Licence ST Annee Semestre Examen session Math IV Algebre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence ST - Annee 2006/2007 - Semestre 2 Examen session 1, Math IV Algebre Questions de Cours 1. Par definition, E? = Homk(E,k) et puisque les espaces vectoriels E et k sont de dimen- sion finie, on a dimk(E?) = dimk(E)? dimk(k) = dimk(E)? 1 = dimk(E). 2. (a) Un endomorphisme orthogonal deE est un endomorphisme lineaire de E qui satisfait la propriete suivante : ?x, y ? E, < f(x), f(y) >=< x, y >. (b) Ici le point cle etait de montrer que la famille est une base. Elle est orthonormee par definition. Notons B la famille en question. Montrons que B est libre. Soient ?1, . . . , ?n ? R tels que ?1 · e1 + · · ·+ ?n · en = 0. Alors pour tout entier i entre 1 et n on a : 0 = < 0, ei > = < ?1 · e1 + · · ·+ ?n · en, ei > = n ∑ j=1 ?j < ej, ei > = n ∑ j=1 ?j?ij = ?i. Ainsi la famille B est libre.

• point cle


• yi ·


• appelation de point selle


• famille en question


• calcul du produit aeij


• determinant de la matrice


• base canonique de r3

Informations

• Publié par: ondey
• Nombre de lectures: 30

Extrait

LicenceSTAnn´ee2006/2007Semestre2 Examensession1,MathIVAlge`bre

Questions de Cours ∗ 1.Pard´efinition,E= Hom k (E,k) et puisque les espaces vectorielsEetksont de dimen ∗ sion finie, on a dim k (E) = dim k (E)×dim k (k) = dim k (E)×1 = dim k (E). 2. (a) Un endomorphisme orthogonal deEmeisn´liireaeedphoromndnetuesEqui satisfait lapropri´et´esuivante:∀x, y∈E,< f(x), f(y)>=< x, y >. (b)´ermetrotonohlE.eseeltniopeliate´e´lcIclleeafimbesatsnumontitdeuelarerq parde´finition. NotonsBla famille en question. Montrons queBest libre. Soientλ 1 , . . . , λ n ∈R tels que λ 1 ∙e 1 +∙ ∙ ∙+λ n ∙e n = 0. Alors pour tout entierientre 1 etnon a :

0

= =

=

=

=

<0, e i > < λ 1 ∙e 1 +∙ ∙ ∙+λ n ∙e n , e i > n X λ j < e j , e i > j=1 n X λ j δ ij j=1 λ i .

Ainsi la familleBtlesreibmoC.osemracnaniddami`llae´ageltsondeensiE, c’est unebase.L’hypoth`esenouspermetalorsdedirequ’elleestorthonorm´ee. (c)de´ciasi’Lnonereui”ent“edd´. NotonsB= (e i ) i=1,...,n la famille en question. Puisquefest orthogonal, on a pour tout couple d’entiers (i, j) entre 1 etn:< f(e i ), f(e j )>=< e i , e j >=δ ij . La famille f(BcunetdonC’es(b).itnouqseedalseseh`otypshleitfaistas).ronoee´mesabhtro (d)Parhypothe`seilexisteunebaseorthonorm´eeB= (e 1 , . . . , e n ) deEdont l’image f(Bnoho´ermasebrteoe)tsnu,efdeismeorphenutmodn´nateE. Montrons quef est orthogonal.

1