Universite d'Orleans Master AMA

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans Master AMA 1 Unite M2MT01 Probabilites Approfondies corrige de l'examen du 26 mai 2005 Exercice Si on pose fn(x) = x + Xn, on a bien Sn+1 = fn+1(Sn), et (fn) est une suite de fonctions aleatoires independantes identiquement distribueees. (Sn) est donc bien une chaıne de Markov. Si la chaıne est dans l'etat k au temps n, elle est dans l'etat k + 1 ou l'etat k ? 1 au temps n + 1. Ainsi le graphe de la chaıne de Markov est simplement le graphe d'adjacence sur Z: il y a un lien de i vers j si et seulement si |i ? j|=1. Ce graphe est clairement connexe: on peut aller de k a l en |k ? l| coups. La chaıne est donc irreductible. Chaque deplacement d'un sommet vers un autre change la parite du sommet. Cela signifie qu'un chemin de 0 a 0 a necessairement une longueur paire: la periode du graphe est donc un multiple de 2. En fait c'est 2 car on peut aller de 0 a 0 en deux coups (par exemple on va en un, puis on revient en zero). D'apres la loi des grands nombres Sn/n tend vers 2/3.1 + 1/3.(?1) = 1/3.

• chaıne de markov de matrice de passage


• donnes par la loi


• ftk mesurable


• xn ?


• temps d'arret


• graphe de la chaıne de markov


• periode du graphe


• chaıne de markov


• tk ≤

Sujets

• Temps d'arrêt
• Chaîne de Markov

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 mai 2005
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

Universited’Orleans

UniteM2MT01

Probabilites

Approfondies

corrigedel’examendu26mai2005

Master AMA 1

Exercice Si on posef n (x) =x+X n , on a bienS n+1 =f n+1 (S n ), et (f n ) est une suite defonctionsaleatoiresindependantesidentiquementdistribueees.(S n ) est donc bienunechaˆnedeMarkov.Silachaˆneestdansl’etatkau tempsn, elle est dansl’etatkttae1+uo’lk1 au tempsn+ 1.Ainsi le graphe de la chaˆne de Markov est simplement le graphe d’adjacence surZy a un lien de: ilivers jsi et seulement si|ij|on peut allergraphe est clairement connexe:=1. Ce dekalen|kl|celaepdntmeLeaecshtauˆps.nirrcodoncitlbdecuqaeu.ehC d’unsommetversunautrechangelaparitedusommet.Celasigniequ’un cheminde0a0anecessairementunelongueurpaire:laperiodedugrapheest doncunmultiplede2.Enfaitc’est2caronpeutallerde0a0endeuxcoups (parexempleonvaenun,puisonrevientenzero).D’apreslaloidesgrands nombresS n /ntend vers 2/3.1 + 1/3.(1) = 1/3. Ils’ensuit queS n tend vers l’inni.Donclachaˆnenepassepresquesuˆrementqu’unnombrenidefoisen 0,donclachaˆneesttransiente(etdoncpasrecurrente).

Probleme Partie I 1.Pardenitionde(Y n ) P(Y 0 =y 0 , Y 1 =y 1 , . . . Y n+1 =y n+1 ) X =P(X 0 =x 0 , . . . , X n =x n , X n+1 =x n+1 ) 11 (x 0 ,...,x n+1 )∈f(y 0 )f(y n+1 )

Maintenant, commeX n vsoto,eankraMedenˆahcenu

P(X 0 =x 0 , . . . , X n =x n , X n+1 =x n+1 ) =P(X 0 =x 0 , . . . , X n =x n )p x n ,x n+1 ,

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