A MATH I PC

Description

Niveau: Supérieur
A 2010 MATH I PC ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PC). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS 2010 PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filiere PC (Duree de l'epreuve : trois heures) Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES I - PC L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre.

• theoreme de fubini


• lim n?


• theoreme de convergence dominee pour etudier lim


• telecom paristech


• fac¸on apparente sur la premiere


• composee des operateurs tf

Sujets

• École polytechnique
• Théorème de Fubini
• Télécom ParisTech

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

A 2010 MATH I PC

´ ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH ´ MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, ´ ´ TELECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH(Filie`rePC). ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS 2010

` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Fili`erePC

(Dur´eedel’´epreuve:troisheures) Sujetmisa`ladispositiondesconcours: Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparente surlapremi`erepagedelacopie:

´ MATHEMATIQUES I - PC

L’´enonce´decettee´preuvecomporte6pagesdetexte.

Si,aucoursdel’´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd’´enonc´e,il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilestamen´e`aprendre.

The´ore`medelaLimiteCentrale.

Notations On introduit les trois espaces vectoriels surRde fonctions suivants –C 0 (R), l’espace des fonctions continuesudeRdansRtelles que limu(xlim) = 0 =u(x). x→−∞x→+∞ On rappelle qu’une telle fonctionuur´etnssceesnrobsee´eriatnemR. ∞ ∞ –C(R), l’espace des fonctions continues et de classeC(surR)udeRdansR 0 telles que (k) (k) ∀k∈N,limu(xlim) = 0 =u(x). x→−∞x→+∞ (k) Onanot´euvie´´dree`emkei-delau. –P(Rderensbpoae)s,´le’nofsedecocsnoitcspueinntesivitosRdansRdont l’inte´gralesurRegale`a1.est´ On munitC 0 (R) de la norme de la convergence uniformekk ∞ uortnp,´emeecisspr´:plu toute fonctionu∈ C 0 (R), on pose kuk ∞ = sup|u(x)|. x∈R

Onpourrautiliserlibrementlethe´ore`medeFubiniadmisci-dessous : The´or`eme1.(Fubini) Soit(x, y)7→F(x, y)une fonction continue deR×Rdans R.On suppose queFsiortselefiire´vt´essuivpropri´enaet.s R R +∞+∞ 1]Pourtousre´elsx, y,leeusdselatnixrge´|F(v, y)|dvet|F(x, t)|dtconvergent. −∞ −∞ R RR +∞+∞+∞ 2] Lesfonctionsy7→ |F(x, y)|dx,x7→ |F(x, y)|dy,y7→F(x, y)dx, −∞ −∞−∞ R +∞ x7→F(x, y)dysont toutes continues surR. −∞ R +∞ 3]y7→ |F(x, y)|dxrelusrgbant´eestiR,e’tsclarg:e’iel´entdi`aqure −∞ Z Z +∞  +∞  |F(x, y)|dx dy −∞ −∞ converge. R R +∞+∞ Alors dans ce cas,y7→F(x, y)dxetx7→F(x, y)dyblesegrasurni´tostn −∞ −∞ R,uretlsrue´tniargesselRutintervertirlestdueeuxremtnid,tnoepst´onaleg.Aes int´egrales: Z ZZ Z +∞  +∞  +∞  +∞  F(x, y)dx dy=F(x, y)dy dx. −∞ −∞−∞ −∞

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I.Pr´eliminaires Pourfetgmevetiecsprentnaappraeta`tnP(R) etC 0 (Rrodutlepefiniond´,)tied convolutionf∗gpar la formule Z +∞ ∀x∈R, f∗g(x) =f(t)g(x−t)dt. −∞ Ond´efinitf∗g(xrofemeˆmiselum)parlaf∈ C 0 (R) etg∈ P(R). R +∞ Q1Soientf∈ P(R) etg∈ C 0 (R).Moraletr´qeugenlt’irnef(t)g(x−t)dtconverge −∞ pourtoutr´eelx. Puis montrer quef∗gnoitunsenotcoicnfinitunefurd´eR.(On R pourrautiliserlethe´ore`medecontinuite´souslesigneetonve´rifieraavecsoinque lesconditionsdevalidite´sontremplies).V´erifierdeplusque ∀x∈R, f∗g(x) =g∗f(x).

Q2Montrer quelimf∗g(xiternesueraud`erqneuleoceluqe´leisnocnO(.0=) x→+∞ (x n ) n∈N tendant vers +∞qu’onpeuavecsoinreelhte´atppiluqedeme`roire´arefivnO. convergencedomin´eepoure´tudierlimf∗g(x n meˆmeuqe)).Merdeontr n→+∞ limf∗g(x) = 0. x→−∞ Q3Soientfetgapaaptrnena`tP(R).Montrer alors quef∗g´dfieinutnefonctionde P(RulP.´rpssiceeme´,mnttronquere)f∗ginut´dfiecnitenofntinoncoruesuR,ee´nro,b positiveetd’int´egralee´gale`a1.(Onappliqueralethe´ore`medeFubini`alafonction (x, y)7→f(y)g(x−yndcoeselquerifierte]1snoitirrasnpou)etoen´vreedettnceno 3]). Danslasuiteonadmettraetutiliseralibrementlere´sultatsuivant.Sifetg appartiennenta`P(R) etuest une fonction deC 0 (R) alors, f∗(g∗u) = (f∗g)∗u.

Soientf 1 , . . . , f n des fonctions deP(Rtiedocvnlspeorudfinitalor).Ond´enioutol f 1 ∗. . .∗f n ocecnerruce´rrapuit:mmes f 1 ∗. . .∗f k = (f 1 ∗. . .∗f k−1 )∗f k ,∀k∈ {3, . . . , n}. Il est clair quef 1 ∗. . .∗f n est une fonction deP(R). ∗n Dans la suite, on noterafla fonctionf∗. . .∗f,la fonctionfintervenantnfois. II.Uneclassed’ope´rateurssurC 0 (R) Soitfune fonction deP(R´erateurociel’opssaiulnO.)T f agissant surC 0 (Rd´)niefi pour toutu∈ C 0 (R) par T f (u) =f∗u. 3

D’apre`sQ1etQ2,T f eedsmhidnutinfie´promodneC 0 (R). Q4Soitfune fonction deP(R). Prouver que pour toutu∈ C 0 (R), kT f (u)k ∞ ≤ kuk ∞ . Q5Soientfetgdeux fonctions deP(R).Prouver que pour toute fonctionudeC 0 (R), T f T g (u) =T g T f (u) o`uT f T g alocpmsoe´desepo´erateursesd´neigT f etT g . Q6Soientf 1 ,f 2 ,g 1 ,g 2 des fonctions deP(R). Prouver que pour toutu∈ C 0 (R), kT f 1 T f 2 (u)−T g 1 T g 2 (u)k ∞ ≤ kT f 1 (u)−T g 1 (u)k ∞ +kT f 2 (u)−T g 2 (u)k ∞ Q7Soientfetgdes fonctions deP(R). Prouver que siu∈ C 0 (R), alors pour tout ∗ n∈N, n n k(T f ) (u)−(T g ) (u)k ∞ ≤nkT f (u)−T g (u)k ∞ . III. Lois normales Onintroduitpourtoutre´elh >0, la fonction 2 1 − x 2 g h (x) = √ e ,x∈R 2h h2π diteloinormaledeparame`treh. On admet queg 1 est une fonction deP(R). Q8ouPlee´rtuotrh >0, montrer queg h est une fonction deP(R), puis calculer les deuxinte´gralessuivantes: Z Z +∞+∞ 2 xg h (x)gdx, x h (x)dx . −∞ −∞

Soienth 1 >0 eth 2 >tcirnemesoptfitiOns.meadratte:qudeux0lsstr´ee g h 1 ∗g h 2 =g h , p 2 2 ou`h=h+h . 1 2 Q9Soith >0.eusdleirbltaEaviusse´tilage´xerateop´entrntes:uesr   n ∗ ∀n∈N, T=T h =T ∗n . g h g √ h n (g √ ) n IV. Convergence faible surP(R) D´efinition:Soit (f n ) n∈N une suite de fonctions deP(R). On dira que (f n ) converge faiblement versf,fdetionofcnutentena´P(R), si pour toute fonctionudeC 0 (R), limkT f n (u)−T f (u)k ∞ = 0. n→+∞ 4