TP maple exercice

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TP maple 1 : exercice 3 restart; with(plots): f:=1/2*(z+1/z); z:=r*exp(I*t); assume(r,real);assume(t,real); f; Le point f(z) a pour coordonnées (X,Y) dans le plan complexe avec : X:=Re(f); Y:=Im(f); Considérons les complexes z appartenant au cercle de centre O de rayon r : r est fixé, t varie de 0 à 2*Pi. Traçons les courbes paramétrées obtenues avec r = 1,2,3,4. for k from 1 to 4 do G[k]:=plot([subs(r=k,X),subs(r=k,Y),t=0..2*Pi]):od: display(seq(G[k],k=1..4)); 0 1 2 1

  • droite d'angle polaire

  • pente de l'asymptote

  • tp maple

  • complexes z

  • courbes paramétrées

  • plan complexe


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : lycees.ac-rouen.fr
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TP maple 1 : exercice 3
restart;
with(plots):
f:=1/2*(z+1/z);
z:=r*exp(I*t);
assume(r,real);assume(t,real);
f;
Le point f(z) a pour coordonnées (X,Y) dans le plan complexe avec :
X:=Re(f);
Y:=Im(f);
Considérons les complexes z appartenant au cercle de centre O de rayon r : r est fixé, t varie de 0 à 2*Pi.
Traçons les courbes paramétrées obtenues avec r = 1,2,3,4.
for k from 1 to 4 do
G[k]:=plot([subs(r=k,X),subs(r=k,Y),t=0..2*Pi]):od:
display(seq(G[k],k=1..4));
0
1
2
1
Considérons les complexes z appartenant à la droite d'angle polaire theta : t=theta est fixé, r varie dans
R*.
Traçons les courbes paramétrées obtenues avec t = k*Pi/12, k=1...12.
for k from 1 to 12 do
H[k]:=plot([subs(t=k*Pi/12,X),subs(t=k*Pi/12,Y),r=-10..-0.5]):
A[k]:=plot([subs(t=k*Pi/12,X),subs(t=k*Pi/12,Y),r=0.5..10]):od:
display(seq(H[k],k=1..12),seq(A[k],k=1..12));
0
2
4
1
2
3
4
On reconnait des ellipses dans le premier cas, des hyperboles dans le deuxième cas.
Mettons-le en évidence :
1er cas : on reconnait un paramétrage X=a*cos(t), Y=b*sin(t), r étant fixé, ce qui permet d'obtenir a et b.
On vérifie alors l'équation x^2/a^2+y^2/b^2=1.
a:=simplify(X/cos(t));b:=simplify(Y/sin(t));
verif:=simplify(X^2/a^2+Y^2/b^2);
2eme cas (plus compliqué) : on identifie a comme l'abscisse du point tel que Y=0.
Pour b, on détermine la pente de l'asymptote : p = limite de Y/X quand X tend vers 0 ou +infinity. Alors
b=p*a.
Enfin, on vérifie l'équation x^2/a^2-y^2/b^2=1.
s:=solve(Y=0,r);
Warning, solve may be ignoring assumptions on the input variables.
a1:=subs(r=s[1],X);
p:=limit(Y/X,r=0);
b1:=p*a1;
verif1:=simplify(X^2/a1^2-Y^2/b1^2);
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