UCBL Semestre d'automne Licence STS L3 Mathematiques Topologie

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• corrigé d'exercice

UCBL 2010/2011 - Semestre d'automne Licence STS, L3 Mathematiques, Topologie TD 3 : Corrections d'exercices (Ex. 6 - Ex. 7 avec un complement) Exercice 6. Soit (X, d) un espace metrique et (xm,n)(m,n)?N2 une suite de X. On suppose que pour tout m, lim n?∞ xm,n = xm et que limm?∞xm = x. Montrer que (xm,n) admet une sous-suite de la forme (xk,nk)k?N telle que limk?∞xk,nk = x. Avant d'entamer l'exercice proprement dit, faisons un rappel. Dans (X, d) soit (un) une suite et x un element. Dire qu'une sous-suite de (un) tend vers x equivaut a l'assertion suivante : Pour tout ? > 0, il existe n ? N, tel que d(un, x) < ?. (Si ce resultat n'est pas clair pour vous, prenez le temps de le (re)demontrer et demandez moi si vous n'y parvenez pas). Revenons a l'exercice. Fixons k ? N. Par hypothese, la suite (xk,n)n tend vers xk quand n tend vers +∞. Appliquons la definition de la convergence avec ? = 1k+1 .

• polynome


• resultat precedent


• theoreme d'approximation de weierstrass


• espace metrique


• convergence uniforme


• x1 ·


• rappel precedent en tete


• introduction des espaces complets


• pn ?

Sujets

• Polynôme
• Théorème de Stone-Weierstrass
• Espace métrique
• Convergence uniforme

Informations

• Publié par: ondey
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• Langue: Français

Extrait

UCBL 2010/2011  Semestre d’automne LicenceSTS,L3Mathe´matiques,Topologie

TD 3 :Corrections d’exercices (Ex.6Ex.7avecuncomple´ment)

Exercice 6.Soit (X, d)nu(tetriqueeespacem´x) 2 une suite deXsuppose que pour. On m,n (m,n)∈N toutm, limx m,n =x m limet quex m =x. Montrerque (x m,n ) admet une soussuite de la forme n→∞m→∞ telle quelim =x. (x k,n k ) k∈N x k,n k k→∞

Avant d’entamer l’exercice proprement dit, faisons un rappel.Dans (X, d) soit (u n ) une suite et xeqirunu’me´e.Dntule´ntide(eseuosusu n ) tend versxourtou:Pteanivsunoitressa’la`tua´equivt ε >0, il existen∈N, tel qued(u n , x)< εre,pusvoemetzlnespcer´.(Sitatnesulapcse’tsoprualri dele(re)de´montreretdemandezmoisivousn’yparvenezpas). Revenons`al’exercice.Fixonsk∈Nto`hhrpy.aPite(lasuese,x k,n ) n tend versx k quandntend 1 vers +∞vaeccepp.Adae´nfitiiluqnolsonvergeniondelacε= .Il existe donc un entier (qui k+1 1 d´ependdeεet donc dek), notons len k , tel que pour toutn≥n k , on aitd(x k,n , x k )<. En k+1 particulier, on a : 1 d ,x)< . (x k,n k k k+ 1 r que la suite (xde´ctne) Nous allons montre k,n k k pr´eppellerayantelA.tiainoniseitqula`andpo´er enteˆte,soitε >suite(h`ese,laaPhrpytoeefil´x.embnor´reun0x k ) k tend versx. Ainsi,il existe un entierKtel que pour toutk≥K, on ait ε d(x k , x)< 2 (on verra plus clairement dans la suite pourquoi on coupeεen deux). ′ 1ε ′ Soit maintenantKun entier tel que ′ <(c’est bien evidemment possible en prenantK K+1 2 ′ assez grand).Soit maintenantkun entier plus grand que max{K, K}seage´´tilalonines.Arslo suivantes : d(x ,x)≤d ,x k,n k (x n,n k k ) +d(x k , x) 1ε <+ k2+ 1 1ε <+ ′ K+ 12 ε ε <+ =ε. 2 2 Graˆceaurappel,onpeutconclure. Exercice 7.SoitE=C([0,1],R) muni de la normekfk=kfk ∞ = sup{|f(t)|;t∈[0,1]}(. SoitP n ) une suite de fonctions polynomiales qui converge dansEMontrervers une fonction non polynomiale. quelasuitedesdegre´sdesP n tend vers l’infini. Nousallonsraisonnerparl’absurdeetsupposerquelasuitedesdegre´snetendpasversl’infini.

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