PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee
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Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2010-2011 F e u i l l e d e T D 7 C o u r b e s p a r a m e t r e e s d u p l a n Tous les calculs effectues peuvent se verifier a l'aide de Maple. Quant aux traces de courbes obtenus, on peut les verifier a l'aide de la commande plot de Maple (taper ?plot pour plus de details). Ainsi la ligne de commande > plot([t^2/(1+t-t^2,log(1+t^2)],t=-20..20],-3..3,-6..6): effectue le trace de la courbe parametree d'equations cartesiennes { x(t) = t 2 1+t?t2 y(t) = ln(1 + t2) pour t ? [?20, 20] dans la fenetre graphique [?3, 3]? [?6, 6]. Le trace en coordonnees polaires s'effectue a l'aide de l'option coords. La ligne de commande > plot([1+cos(t),t,t=0..2*Pi],coords=polar); trace le support de la cardioıde d'equation polaire r(?) = 1 + cos(?).

  • courbe

  • parametrees en coordonnees cartesiennes

  • m3 de la cardioıde

  • points de la courbe

  • courbe parametree d'equations parametriques

  • cercle d'equation polaire

  • equation cartesienne

  • quant aux traces de courbes


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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2010-2011
C o u r be s pa ra m´e t r´e e s d u p l a n
Tous les calculs effectu´es peuvent se v´erifier a` l’aide de Maple. Quant aux trac´es de courbes obtenus, on
peut les v´erifier a` l’aide de la commande plot de Maple (taper?plot pour plus de d´etails).
Ainsi la ligne de commande

> plot([t^2/(1+t-t^2,log(1+t^2)],t=-20..20],-3..3,-6..6):

effectue le trac´e de la courbe param´etr´ee d’´equations cart´esiennes
2tx(t) = 21+t−t
2y(t) = ln(1+t )
pour t∈ [−20,20] dans la fenˆetre graphique [−3,3]×[−6,6].
Le trac´e en coordonn´ees polaires s’effectue a` l’aide de l’option coords. La ligne de commande

> plot([1+cos(t),t,t=0..2*Pi],coords=polar);

trace le support de la cardio¨ıde d’´equation polaire r(θ) = 1+cos(θ).
´ ´ ´ ´I Courbes parametrees en coordonnees cartesiennes
1. SoitC la courbe param´etr´ee d’´equations param´etriques

3x(t) = 2sin (t)+3cos(t)
3y(t) = 2cos (t)+3sin(t)
avec t∈ [0,π].
(a) D´eterminer les points deC dont la tangente est parall`ele a` l’axe (Ox).
(b) D´eterminer les points deC dont la tangente est parall`ele a` l’axe (Oy).
2. SoitC la courbe param´etr´ee d’´equations param´etriques

1x(t) = t+3
1y(t) =
t−2
d´efinie surR\{−3,2}. D´eterminer t pour que la tangente a`C `a l’instant t soit de vecteur directeur (1,4).
3. D´etermination et nature des branches infinies des courbes param´etr´ees suivantes :

1 t
(a) t7→ , ;
2t(t −1) t+1

2−t 3(b) t7→ ,t ;
2t

2 2(c) t7→ 2t −t,t +1 ;
1
deeDFu7lTeil
1 1
(d) t7→ t− ,t+ +1
t t
4. Montrer que la courbe param´etr´ee d’´equations param´etriques
21 t −1
x(t) = , y(t) =
2t −4t t
poss`ede une asymptote oblique. Quelle est sa position par rapport `a la courbe?
5. Donner un exemple de courbe param´etr´ee poss´edant une asymptote dont la position par rapport `a la
courbe change constamment.
6. Pour chaque arc param´etr´e qui suit, d´eterminer : le domaine de d´efinition; un intervalle d’´etude et les
sym´etries.
2 3 2(a) t7→ (t −2t+1,t −3t +3t+1)
sint
(b) t7→ (sint, )
2+cos(t)
t
(c) t7→ (sin( ),tant)
2
7. Etudier puis tracer les courbes param´etr´ees suivantes :
3t 2 3 3t7→ (− +t,t ) t7→ (2sin (t)+3cos(t),2cos (t)+3sin(t))3
2t 2 2 1t7→ ( ,ln(1+t )) t7→ (2t+t ,2t− )2 21+t−t t
t−1 3 1 1t7→ (e −t,t −3t) t7→ ( +ln(2+t),t+ )
t t
t t 2 2 1t7→ (sin ,sin ) t7→ (t −2t,t + )23 2 t
t7→ (cos2t+2cost,sin2t−2sint) t7→ (cos3t,cost+sint)
8. Etudier et tracer le folium de Descartes d’´equations param´etriques
23t 3t
x(t) = ; y(t) = .
3 31+t 1+t
9. Etudier et tracer la trisectrice de Mac Laurin d’´equations param´etriques
2 2t −3 t −3
x(t) = ; y(t) =t .
2 21+t 1+t
10. Etudier et tracer la cissoıde d’´equations param´etriques¨
2 3t t
x(t) = ; y(t) = .
2 21+t 1+t
11. Etudier et tracer l’astroıde d’´equations param´etriques¨
3 3x(t) = cos t ; y(t) = sin t.
2´II Courbes en coordonnees polaires
1. (a) D´eterminer une ´equation polaire :
2 2de la droite d’´equation x+y−1 = 0; du cercle d’´equation x +y +x = 0.
(b) D´eterminer une ´equation cart´esienne : √
1 πdeladroited’´equationpolairer = π ;ducercled’´equationpolairer = 2 cos(θ+ )− 2 sin(θ).cos(θ− ) 43
2. Etudier puis tracer les courbes param´etr´ees d’´equation polaire suivante :
(a) r = sin2θ;
2θ(b) r = sin ;3
(c) r = 2 cos(2θ)+1;
(d) r = 2+cos3θ.
3. Etudier les courbes param´etr´ees d’´equation polaire suivante, en pr´ecisant les asymptotes s’il y a lieu.
θ(a) r = tan −1;
2
1(b) r = 2+ .
cos(θ)
1+sinθ(c) r = .sinθ
4. Quelques propri´et´es g´eom´etriques de la cardioıde. On consid`ere la courbe d’´equation polaire :¨
r = 1+cosθ.
On note M(θ) le point du plan correspondant
(a) Etudier puis tracer la courbe.
π(b) Donner une ´equation cart´esienne de la tangente `a la courbe en M( ).2
Soient A et B deux points de la courbe align´es avec O.
(c) Montrer que les tangentes en A et B sont orthogonales.
(d) D´eterminer l’ensemble des points d’intersection de ces tangentes, lorsqueA etB d´ecrivent la courbe.
(e) Montrer que
−−→
dOM θ 3θ π−→= 2 cos( ) u( + ).
dt 2 2 2
(f) En d´eduire que pour tout r´eel α, il existe trois points distincts M , M et M de la cardioıde en¨1 2 3
−→lesquels la tangente est dirig´ee par u .α
(g) Montrer que l’aire du triangle M M M ne d´epend pas de α.1 2 3
3

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