Cours PC Brizeux Ch E3 Régimes stationnaires

Jno

Description

Niveau: Supérieur
Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 21 - 21 C H A P I T R E E 3 RÉGIMES STATIONNAIRES 1. LE CADRE DES REGIMES STATIONNAIRES Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre des régimes stationnaires, c'est-à-dire indépendants du temps. Aucune des grandeurs considérées ici ne peut donc dépendre du temps, toute dérivée du type ! t est donc identiquement nulle. En particulier les distributions de charges seront telles que ! _ t = 0. En ce qui concerne l'étude du champ électrique, le cadre des régimes stationnaires contient bien évidemment celui des régimes statiques associés à des charges immobiles dans le référentiel d'étude. Il est cependant plus large puisqu'on peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant à la condition énoncée plus haut : imaginons par exemple le cas d'un cylindre infini chargé uniformément et se déplaçant parallèlement à son axe. L'équation de conservation de la charge implique qu'en régime stationnaire, une distribution de courants est nécessairement telle que ! divj ! = 0 . Ceci revient à dire que le flux de ! j est le même à travers toute section d'un tube de courant : en régime stationnaire, pour des circuits filiformes, l'intensité est la même en tout point du circuit. Elle est de plus évidemment indépendante du temps (on parle souvent de courant continu).

• potentiels correspondants


• masse


• propriété


• équation locale


• surface fermée


• loi de coulomb


• extension infinie


• champ electrique

Sujets

• Propriété
• Équation locale
• Loi de Coulomb
• Champ électrique

Informations

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Extrait

Cours PC Brizeux Ch. E3 Régimes stationnaires 21

CHAPITRE E3
RÉGIMES STATIONNAIRES


1. LE CADRE DES REGIMES STATIONNAIRES


Dans tout ce chapitre, nous nous plaçons dans le cadre des régimes stationnaires, c’est-à-dire
indépendants du temps. Aucune des grandeurs considérées ici ne peut donc dépendre du temps, toute
"
dérivée du type est donc identiquement nulle.
"t
"#
En particulier les distributions de charges seront telles que = 0. En ce qui concerne l’étude du
"t
champ électrique, le cadre des régimes stationnaires contient bien évidemment celui des régimes
! statiques associés à des charges immobiles dans le référentiel d’étude. Il est cependant plus large
puisqu’on peut imaginer des distributions mobiles mais satisfaisant à la condition énoncée plus haut :
! imaginons par exemple le cas d’un cylindre infini chargé uniformément et se déplaçant parallèlement à
son axe.

L’équation de conservation de la charge implique qu’en régime stationnaire, une distribution de
courants est nécessairement telle que divj =0 . Ceci revient à dire que le flux de j est le même à
travers toute section d’un tube de courant : en régime stationnaire, pour des circuits filiformes,
l’intensité est la même en tout point du circuit. Elle est de plus évidemment indépendante du temps
(on parle souvent de courant continu).
! ! !
Rq. La loi des noeuds est une autre conséquence de div j = 0. Sur la figure ci-dessous, un courant I
se répartit dans deux branches en I et I . Si l’on écrit que le flux de est nul à travers la surface fermée j 1 2
Σ, on obtient, compte tenu des changements d’orientation de surface au passage
surface ouverte - surface fermée : !
!
S1
I1
n
n
€
€
I2
n
S2
€
j dS = 0 = j dS + j dS + j dS =$I + I + I 1 2"" "" "" ""
# S S S1 2
d’où la loi des nœuds : I = I + I . 1 2
- 21
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2. CHAMP ELECTRIQUE STATIONNAIRE

2.1. Rappel de la loi de Coulomb

Considérons une distribution volumique de charges ρ(P) à l’intérieur d’un volume τ. Le champ E
stationnaire créé en tout point M de l’espace est donné par :

1 $(P)u M! E(M) = d&
2''' 4"# r0
P%& u r
P
Cette expression est applicable pour toute
distribution, même d'extension infinie. Elle est d"! ! connue sous le nom de loi de Coulomb.

Pour des distributions d’extension finie, le
! potentiel V associé est calculable par :

ρ(P)1
V(M) = ∫∫∫ dτ τ 4πε r0

Rq.1 Ces expressions s'étendent aux distributions limites surfaciques, linéiques et ponctuelles en
remplaçant l'intégrale volumique en intégrale surfacique, curviligne ou simple somme.

Rq.2 L’expression du potentiel montre notamment qu’il tend vers 0 quand on s'éloigne à l'infini
de la distribution. C'est un choix qui rend unique la solution prise pour le potentiel.


2.2. Propriétés fondamentales

2.2.1. Flux et divergence : Théorème de Gauss

Comme nous l’avons remarqué au chapitre précédent, l’équation de Maxwell-Gauss est la même
dans tout type de régime. Les propriétés associées s’appliquent donc au champ électrique stationnaire.
Rappelons que cette équation s’écrit :
"
divE =
#0
EAinsi le flux de à travers toute surface fermée s’écrit :

!
! le flux de E à travers toute surface fermée est égal au quotient par ε de la charge 0
! totale contenue dans le volume délimité par cette surface :

Q! intE.dS = ## "0
S
- 22
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Le théorème de Gauss permet par exemple, par un choix de surfaces judicieux, de calculer E plus
facilement que par la loi de Coulomb, dans des problèmes à forte symétrie où la direction du champ est
connue à priori.

!
Ainsi, pour des distributions à symétrie sphérique, le champ à l’extérieur de la distribution est
le même que si la charge était rassemblée en son centre.

2.2.2. Circulation et Rotationnel : potentiel V

En régime stationnaire, l’équation de Maxwell-Faraday s’écrit :

rotE= 0

Tout champ vectoriel à rotationnel identiquement nul dérive d’un gradient. C’est pourquoi nous
pouvons associer au champ E un scalaire V, défini à une constante additive près. ! ! !
L’usage veut qu’on ait en fait posé :

E = " gradV !

On retrouve bien évidemment la forme particulière de la relation liant en général le champ r
"A ! ! électrique aux potentiels V et A en régime stationnaire où le terme - est identiquement nul…
"t
En outre, le théorème de Stokes transforme ces propriétés locales en propriétés intégrales : ainsi,
tout champ électrique stationnaire est à circulation conservative : sa circulation le long d'un contour
fermé est toujours nul! le.
!
E.dl = 0 : tout champ E stationnaire est à circulation conservative "
C

De même : ! ! !
!
2r
"C E .dr = V – V 1 2#
1
C
La circulation d’un champ électrique stationnaire le long de tout contour allant d’un point 1 à
un point 2 est égale à la différence de potentiel entre le premier et le deuxième point.

! D’un point de vue topographique, nous pouvons dire, de façon un peu imagée, que le champ
électrique stationnaire ne « tourne » pas. Plus concrètement, les lignes de champ, qui ne peuvent se
refermer, sont orthogonales aux surfaces équipotentielles et dirigées vers les potentiels
décroissants.

2.2.3. Équation de Poisson
ρ
Combinons enfin divE = et E = - gradV. Nous obtenons : ε0
ρ "
div (-gradV) = => ΔV + = 0 ε0 #0
! ! !
- 23
!
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Cette équation, appelée équation de Poisson, constitue en fait une équation locale relative au
potentiel V, équation qui le relie à ses sources.
C’est l’intégration de cette équation sur une distribution de charges d’extension finie, avec le choix
d’un potentiel nul à l’infini, qui aboutit à la loi de Coulomb du potentiel :

1 $(P)
V(M) = dτ ### 4"# r0"

E☞ Remarquons enfin que les deux équations de Maxwell relatives à per mettent de
« construire » totalement le champ électrique stationnaire et contiennent notamment la loi de ! !
Coulomb qui en est une conséquence .

!

2.3. Analogie champ électrostatique – champ gravitationnel

2.3.1. Force d’interaction gravitationnelle

La force d’interaction gravitationnelle qui m2
s’exerce entre deux masses ponctuelles m et 1 F1"2
mm1 2m a pour expression : F1"2 =#G u , 2 r2r r
force qu’exerce la masse m sur la masses m 1 2 !
où G représente la constante de
mgravitation universelle 1
!
ur
-11 2 -2 G = 6,67.10 N.m .kg .

qq! 1 2Cette expression est analogue à celle de l’interaction électrostatique : F1"2 = u . r24#$ r0
Les différences fondamentales entre ces deux forces proviennent d’une part du fait que l’interaction
gravitationnelle est forcément attractive alors que l’interaction électrostatique peut être répulsive, et
d’autre part du fait que la gravitation joue un rôle négligeable à l’échelle atomique face à l’interaction
! électrostatique alors que c’est le contraire à l’échelle macroscopique (la matière est globalement neutre).

2.3.2. Champ gravitationnel
On peut donc considérer que la masse m crée dans tout l’espace un champ gravitationnel que peut 1
m1ressentir toute masse m placée en son voisinage : G ="G u . 2 r2r
µ(P)u
Pour une distribution volumique de masse, nous aurons donc : G(M) =