Le produit harmonique des suites

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Le produit harmonique des suites Bernard Candelpergher et Marc-Antoine Coppo Université de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 2 FRANCE Article à paraître dans L'Enseignement Mathématique avril 2012 Résumé Au moyen d'une transformation binomiale involutive dans l'espace des suites à valeurs complexes, on définit un nouveau produit dénommé « harmonique » en raison de ses remarquables propriétés à l'égard des sommes harmoniques. La trans- formation d'Euler des séries permet de déduire de ces propriétés d'harmonicité de nouvelles et remarquables identités. Abstract By means of an involutary binomial transformation on complex sequences, we de- fine a new product called harmonic because of its remarkable properties towards the harmonic sums. The Euler's series transformation allows to deduce from these properties some new and remarkable identities. Mathematical Subject Classification (2000) : 05A10, 05A19, 11B65, 11B83, 40-99. Mots-clés : Transformation binomiale ; sommes harmoniques ; formule de Dilcher ; som- mation d'Euler ; transformation d'Euler des séries. 1 Introduction Dans l'espace CN ? des suites à valeurs complexes, on considère la transformation linéaire D associant à toute suite a = (a(1), a(2), a(3), · · · ) la suite D(a) définie par D(a)(n+ 1) = n∑ k=0 (?1)

• remarquables identités


• transformation d'euler des séries


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• espace cn


• mation d'euler


• opérateur sur e?


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Sujets

• Antipolis
• Universidad de Niza Sophia Antipolis

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• Publié le: 01 avril 2012
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Extrait

Le produit harmonique

des

suites

Bernard Candelpergher et Marc-Antoine Coppo Université de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 2 FRANCE

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Article à paraître dansL’Enseignement Mathématique avril 2012

Résumé Au moyen d’une transformation binomiale involutive dans l’espace des suites à valeurs complexes, on définit un nouveau produit dénommé « harmonique » en raison de ses remarquables propriétés à l’égard des sommes harmoniques. La trans- formation d’Euler des séries permet de déduire de ces propriétés d’harmonicité de nouvelles et remarquables identités.

Abstract By means of an involutary binomial transformation on complex sequences, we de- fine a new product called "harmonic" because of its remarkable properties towards the harmonic sums. The Euler’s series transformation allows to deduce from these properties some new and remarkable identities.

Mathematical Subject Classification (2000) :05A10, 05A19, 11B65, 11B83, 40-99.

Mots-clés : som- ; formule de Dilcher ; ; sommes harmoniquesTransformation binomiale mation d’Euler ; transformation d’Euler des séries.

1 Introduction Dans l’espaceC N ∗ des suites à valeurs complexes, on considère la transformation linéaireDassociant à toute suitea= (a(1) a(2) a(3)∙ ∙ ∙)la suiteD(a)définie par n ) k
n k ! a(k+ 1)pour D(a)(n+ 1) = X (−1toutn≥0 k=0

L’opérateurDest un automorphisme involutif duC-espace vectorielC N ∗ , c’est à dire

a=D(D(a))

Formellement, les suitesaetD(a)sont liées par la relation d’Euler : n n X ≥1 D(a)(n)z n =− n X ≥1 a(n)( z− z 1 )

1 La relation précédente montre en particulier que la suite harmoniquen7→est invari- n ante parD. En notant N 1 cette suite, on peut donc écrire D( N )= 1 N 1  SiD(a)D(b)désigne le produit de Hadamard (i.e.le produit terme à terme) des suitesD(a)etD(b), on définit un nouveau produit dansC N ∗ , noténo, par la formule

anob=D(D(a)D(b))

Il en résulte (par involutivité deD) queD(ab) =D(a)onD(b). Muni du produit on, l’espace vectorielC N ∗ est uneC-algèbre commutative, associative et unitaire (mais non-intègre), l’élément unité étant la suiteδ 0 = (100   ) =D(1)où1est la suite (111   ). Une suiteaest inversible pour le produitonsi et seulement siD(a)est inversible pour le produit de Hadamard (i.e.D(a)(n)6= 0pour toutn). Une expression explicite du produitanobest donnée par la formule suivante : (aonb)(n+ 1) = X (−1) k−l
n k !
k l ! a(k+ 1)b(n+ 1−l) (n≥0) 0≤l≤k≤n

qui permet de le calculer pour de petites valeurs den; on obtient ainsi

(anob)(1) =a(1)b(1) (aonb)(2) =a(2)b(1) +a(1)b(2)−a(2)b(2) (aonb)(3) =a(3)b(1) +a(1)b(3) + 2a(2)b(2)−2a(3)b(2)−2a(2)b(3) +a(3)b(3) etc.

Le produitonpossède des propriétés remarquables vis-à-vis des sommes harmoniques qui justifient sa dénomination deproduit harmonique. On démontre (Théorème 2) la relation suivante : pour toute suitea, on a l’identité  N 1 noa  (n) = n ( 1 a(1) +a(2) +∙ ∙ ∙+a(n))

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De cette propriété d’harmonicité découlent plusieurs applications remarquables. On ob- tient notamment (Théorème 4) la formule suivante : n≥n 1 ≥∙ X ∙∙≥n k ≥1 n 1  1 n
n ! m k 1 −   n k−1 a(n k ) = m X =1 (−1) m−1 m 1 D(a)(m) qui s’applique à toute suiteaet pour tout entierk≥1. Dans le cas particulier oùaest la suite harmonique N 1 , on retrouve la classique « formule de Dilcher » (cf. [2], [3], [4]) : X 1 n≥n 1 ≥∙∙∙≥n k ≥1 n 1  1   n k = m X n =1 (−1) m−1
n m ! m k  dont on donne une formulation plus générale (Corollaire 8) . On introduit les nombres S (k) (a)(n) = n≥n 1 ≥ X n  1 n k− a(n k ) ∙∙∙≥n k ≥ 1 1   1 qui apparaissent comme une généralisation naturelle des nombres harmoniquesc (nk) de Rota et Roman (cf. [8], [9]) : on a en effet la relationc (nk) =S (k) ( N () 1 n). Par transfor- mation d’Euler, on obtient la relation

n≥ X 1 D( n a) k (n) z n =− n≥ X 1 n 1 S (k) (a)(n)( z z− 1 ) n qui permet notamment, dans le cas oùaest la suiten7→ (2n 1 −1) 2 , d’étendre une formule de Ramanujan ([1], chapitre 9, Entry 34) pour la constante de Catalan (Exemple 23 d)).

2 Préliminaires : Opérateurs dans l’espace des suites

2.1 L’isomorphismeΦ Notation.LeC-espace vectorielC N ∗ des suitesa= (a(1) a(2) a(3)     a(n))à ∙ ∙ ∙ valeurs dansCest notéE ∗ .

Définition 1.SiC[[z]]désigne l’espace des séries formelles, on a un isomorphisme naturel : Φ :E ∗ −→C[[z]]

défini par

Φ(a)(z) = X a(n+ 1) z n 2)z+a(3) z 2 2 +a(4) z 6 3 +∙ ∙ ∙ n≥0 n ! =a(1) +a(

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