q Polynomes de Gandhi et statistique de Denert

Louis Pasteur

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
q-Polynomes de Gandhi et statistique de Denert Guo-Niu Han 1 and Jiang Zeng 2 IRMA et Departement de mathematique, CNRS et Universite Louis Pasteur, 7, rue Rene-Descartes, F-67084 Strasbourg, France Abstract Using the q-difference operator we give q-analogues of the Gandhi polynomials of the first and second kinds, which are extensions of the Genocchi and median Genocchi numbers, respectively. We provide two combinatorial interpretations of these polynomials in terms of generating functions for Genocchi permutations by some appropriate statistics, one of them being essentially the Denert statistic. We also derive the continued fraction expansions for their ordinary generating functions. 1 Introduction Ces dernieres annees ont ete le temoin d'etudes fructueuses sur les q-analogues des suites classiques de nombres [1,14]. Bien qu'il n'existe pas encore de theorie generale pour la construction de ces q-analogues, on peut toutefois degager des regles fondamentales. D'un point de vue analytique, on sait qu'on obtient des resultats interessants lorsqu'on remplace les series ordinaires par les q- series, la derivee par la q-derivee, la difference finie par la q-difference finie, . . . D'un point de vue combinatoire, si la suite de nombres etudiee est liee au denombrement de classes de permutations, on sait qu'il faut trouver une statistique sur les permutations qui ait un comportement analytique semblable a celui du nombre d'inversions, ou a d'autres statistiques dites mahoniennes [13], comme l'indice majeur [13], ou comme la statistique de Denert

• techniques de calcul sur les fractions continues


• analogue de la statistique de denert


• operateur ∆ par l'operateur ∆q


• statistique de denert


• operateur


• polynomes dn


• modele des permutations de genocchi


• approche combinatoire de dumont

Sujets

• Pasteur
• Opérateur

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Extrait

q-PolynˆomesdeGnahdeistatittsqideueneDert

Guo-Niu Han 1 and Jiang Zeng 2

IRMAetD´epartementdemathe´matique,CNRSetUniversite´LouisPasteur, 7, rue Rene-Descartes, F-67084 Strasbourg, France ´

Abstract

Using theq-difference operator we giveq-analogues of the Gandhi polynomials of the first and second kinds, which are extensions of the Genocchi and median Genocchi numbers, respectively. We provide two combinatorial interpretations of these polynomials in terms of generating functions for Genocchi permutations by some appropriate statistics, one of them being essentially the Denert statistic. We also derive the continued fraction expansions for their ordinary generating functions.

1 Introduction

Cesderni`eresanne´esonte´te´let´emoind’´etudesfructueusessurlesq-analogues dessuitesclassiquesdenombres[1,14].Bienqu’iln’existepasencoredethe´orie g´´erlepourlaconstructiondecesqe´agiodsegronpeues,utefuttogolana-en a d`eglesfondamentales.D’unpointdevueanalytique,onsaitqu’onobtient es r desre´sultatsinte´ressantslorsqu’onremplaceless´eriesordinairesparlesq- se´ries,lad´erive´eparlaqeparlarencefinil,daffie´e´ir´vee-dqcefinie,-diff´eren ...D’unpointdevuecombinatoire,silasuitedenombrese´tudi´eeestli´ee aude´nombrementdeclassesdepermutations,onsaitqu’ilfauttrouverune statistique sur les permutations qui ait un comportement analytique semblable ` lui dbre d’inversionstedistiisesqu,aud’`aouatstestrmahoniennes a ce unom [13], comme l’indice majeur[13], ou comme lastatistique de Denertapparue ´nt[15,5,18].Ladifficult´eprincialere´sidedanslefaitquecesdeux recemme p pointsdevuenecohabitentpasforc´ementdefaconharmonieuse. ¸

L’objetdupr´esentarticleestdemontrerqu’ilyacependant´nciliation une reco heureuseentrecesdeuxpointsdevuedansl’e´tudedespolynˆomihseedaGdn,

1 E-mail: [e-mail] 2 E-mail: [e-mail]

Preprint submitted to Elsevier Science

5 May 2011

unefamilledepolynoˆmesquiaeusesheuresdegloiredansl’approche combinatoire desnombres de Genocchi[23,6,8,19,31,24]. Nous nous proposons de montrer que des techniques classiques duq-calcul permettent de trouver un joliq-ahindan,tesomGadeopseˆnylolandeugquelytiaeaneduviotndtpu que du point de vue combinatoire.

Rappelons que les nombres de GenocchiG 2n (n≥ntˆetred´efinisparp)1evue leurfonctionge´ne´ratriceexponentielle 6 t 8 e t 2 + t = 1 t+ n X ≥1 (−1) n G 2n ( t 2 2 n n = !) t− t 2 2 + ! t 4 4 ! −3 t 8 7 ! 1+ !6 −    SoitΔl’´rateurdediffe´rencefinied´efinipourtoutpolynoˆmef(x) par ope Δf(x) =f(x+1)−f(xedede´utru’l.)oPbressnomG 2n , Gandhi [16] a introduit unesuitedepolynoˆmes(B n (xralrapsinerruce´fin´e)d)ce  B B 1 n ( ( x xΔ= )=1 )  (x 2 B n−1 (x)) (n≥ 2), 1) (

etconjecture´quel’ona:B n (1) =G 2n+2 -eeimm´et´ureajectcenoeCtt. ´ diatementde´montr´eeparCarlitz[4],Riordan-Stein[26]etBarsky[2].Comme nous le verrons par la suite, cette expression nouvelle des nombres de Genocchi ae´t´efondamentaledansl’´etudecombinatoiredecesnombres,une´etude quia´et´einitialise´eparDumont[6]etpoursuiviepardiffe´rentsauteurs[8– 10,19,25,29,31].

Parailleurs,dansl’´etudedespolynˆomesorthogonaux,Hahn[17]aintroduit l’op´erateurΔ q moeme´atiuavtnc,sunntqfiniad´eruetlI.Δpo’lare´ogaldeuean- Δ q f(x) = f(1 +qx)− ) f x (x)  1 + (q−1

etmontr´equ’a`l’aidedecetope´rateur,onpouvaittrouverdebonsq-analogues defamillesdepolynoˆmesorthogonauxclassiques.

Ilnousadoncparunatureldede´finirdesqenhim-redeesndGa-omnˆlypo pla¸cantdans(1)l’op´erateurΔparl’op´erateurΔ q pl´essousponavus.oNsu loin l’extension en introduisant une nouvelle variableyednetnfie´assidents polynˆomesD n (x y q)aplrrae´currence q) = 1 ( D D n 1 ( ( q x y y   x) = Δ q (x 2 D n−1 (x y q)) + (y−1)xD n−1 (x y q) (n≥2) . (2)

Pouryem(snyoˆpsloetedasuientlobti=1onB n (x q)), que nous appelons

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