PSI Octobre MATHEMATIQUES

Description

PSI Octobre 2011 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Réduction Exercice 1 : Eléments propres de l'endomorphisme de IRn[X] défini par f : P 7?? (X2 ? 1)P ? ? (2X + 1)P Exercice 2 :Soit M = ? ? 2 a/2? 1/2 ?1 2 2a? 1 ?2 1 0 0 ? ?. 1. Discuter suivant la valeur de a la diagonalisabilité de M . 2. Pour a = 1, calculer le polynôme minimal et calculer habilement Mn = (I+M?I)n et déterminer une base dans laquelle la matrice de f est ? ? ? 0 0 0 ? 1 0 0 ? ? ? Exercice 3 : Soit M = ? ? ?1 3 ?8 1 ?2 7 1 ?2 6 ? ?. 1. M est-elle diagonalisable sur IR ? 2. Montrer qu'il existe une matrice triangulaire supérieure telle que M soit semblable à la matrice I3 + N avec N3 = 0. 3. En déduire limn?+∞ 1 n2 Mn. Exercice 4 :Soit Ax = (i(x ? j))1≤i,j≤n ? Mn(IK). Déterminer l'ensemble des valeurs x ? IK pour lesquelles Ax est diagonalisable. Indication : déterminer le rang de Ax puis utiliser la trace.

• complexes ?


• diagonalisables sur ik


• polynôme minimal


• rang de ax


• matrice dans la base cano- nique

Sujets

• Polynôme minimal

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 octobre 2011
• Nombre de lectures: 42

Extrait

PSI MATHEMATIQUES

Octobre 2011

Feuille d’Exercices RÉduction

Exercice 1: ElÉments propres de l’endomorphisme deIR n [X]dÉfini parf:P→−7 20 (X−1)P−(2X+ 1)P   2a/2−1/2−1   Exercice 2:SoitM = 2 2a−1−2 . 1 00 1. Discuter suivant la valeur deala diagonalisabilitÉ deM. n n 2. Poura= 1, calculer le polynÔme minimal et calculer habilementM= (I+M−I)   ?0 0   et dÉterminer une base dans laquelle la matrice defest 0?1 0 0?   −1 3−8   Exercice 3: SoitM = 1−2 7 . 1−2 6 1.Mest-elle diagonalisable surIR? 2. Montrer qu’il existe une matrice triangulaire supÉrieure telle queMsoit semblable 3 À la matriceI 3 +NavecN= 0. 1 n 3. En dÉduirelim n→+∞ M. 2 n Exercice 4:SoitA x = (i(x−j)) 1≤i,j≤n ∈ M n (IK). DÉterminer l’ensemble des valeurs x∈IKpour lesquellesA x est diagonalisable.Indication : dÉterminer le rang deA x puis utiliser la trace.

Exercice 5:(Mines 2010)   a b∙ ∙ ∙b . . . . b . . . 2 Trouver deux complexesαetβtels queM=   oÙ(a, b)∈IC, vÉrifie . .  . .  . . . b b∙ ∙ ∙b a 2 M+αM+βI n = 0. M? Si oui, donner ses ÉlÉments propres.est-elle diagonalisable Mest-elle inversible? Si oui, donner son inverse.   1 1 2 Exercice 6: Trouver les matricesX∈ M 2 (IR)telles queX+X= 1 1 Exercice 7: Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables surIK?

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