Correction du DL n˚

Description

Niveau: Supérieur
Correction du DL n˚ 17 Mines-Ponts 2000 Theoreme de Cauchy cas lineaire sans second membre Toutes les equations differentielles considerees dans ce probleme sont des equations differentielles lineaires du second ordre resolues en y” sans second membre a coefficients continus sur R . Leurs solutions sont des R solutions et le probleme de cauchy aux donnees initiales (t0, y0, y?0) admet une unique solution . En particulier la fonction nulle est la seule solution au probleme (t0, 0, 0).. Premiere partie 1 caracterisation d'une solution periodique Si f est solution de E1 et admet 2pi pour periode alors f(0) = f(2pi) et f ?(0) = f ?(2pi). Reciproquement sous cette hypothese en definissant g par g(t) = f(t+ 2 ? pi), g est solution de E1 pour le probleme de Cauchy (t = 0, f(2pi), f ?(2pi)) .E1 etant une equation differentielle lineaire resolue en y” a coefficients continus ,ce probleme admet une unique solution et donc g = f et f admet 2 ? pi pour periode 2 construction d'une solution periodique 2.1 Si f est une solution admettant 2 ? pi pour periode solution de E1 elle est de classe C∞ et verifie donc les hypotheses du theoreme de convergence normale des series de Fourier 2.2 Comme f est de classe C1 le cours donne cn(f ?) = incn(f).

• theoremes de derivation des series


• croissance de l'exponentielle ?


• solution de e1


• fixe sur les intervalles respectifs


• application du critere des series alternees


• unique solution


• application du meme critere


• rayon de convergence

Sujets

• Rayon de convergence

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Correction du DL n˚17

Mines-Ponts 2000

TheoremedeCauchycasline´airesanssecondmembre Toutesles´equationsdiff´erentiellesconside´re´esdansceproble`mesontdes´equations diffe´rentielleslin´eairesdusecondordrere´solueseny”a`mbrendmesecosans coefficients continus sur R . Leurs solutions sont des R solutions et le probleme de 0 n . En particulier cauchyauxdonn´eesinitiales(t 0 , y 0 , y 0 ) admet une unique solutio lafonctionnulleestlaseulesolutionauproble`me(t 0 ,0,0). .

Premie`repartie

1

caract´erisation

d’unesolutionpe´riodique

Sifest solution deE 1 et admet 2πapl´oerrpiooudresf(0) =f(2π) et 0 0 f(0) =f(2π). Reciproquementsouscettehypotheseend´efinissantgparg(t) =f(t+ 2∗π), g est 0 solution deE 1 pour le probleme de Cauchy (t= 0, f(2π), f(2π)) .E 1 ´etaenutn e´quationdiffe´rentiellelin´eairere´solueenyborpemelunitec,sientscon”`acoeffic admet une unique solution et doncg=fetfadmet 2∗πdeerio´pruop

2

constructiond’unesolutionpe´riodique

2.1 Sifest une solution admettant 2∗πe´irdoselotuoidnpourepE 1 elle est de classe C ∞ convmedeeoreuth´esdshte`yhoplcseonedifierv´et´essesriamroedelegrenecn de Fourier

2.2 0 Commefest de classeC 1 le cours donnec n (f) =inc n (fonf’aqiautna`.)nEpalp 2 doncc n (f”) =−n c n (fuantpliqenapduitffieicudocclluuaacetdenenO.e´dn) Fourierd’ordrendumembredegauchedel’e´quationque

2 −n c n (f) +c n−1 (f) = 0

1

2.3 Par suite avecn= 0c −1 (f) = 0puis c n (f) = 0pour n ne´gatif. Puis pourndans c 0 (f) Nc n (f) = 2 existOn.deiune´disefqteu (n!)

+∞ X exp(int) f(t) =c 0 2 (n!) n=0

Remarque :sqnuei:surtoutdufaittiqcuieuliaefnon´crtcieopniaoirfaIlraud de´finieestbiendeclasseC 2 e´iredssseeded´emesdtionrivaasileltn´htseroeetinu 2 4 fonctions normalement convergentes 1/(n!) =o(1/n).

3

ine´galit´ev´erifi´eeparfetf’

3.1 Lase´riedeFourierdef,fesentevergtconmenemrlatnone´atsulpeD.ee´nrobt avecN(f) =sup R {|f(t)|}comme f est solution deE 1 rifiellee´veN(f”) =N(f) . L’in´egalite´edesaccroissementsfinisconduita`lamajorationde|C|et|D|par 2 h N(f). 2

3.2   0 0 h1 2hf(t) =D−C+f(t+h)−f(t−h) par suite∀h >0N(f)≤+N(f) avec 2h   p h1 +≥(2) . On conclut 2h p 0 N(f)≤(2)N(f)

Deuxie`mepartie

1

rayon de convergence

n n x u n (x) = (−1) 2 dere`itnednoyareund’alereeri´eeseletetse´´nmrgeconvergence (n!) R=∞osmmnetoe´gede

2

signe de g

0 Onv´erifiequelase´rieentie`rede´rive´edegde sommegconverge sur [0,2] par applicationducrit`eredesse´riesalterne´esd`eslerang0.Lesignedupremierterme 0 0 (ne´gatif)donnelesignedegsur [0,2] :g <s´ermelaiedeeˆmeD.0gconverge par applicationdumˆemecrit`erea`partirdurang1.Avecg(0) = 1 et g(2) = 1−2 +R 1 (2) avec|R 1 (2)|≤u 2 (2) = 1 ,g(2)≤0 , puis p p p p p 2 g= 1( (2)) −(2) + +R 2 et( (2) |R 2 ( (2))|≤|u 3 ( (2)|soit 4 √ p p p 2 (2) |R 2 ( (2))|≤<0,08 (en majorant (2) par 1,42 CommeR 2 ( (2))<0 36

2

(Crite`respe´cialdesSA)onaa`nouveauparlamˆememajoration p g( (2)))>1,5−1,42−0,08 = 0 . Parde´croissancedegsurl’intervalleonpeutconclurequegs’annuleen p x 0 ∈] (2),2] ,est positive avantx 0 ´etntigaapveesr`.e

Troisi`emepartie

ETUDE de L’EQUATION :E 2 y”(t) +exp(t)y(t) =O

On note queE 2 ´erendiffllelntieutensetaoie´uqneesr´ueol´einreaiyicffiestne”oca` continus sur R .

1

ze´rosdelafonctiony

1.1 D’apre`slethe´ore`medeCauchycaslin´eairesanssecondmembrey= 0

1.2 Soitzsolution de F etyv´entH(rifiametcirtstisoptne[uresivα, βe´irefinv.O]) z(t)−0 0 ais´ement(utiliser1.1etfaireundessin)quez(α) = lim≥0et6= 0 et de t−α t→α+ 0 0 0 meˆmez(β)<0. Un calcul direct donne avecW(t) =y(t)z(t)−y(t)z(t) , 0 W(t) = (exp(t)−exp(a))y(t)z(t) est donc strictement positif sur ]α, β[. W est 0 0 croissante sur [α, β]) . CommeW(α) =y(α)z(α)>0 etW(β) =y(β)z(β)<0 ceciconduituneabsurdite´.Doncsur[α, βntervalled´efiniposerz´uxdeair] conse´cutifsdez,ys’annule. Remarque :tnpmisemelupnssepoenuriotsedematstseluse´rlzetyde signe strictfixesurlesintervallesrespectifs(les´equationsdiff´erentiellese´tantlin´eaires changer si besoinzen−zet si besoinyen−y)

1.3 Aveca=τ z(t) = sin(exp(−τ /2)(t−τ)) est une solution de F s’annulant enτet τ+πexp(−τ /2)uxdeerz´ocsoe´snitucP.sfitearsuys’annule sur tout intervalle [τ, τ+πexp(−τ /2)].

2

espacementdesze´rosdelafonctiony

2.1 0 Commeyn’est pas nulle ety(τ) = 0y(τ)6= 0.y´etantC 1 y est srictement monotone au voisinage deτet pour un certainc >0 non nulle sur ]τ, τ+c[. Cequijustifielanotiondez´eroscons´ecutifs.

3

2.2 Avec 0<  < cSoitz(t) = sin(exp(−β/2)(t−β−)osre´zxuedselcevA. cons´ecutifschoisisonan´ecessairementunze´rodeydansl’intervalle semi ouvert [β−−πexp(−β/2), β−raocsnq´e[uPtn:

(β−−πexp(−β/2))≤α < β− < β

. En faisant tendrevers 0 ,

Quatrie`mepartie

β−πexp(−β/2)≤α < βD’ouat:tseluel´r

β−α≥πexp(−β/2)

1

FonctionΨ

On remarque que Ψ(t) =g(exp(t)) (g fonction de II) .

1.1 v n (t) =u n (exp(t).∀x∈(−∞, a]|v n (t)|≤|u n (exp(a)|eleteitsu’enmrdeies´erqu num´eriqueconvergence(Rayondeconvergence∞pourg). Las´eriedefonctionsdetermege´n´eralv n converge normalement donc uniform´ementsur(−∞, a].

1.2 Aveclaremarquepr´eliminaireΨestparcompositiondeclasseC ∞ avec Ψ”(t) =exp(2t)g”(exp(t)) +exp(t)g(exp(t))ceioutenda`tilosΨciuqudnoE 2 sur 0 R si et seulement si (x=exp(t)et xg”(x) +g(x) +g(xontivari´edraP.)0=) terme`atermed’unes´erieenti`eresursonintervalledeconvergenceiciR,avecun changementd’indicelere´sultatestimm´ediat.

2

Vuelaremarquetze´rodeΨSietseulementsiexp(ted.gposotifiunsterz´)e Sur[0,2]gadmetl’uniqueze´rox 0 > sqrt(2) .Par croissance de l’exponentielle Ψ ln 2 admetunpluspetitz´erot 0 = ln(x 0 )>efinislesz´eroscosne´ucitsfpuS.osop´dsn 2 de Ψt 0 ,∙ ∙ ∙, t n en ordre croissant . Par application du III 1 c et III 2 ,Ψ admet des z´erosquisontdansA n = [t n +c t n ,∞[ .A n ´etoerz´itetsplunpeutsixelie´mreftna de Ψ dansA n tsup´eririctemenodcnts`rueat n soitt n+1 tpui.arenOnedd´ re´currencequelesze´rosdeΨconstituentunesuitemonotonecroissante.LeIII1c prouve en prenantτlimarbitrairement grand que t n = +∞. Enfin en reprenant n→∞ t n +t n+1 −m n le III 1c etm n = avecτ=m n on at n < m n < t n+1 ≤m n +πexp.( ) 2 2 t−t −m n n+1 n −m n D’ou`0< t n+1 −t n ≤m n −t n +πexp= +( ) πexp( ) Par suite 2 2 2 t− n+1 t n −m n 0<≤πexp( ) 2 2

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