Lycée Brizeux Samedi Avril PCSI A B

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 3 Avril 2010 PCSI A & B Devoir surveillé no 7 Thermodynamique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Méthode de Rückhardt La méthode de Rückhardt permet de déterminer le rapport ? = CPCV des capacités thermiques à pression et volume constant en étudiant le mouve- ment d'une bille dans un tube en verre. La bille métallique, de diamètre très voisin de celui du tube se comporte comme un piston étanche. Lorsqu'on lâche la bille dans le tube de section s, on observe des oscilla- tions autour d'une position d'équilibre. La méthode consiste à mesurer la période d'oscillation ? du mouvement de la bille dans le tube. Pour cela, on enregistre la pression à l'aide d'un capteur de pression pendant 20 se- condes. On donne l'enregistrement sur la figure 1 et on précise certains points remarquables sur la figure 2. On observe qu'à l'équilibre, la position de la bille est à 41 cm du sommet O du tube de verre.

• travail wab


• bille


• diesel


• soupape


• gaz parfait


• pression


• tube de verre


• somme des travaux


• équation différentielle du mouvement vertical de la bille

Sujets

• Diesel
• Soupape
• Gaz parfait
• Pression

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 avril 2010
• Nombre de lectures: 100
• Langue: Français

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI A & B

o Devoir surveill n 7

Thermodynamique

Samedi 3 Avril 2010

–La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ –Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants –Les rÉsultats devront tre encadrÉs. –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.

ProblÈme I Mthode de Rckhardt C P La mthode de Rckhardt permet de dterminer le rapportγ=des C V capacits thermiques À pression et volume constant en tudiant le mouve- ment d’une bille dans un tube en verre. La bille mtallique, de diamtre trs voisin de celui du tube se comporte comme un piston tanche. Lorsqu’on láche la bille dans le tube de sections, on observe des oscilla- tions autour d’une position d’quilibre. La mthode consiste À mesurer la priode d’oscillationθdu mouvement de la bille dans le tube. Pour cela, on enregistre la pression À l’aide d’un capteur de pression pendant 20 se- condes. On donne l’enregistrement sur la figure 1 et on prcise certains points remarquables sur la figure 2. On observe qu’À l’quilibre, la position de la bille est À41cmdu sommetOdu tube de verre. On prendra pour axeOz, un axe vertical ascendant dont l’origine est À l’extrmit suprieure du tube de verre. Nous adopterons les notations suivantes : −2 m: masse de la billem= 1,6.10kg −4 2 sintrieure du tube: section s= 2,0.10m V 0 : volume total de la bouteille et du tube de verre jusqu’ÀO V 0 = 10,0L 5 P 0 : pression atmosphriqueP 0 = 10P a Prgnant dans le flacon: pression −2 g: acclration de la pesanteurg= 9,81m.s C P m : capacit molaire À pression constante C P m C V m : Capacit thermique molaire À volume constant, avecγ= C V m T 0 extrieure: temprature T 0 = 293K z: position de la bille À un instant donnz(O) = 0 −1−1 Rdes gaz parfaits: constante R= 8,315J.K .mol −1 M: masse molaire de l’airM= 29g.mol z e : position de la bille À l’quilibrez e =−41cm

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A

Ètude mècanique

A.1Montrer que la force de pression exerce sur une demi-sphre 2 de rayonrpar une pression uniformeP 0 estF=P 0 πr. On donne 2 dS= 2πr sinθdθen coordonnes sphriques (figure ci-contre). A.2Faire l’inventaire des forces qui s’exercent sur la bille. A.3En appliquant le principe fondamental de la dynamique À la bille, tablir l’quation du mouvement de la bille en fonction deP,P 0 , 2 m,g,s=πret des drives dez. Prciser en particulier la pression À l’quilibre. On ne demande pas de rsoudre cette quation.

B Ètude thermodynamique B.1L’air contenu dans la bouteille est assimil À un gaz parfait. D’un point de vue thermo- dynamique, le phnomne est dans un premier temps considr comme suivant la loi de Laplace γ (oscillations adiabatiques) :P V=cte. Rappeler les conditions de validit de cette loi. Ècrire la relation traduisant cette loi sous forme diffrentielle. B.2Justifier le fait que l’on peut traiter les grandeursV−V 0 etP−P 0 comme des grandeurs infiniment petites. On notera alors :dV=V−V 0 =szet :dP=P−P 0 . En dduireP−P 0 en fonction dez,P 0 ,V 0 ,setγ. 2 2 d z γP 0 s B.3En dduire l’quation diffrentielle du mouvement vertical de la bille : 2 +z=−g. dt mV 0 Montrer que la pression obit À une quation analogue que l’on prcisera. B.4En dduire les expressions littrales de la priode propreθdu signal, et de la position d’qui- librez eq . En dduire l’expression deγen fonction deθ,m,V 0 ,P 0 ets. B.5L’enregistrement exprimental fait apparaïtre un amortissement des oscillations dÛ À des ph- nomnes ngligs pour l’instant. On admettra que la priode propre est voisine de la pseudopriode. En utilisant l’enregistrement de la figure 2, dterminer numriquementγ. Quelle tait la valeur attendue ? B.6Dterminer la valeurz eq dezÀ l’quilibre. La position d’quilibre obtenue est-elle compatible avec les rsultats exprimentaux ? Que peut-on en conclure ?

C Interprètation des amortissements On se propose de justifier dsormais la prsence d’amortissements, en tenant compte du transfert thermique avec et À travers la paroi.

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C.1On noteE=U+E c +E p l’nergie totale du systme, oÙUest l’nergie interne du systme,E c l’nergie cintique macroscopique etE p l’nergie potentielle extrieure. Ènoncer le premier principe de la thermodynamique en faisant intervenirE, le transfert thermiqueQreÇu par le systme et le travailWdes forces non conservatives reÇu par le systme. C.2En considrant le systme form parla bille et le gaz intÉrieur À la bouteille, dterminer entre l’instant oÙ on láche la bille et l’quilibre de la bille : – La variation d’nergie interne du gazΔU g ; – la variation d’nergie cintique de la billeΔE cb ; – La variation d’nergie potentielle de pesanteur de la billeΔE pb ; – Le travail des forces de pressionW; – Le transfert thermiqueQ. Tout rsultat devra tre justifi en une ligne maximum. Prciser le sens du transfert thermique. C.3?Doit-on tenir compte des capacit thermiques du verre et de la bille 0 C.4En dduire la position d’quilibrezÀ laquelle conduit ce modle. Quelle conclusion peut-on eq en tirer ?

ProblÈme II Etude d’une Locomotive Diesel Le moteur des premires locomotives diesels fut invent en 1892 par l’ingnieur allemand Rudolf Diesel. Mais ces premires locomotives furent un chec : le nombre de vitesses de leur transmission mcanique tait insuffisant. La locomotive diesel lectrique se passe de boïte de vitesse mcanique : elle est munie d’un moteur diesel qui, en tournant, entraïne un alternateur. Ce dernier fournit de l’nergie À plusieurs moteurs lectriques de traction : en somme, cette locomotive fabrique gráce au moteur thermique sa propre lectricit.

A Transformations d’un gaz parfait On supposera que le gaz n’est soumis qu’aux forces de pression. On s’intresse À une transforma- tion de ce gaz parfait qui le fait passer de l’tat initial de pressionP i et de volumeV i À l’tat final de pressionP f et de volumeV f . On exprimera les rponses aux questions qui suivent, uniquement en fonction deP i ,V i ,P f ,V f , et deγ. A.1Exprimer le travailW isoV chang par ce gaz lors d’une transformation isochore rversible. A.2Exprimer le travailW isoP chang par ce gaz lors d’une transformation isobare rversible. A.3Exprimer le transfert thermiqueQ isoV chang par ce gaz lors d’une transformation isochore rversible. A.4Exprimer le transfert thermiqueQ isoP chang par ce gaz lors d’une transformation isobare rversible. A.5Exprimer le transfert thermiqueQ isoS chang par ce gaz lors d’une transformation adiaba- tique rversible. γ γ A.6Dmontrer la loi de LaplaceP i V=P f Vque suit le gaz parfait lors d’une transformation i f adiabatique rversible.

3

B

Ètats thermodynamiques successifs lors du cycle diesel :

On s’intresse À un gaz parfait (γ= 1,40) dans un cylindre de volume variable, entreV min = 150mL etV max = 400mL, ferm par un piston, qui subit un cycle rversible dont les caractristiques sont : 5 •Admission : la soupape d’arrive de l’air est ouverte (la pression estP atm = 1,00.10P a, la tempratureT atm = 300K), les autres fermes. Le volume passe deV min ÀV max de faÇon isobare et isotherme. •A−→B: compression. Les soupapes sont fermes. Le volume passe deV max ÀV min de faÇon adiabatique et rversible. •B−→C: injection. Les soupapes sont fermes, sauf celle d’injection du gazole. Le volume augmente jusqu’ÀV C = 250mL, on modlise cette phase de combustion par une volution isobare (P=P max ) au cours de laquelle le gaz reÇoit un transfert thermique li À l’injection de gazole. •C−→D: dtente. Les soupapes sont toutes fermes. Le volume augmente encore (jusqu’À V max ) mais la pression diminue (il s’agit d’une dtente adiabatique et rversible). •D−→A: ouverture de la soupape d’chappement des gaz. La pression diminue brutalement jusqu’ÀP atm , le volume restant constant. •Èjection des gaz : la soupape d’chappement des gaz est ouverte, les autres fermes. Le volume passe deV max ÀV min de faÇon isobare.

Dterminer numriquement (dans les units du systme international) les chaque tat thermodynamique intermdiaire (pression, temprature, volume) : B.1enA: la pressionP A , le volumeV A , et la tempratureT A ; B.2enB: la pressionP B , le volumeV B , et la tempratureT B ; B.3enC: la pressionP C , le volumeV C , et la tempratureT C ; B.4enD: la pressionP D , le volumeV D , et la tempratureT D .

C Transformations lors du cycle diesel : Dterminer numriquement lors des phases : C.1A−→B: le travailW AB et la chaleurQ AB changs par le gaz parfait ; C.2B−→C: le travailW BC et la chaleurQ BC changs par le gaz parfait ; C.3C−→D: le travailW CD et la chaleurQ CD changs par le gaz parfait ; C.4D−→A: le travailW DA et la chaleurQ DA changs par le gaz parfait.

caractristiques de

D Diagramme de Clapeyron du cycle diesel : D.1Exprimer numriquement la somme des travaux changsW tot par le gaz parfait sur un cycle. Que penser de son signe ?

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