Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques MA5.01 –Topologie Automne 2006 Page web: http : // IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert, applications lineaires continues, exemples David Hilbert mathematicien allemand (1862–1943) Stefan Banach mathematicien polonais (1892–1945) 1. Generalites sur les espaces de Banach Definition : Un espace de Banach est un espace norme (E, ? . .?) qui est complet pour la distance d(x, y) = ?x? y ? Exemples : • R et C sont des espaces de Banach pour | . | (valeur absolue, respectivement module) • Rn et Cn sont des espaces de Banach pour les normes equivalentes ?x?p = { ( |x1|p + . . . + |xn|p ) 1 p si 1 ≤ p < +∞ max ( |x1| , . . . , |xn| ) si p = +∞ Plus generalement, un produit E = E1 ? E2 d'espaces de Banach est un espace de Banach, pour les normes equivalentes ?(x1, x2)?p = { ( ?x1? pE1 + ?x2? p E2 ) 1 p si 1 ≤ p < +∞ max ( ?x1?E1 , ?x2?E2 ) si p = +∞ • L'espace B(X) des fonctions bornees sur un ensemble quelconque X est de Banach pour la
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