2. En dÉduire :In. ln(n) n+
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Planche 13 Exercice 1: L’applicationfdÉfinie surMn(IC)parf(M) =M+tr(M)Inest-elle un endomor-phisme ? Trouver son noyau et rang, un polynÔme annulateur de degrÉ 2.fest-il diagonali-1 sable ?Inversible ?si oui, donnerf. 2 2 2 Exercice 2: Nature de la surface d’Équationx+y+z2yz4x+ 4y1 = 0. Existe-t-il des plans tangents À cette surface et parallÈles au planx+y+z= 0. Planche 14 Exercice 1: Montrer qu’il existe un unique couple de rÉels(a, b)tel que, au voisinage de n X +,ln(k+n) =nln(n) +an+b+o(1). k=0 Exercice 2: 2 22 2 2 1. Donner la nature des surfaces d’ÉquationsS1 :x=x+ypuisS2 :x+y+z= 1. 2. DÉterminer l’Équation du plan tangent en un point deS1(resp deS2). 3. On poseΓ =S1S2. Donner la tangente en un point rÉgulier deGamma. Planche 15 Exercice 1: SoitEun ensemble fini etP(E)l’ensemble des parties deE. Calculer X card(X)en fonction decard(E). X∈P(E) R 3 3 Exercice 2: Calculer par deux mÉthodes l’intÉgrale curviligneI=x dyy dxC C est le cercle de centre O et de rayonRparcouru dans le sens direct.
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