Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2002 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Notations et objectifs du problème Pour toutes les questions géométriques on se place dans le plan muni de sa structure affine euclidienne canonique et de son repère orthonormé naturel. Le but de ce problème est d'étudier quelques caractéristiques du mouvement sur l'axe d'un mobile qui se trouve à l'origine au temps initial et au temps et dont la vitesse initiale est nulle. • L'espace vectoriel des fonctions continues de dans est noté . Si est une famille finie d'éléments de , le sous-espace de qu'engendre est noté . • La norme de la convergence uniforme sur est notée . • On note le produit scalaire sur défini par : L'orthogonalité entre éléments de est toujours relative à ce produit scalaire dont la norme associée est notée . L'orthogonal d'un sous-espace de est noté . • On désigne par l'élément de défini par et par l'orthogonal de la droite . • On appelle mouvement admissible toute application de classe de dans telle que : On note le sous espace vectoriel de constitué des mouvements admissibles. On établit d'abord des résultats préliminaires très proches du cours et utiles dans tout le problème. Dans la partie II on calcule la meilleure borne pour la moyenne quadratique de la vitesse en fonction de l'accélération. La partie I fait établir des résultats qui servent dans la fin de la partie II ; on peut admettre ces résultats pour traiter la partie II.

• hn tn


• unique racine dans l'inter- valle


• ?n ?


• racine


• origine au temps initial et au temps


• ?k


• vect e0

Sujets

• Racine

Informations

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Extrait

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Notations et objectifs du problème

Pour toutes les questions géométriques on se place dans le plan

muni de sa

structure affine euclidienne canonique et de son repère orthonormé naturel. Le

but de ce problème est d’étudier quelques caractéristiques du mouvement sur

l’axe

d’un mobile qui se trouve à l’origine

au temps initial

et au

temps

et dont la vitesse initiale est nulle.

•

L’espace vectoriel des fonctions continues de

dans

est noté

. Si

est une famille finie d’éléments de

, le sous-espace de

qu’engendre

est noté

.

• La norme de la convergence uniforme sur

est notée

.

• On note

le produit scalaire sur

défini par :

L’orthogonalité entre éléments de

est toujours relative à ce produit scalaire

dont la norme associée est notée

. L’orthogonal d’un sous-espace

de

est noté

.

• On désigne par

l’élément de

défini par

et par

l’orthogonal de la droite

.

• On appelle

mouvement admissible

toute application

de classe

de

dans

telle que :

On note

le sous espace vectoriel de

constitué des mouvements

admissibles.

On établit d’abord des résultats préliminaires très proches du cours et utiles

dans tout le problème. Dans la partie II on calcule la meilleure borne pour la

moyenne quadratique de la vitesse en fonction de l’accélération. La partie I fait

établir des résultats qui servent dans la fin de la partie II ; on peut admettre ces

résultats pour traiter la partie II.

IR

2

Ox

O

t

0

=

t

1

=

0

1

[

,

]

IR

C

Φ

(

)

C

C

Φ

(

)

Vect

Φ

(

)

C

∞

〈

〉

C

f

g

〈

〉

f

t

(

)

g

t

(

)

t

d

0

1

∫

=

C

2

E

C

E

⊥

u

C

u

t

(

)

3

1

t

–

(

)

=

H

Vect

u

(

)

ξ

C

2

0

1

[

,

]

IR

ξ

0

(

)

ξ

′

0

(

)

ξ

1

(

)

0

=

=

=

A

C

2

0

1

[

,

]

IR

,

(

)

Concours Centrale-Supélec 2002

2/6

Filière PSI

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Dans tout le problème, on note, pour

,

et

l’élément de

défini par :

On pose, par ailleurs,

, complémentaire de

dans

.

Résultats préliminaires

A

- Soit

,

. Justifier l’égalité

et montrer soigneusement que

.

On note

le projecteur orthogonal sur

.

Démontrer que, pour

:

B

-Montrer que l’application

est un isomorphisme de

sur

dont

l’isomorphisme réciproque est défini par

Partie I - Comportement asymptotique de racines

d’équations

Pour

, on considère les coefficients de Fourier en sinus et cosinus d’une

fonction réelle , continue par morceaux sur

et -périodique, donnés par :

;

.

k

IN

∈

ω

k

k

π

π

2

--

+

=

e

k

C

t

∀

0

1

[

,

]

∈

e

k

t

(

)

2

ω

k

t

(

)

cos

=

,

Ω

]0 +

∞

[

ω

k

k

IN

∈

{

}

–

,

=

ω

k

{

}

k

IN

∈

]0 +

∞

[

,

h

C

∈

h

0

≠

C

Vect

h

(

)

Vect

h

(

)

⊥

⊕

=

Vect

h

(

)

⊥

(

)

⊥

Vect

h

(

)

=

Π

h

Vect

h

(

)

⊥

f

C

∈

Π

h

f

(

)

f

f

h

〈

〉

h

2

2

--------------

h

–

=

ξ

ξ

″

a

A

H

z

t

t

s

–

(

)

z

s

(

)

s

d

0

t

∫

a









a

n

IN

∈

f

IR

4

a

n

f

(

)

1

2

--

f

x

(

)

π

nx

2

----------









cos

x

d

2

–

2

∫

=

b

n

f

(

)

1

2

--

f

x

(

)

π

nx

2

----------









sin

x

d

2

–

2

∫

=

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Concours Centrale-Supélec 2002

3/6

I.A -

Démontrer que

est une famille orthonormale de

.

I.B -

Pour

, on note

la fonction définie sur

, -périodique et paire,

telle que, pour

on ait :

I.B.1)

Donner, sans démonstration, quelques éléments de symétrie du gra-

phe de

Montrer que

est continue par morceaux sur

. À quelle condition

est-elle continue sur

?

I.B.2)

Expliciter, pour

,

en fonction

. Calculer les

autres coefficients de Fourier de

I.B.3)

Montrer, en citant précisément les théorèmes utilisés, que, si

:

I.B.4)

Montrer de même que, si

est de classe

sur

et si

,

alors, pour tout

:

La série de fonctions du second membre converge-t-elle uniformément sur

?

I.B.5)

En appliquant les résultats des deux questions précédentes aux fonc-

tions

et

, prouver les relations :

et, pour

I.B.6)

On note

la fonction définie, pour

, par :

e

k

(

)

k

N

∈

C

f

C

∈

f

˜

IR

4

t

]

2

2

,

–

]

∈

f

˜

t

(

)

f

t

(

)

si

t

0

1

,

[

]

∈

0

si

t

= 1

f

2

t

–

(

)

–

si

t

]1,2]

∈











=

f

˜

.

f

˜

IR

IR

k

IN

∈

a

2

k

1

+

(

f

˜

)

f

e

k

〈

〉

f

˜

.

f

C

∈

f

2

2

e

k

f

〈

〉

2

k

0

=

∞

∑

=

f

f

e

k

〈

〉

e

k

k

0

=

n

∑

–

2

0

=

n

∞

→

lim

f

C

1

0

1

[

,

]

f

1

(

)

0

=

t

0

1

[

,

]

∈

f

t

(

)

f

e

k

〈

〉

e

k

t

(

)

k

0

=

∞

∑

=

0

1

[

,

]

u

t

ω

t

1

–

(

)

(

)

sin

a

1

ω

k

2

------

1

2

--

=

k

0

=

∞

∑

ω

Ω

∈

ω

tan

2

ω

ω

k

2

ω

2

–

------------------

k

0

=

∞

∑

=

φ

ω

Ω

∈

φ

ω

(

)

1

2

ω

------

ω

ω

tan

–

[

]

=