A MATH I MP

Description

Niveau: Supérieur
A 2011 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• matrice nulle


• somme directe


• base de cn


• ensta paristech


• endomorphisme


• endomorphisme de cn canoniquement

Sujets

• Télécom ParisTech
• École polytechnique
• Télécom Bretagne
• Matrice nulle
• Somme directe
• École nationale supérieure de techniques avancées
• Endomorphisme

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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Extrait

A 2011MATH. I MP

COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIRE MP), COLE POLYTECHNIQUE (F ILIRE TSI).

CONCOURS 2011

PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL , ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES I - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

CritÈre de diagonalisation de KlarÈs

Soit n un entier naturel non nul et M n ( C ) l’espace vectoriel des matrices carres d’ordre n À coefficients complexes. On note O n la matrice nulle et I n la matrice identit de M n ( C ). Latraced’une matrice U de M n ( C ) est note tr ( U ). On dit que deux matrices U et V de M n ( C )commutentsi U V=V U . Une matrice k NdeM n (C) est ditenilpotentes’il existe un entierk>0 pour lequelN=O n . Dans tout le problme, on considre une matrice A de M n ( C ) et on note f n l’endomorphisme de C canoniquement associ, c’est-À-dire l’endomorphisme n dont la matrice dans la base canonique de C est A . Le polynÔme caractristique de A est not P et les valeurs propres complexes distinctes de A sont notes λ 1 ,λ 2 , . . . ,λ r . Pour touti∈{1, . . . ,r} on note : •α i l’ordre de multiplicit de la valeur propre λ i , c’est-À-dire l’ordre de multiplicit de la racineλ i du polynÔmeP; α i •P i le polynÔme dfini parP i (X)=(λ i −X) ; ³ ´ ¡ ¢ n α i •F i le sous-espace vectoriel deCdfini parF i =Kerf−λ i Id C ; n •f i l’endomorphisme deF i obtenu par restriction defÀF i .

La partie B, À l’exception de la question 11), est indÉpendante de la partie A. La partie C est indÉpendante des parties prÉcÉdentes.

A. Dcompositionde Dunford n 1)Justifier que l’espace vectorielCest somme directe des espacesF i : r M n C=F i . i=1 n 2) En considrant une base de C adapte À la somme directe prcdente, montrer que pour tout i∈{ 1 , . . . ,r} , le polynÔme caractristique de f i est P i . (On pourra d’abord tablir queP i est un polynÔme annulateur def i .) 0 3) Montrer qu’il existe une matrice inversible P de M n ( C ) telle que A= −1 P APsoit une matrice dfinie par blocs de la forme suivante :   I+N0∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙0 λ 1α 1 1 . . . . 0 .. . 0 . . . . . A= . . .  . .  . . .  .  . . 0 λI+ 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 rα r N r oÙN i ∈M α (C) est nilpotente pour touti∈{1, . . . ,r}. i

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4) En dduire que la matrice A s’crit sous la forme A=D+N , oÙ D est une matrice diagonalisable et N une matrice nilpotente de M n ( C ) qui commutent. Les matrices D et N vrifiant ces conditions constituent ladÉcomposition de Dunfordde la matrice A . Dans toute la suite du problme, on admettra l’unicitÉ de cette dcomposition, c’est-À-dire que D et N sont dtermines de faÇon unique parA. Un exemple pour n=3:   3−1 1   5)Calculer la dcomposition de Dunford deA= 1 .2 0 1−1 2

B. Commutationet conjugaison Pour toute matrice B et toute matrice inversible P de M n ( C ), on note comm B et conjles endomorphismes deM n (C) dfinis par : P ( comm B (X)=B X−X B ∀X∈M n (C), −1 conj (X)=P X P. P Le but de cette partie est de dmontrer que A est diagonalisable si et seulement si comm A est diagonalisable. 6) Soit culer conj −1 ◦comm◦c . P une matrice inversible de M n ( C ). Cal P A onj P Pour tous i,j∈{ 1 , . . . ,n} , on note E i,j la matrice de M n ( C ) dont tous les coeffi- cients sont nuls, sauf celui situ À l’intersection de la i -me ligne et de la j -me colonne qui est gal À 1. 7) Si A est une matrice diagonale, montrer que pour tous i,j∈{ 1 , 2 , . . . ,n} , comm A admet E i,j comme vecteur propre. Dterminer l’ensemble des valeurs propres de comm A . 8)En dduire que siAest diagonalisable, comm A l’est aussi. 9) Montrer que si A est nilpotente, comm A l’est galement, c’est-À-dire qu’il k existe un entier k> 0 pour lequel ( comm A l’endomorphisme nul) est deM n (C). 10) Montrer que si A est nilpotente, et si comm A est l’endomorphisme nul, alorsAest la matrice nulle. D’aprs la partie A, l’endomorphisme comm A admet une dcomposition de Dunford de la forme comm A =d+n , oÙ les endomorphismes diagonalisable d et nilpotentncommutent :d n=nd. 11) Dterminer la dcomposition de Dunford de comm A À l’aide de celle de A et conclure.

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C. Formesbilinaires sur un espace vectoriel complexe Soit p un entier > 0 et E un espace vectoriel de dimension p sur C . On note ∗ Ele dual deE, c’est-À-dire l’espace vectoriel des formes linaires surE. On considre une forme bilinaire symtrique b sur C , c’est-À-dire une appli- cation b : E×E−→C linÉaire par rapport À chacune de ses deux composantes(et non sesquilinaire par rapport À la deuxime) et telle que b ( x,y ) =b ( y,x ) pour tous x,y∈E . Si F est un sous-espace vectoriel de E , on appelleorthogonal de F relativement À ble sous-espace vectoriel deEdfini par © ª ⊥ b F=x∈E;∀y∈F,b(x,y)=0 . ⊥ b On suppose quebestnon dÉgÉnÉrÉe, c’est-À-dire queE={0}. 12)Soituun endomorphisme deE. Dmontrer les implications suivantes : 2 (i)uest diagonalisable=⇒(ii) Keru=Ker (u)=⇒(iii) Keru∩Imu={0}. Soit F un sous-espace vectoriel de E , de dimension q , et soit ( ε 1 ,ε 2 , . . . ,ε q ) une base de F . Pour tout i∈{ 1 , . . . ,q} , on note ϕ i la forme linaire sur E dfinie par ϕ i (x)=b(ε i ,x). ∗ 13)Montrer que (ϕ 1 ,ϕ 2 , . . . ,ϕ q ) est une famille libre deE. ∗ On complte cette famille libre en une base ( ϕ 1 ,ϕ 2 , . . . ,ϕ p ) de E et on note (e 1 ,e 2 , . . . ,e p ) la base deE antÉduale(dont (ϕ 1 ,ϕ 2 , . . . ,ϕ p ) est la base duale). ⊥ b 14) Montrer que F est engendr par ( e q+1 ,e q+2 , . . . ,e p ), et en dduire la ⊥ b valeur de dimF+dim(F).

D. Critrede Klars Le but de cette partie est de dmontrer que la matrice A est diagonalisable si ¡ ¢ 2 et seulement si Ker(comm A )=Ker (comm A ) . 15) Montrer que l’application ϕ de M n ( C ) ×M n ( C ) dans C , dfinie par la for- mule ϕ ( X,Y ) =tr ( X Y ) pour tous X,Y∈M n ( C ), est une forme bilinaire symtrique non dgnre. ¡ ¢ ⊥ ϕ 16)Ker (commtablir l’galit A )=Im (comm A ). 17) En dduire que si A est nilpotente, il existe une matrice X de M n ( C ) telle queA=comm (X). Calculer alors comm(X) pour to A A +λI n utλ∈C. Soit D et N les matrices de la dcomposition de Dunford de A dfinies À la question 4). 18) Dmontrer qu’il existe une matrice X de M n ( C ) telle que N=comm A ( X ). 19)Conclure. F IN DU PROBLME

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