BTS Groupement D session 2011

Administrateur

Description

Avec correction. Sujet bts -groupement -d -2011
Sujets BTS en Mathématiques (2011) pour BTS Groupement D, Autres...

Sujets

• Annales
• Devoir surveillé
• Devoir scolaire
• Cours
• exercices
• Lycée
• École
• ressources pédagogiques
• Ressource

Informations

• Publié par: ressources-pour-le-superieur
• Nombre de lectures: 731
• Langue: Français

Extrait

Brevet de technicien supérieurGroupement D session 2011 EXERCICE 1 11 points  Lesparties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d’une équation différentielle %0,2t  Onconsidère l’équation différentielle ( E ! : 5y'#y1e , oùyest une fonction de la variable réellet,  définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;#¥[ , et y' la fonction dérivée de la fonctiony. #¥ ( ! 1. Déterminer les solutions sur l’intervalle [0 ;[ de l’équation différentielleE 0 : 5y'#y10 %0,2t 2. Soith la fonction définie sur l’intervalle [0 ;#¥[ par : h(t)1ate , oùaest une constante réelle.  Déterminerapour que la fonctionhsoit une solution particulière de l’équation différentielle E . ( ! 3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle E ( ! 4. Déterminer la solutionfde l’équation différentielle (E) qui vérifie la conditioninitiale :f(0) = 0. B. Étude d’une fonction. %0,2t [0 ;#¥[  Soitla fonctionfdéfinie sur l’intervallepar : f(t)10, 2t e .  Onnote C la courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un repère orthogonal. 1. Déterminer la limite de la fonctionfen #¥ .  Quepeut-on en déduire pour la courbe C ? 2. On désigne par f' la fonction dérivée de la fonctionf. %0,2t  Montrerque pour toutt [0 ; de l’intervalle #¥[ : f'(t)1 ( %0, 4t#0, 2 ! e . 3. Étudier les variations de la fonctionfsur l’intervalle [0 ;#¥[ et donner son tableau de variations.  Onprécisera les valeurs remarquables detet f(t) . %2 4. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira les résultats à. 10 x 0 2,5 510 15 20 25 f(x)

b. Tracer la courbe C sur la feuille de papier millimétré fournie.  Surl’axe desx, 2 cm représentent 5 unités. Sur l’axe desy0,05 unités., 2 cm représentent C. Application  Àl’aide d’une perfusion, on injecte pendant cinq minutes un médicament antalgique à un patient.  Aprèsl’injection, l’organisme élimine peu à peu le médicament.  Ons’intéresse à la quantité de médicament présente dans l’organisme du patient au cours du temps.  L’instantt= 0 correspond au début de l’injection.  Onfait l’hypothèse qu’à l’instantt, exprimé en minute (min), la quantité de médicament exprimée %0,2t  enmillilitre (ml), est égale à f(t)10, 2e , oùfest la fonction étudiée dans la partie B. 1. Déterminer graphiquement, à une minute près, l’instant à partir duquel la quantité de médicament  redevientinférieure à 0,05 ml. On fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique. %0,2t 2. a. On considère la fonctionF définie sur l’intervalle [0 ;#¥[ par F(t)1 ( %t%5 ! e  Montrerque la fonctionFest une primitive de la fonctionf.  b.En déduire la valeur moyenne de la fonctionfsur l’intervalle [0 ; 23]. On donnera la valeur exacte %2  puisune valeur approchée arrondie à. 10  c.Que représente la valeur moyenne calculée au tube dans le contexte de l’exercice ? EXERCICE 2 9 points  Lestrois parties de cet exercice sont indépendantes.  Uneusine fabrique des tubes en polyéthylène pour le chauffage géothermique.  Ons’intéresse à trois types de tubes appelés tubes de type 1, tubes de type 2 et tubes de type 3. A. Loi normale  Untube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 millimètres et  1,65millimètres.  1. On désigne parXla variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé au hasard dans la production

 d’unejournée associe son épaisseur exprimée en millimètre.  Onsuppose que la variable aléatoireXsuit la loi normale de moyenne 1,5 et d’écart- type 0,07.  Calculerla probabilité qu’un tube de type 1 prélevé au hasard dans la production de la journée soit %2  acceptéau contrôle. On donnera le résultat arrondi à. 10 2. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des tubes de type 1 :  Ilest envisagé pour cela de modifier le réglage des machines produisant ces tubes .  Onnote X 1 la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1, prélevé dans la production future,  associerason épaisseur. On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale de 1 moyenne 1,5 s  etd’écart- type 1 . s  Déterminer 1 pour que la probabilité qu’un tube de type1 prélevé au hasard dans la production future  soitaccepté au contrôle soit égale à 0,99. %2  Ondonnera le résultat arrondi à. 10 B. Loi binomiale  Onconsidère un lot de tubes de type 2.  OnnoteEl’évènement : « un tube prélevé au hasard dans ce lot de tubes de type 2 est défectueux ».  Onsuppose queP(E)= 0,02.  Onprélève au hasard 20 tubes de type 2 dans ce lot pour vérification.  Lelot est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement de 20 tubes de type 2 à un tirage  avecremise.  Onconsidère la variable aléatoireY1 qui, à tout prélèvement de 20 tubes de type 2, associe le nombre de  tubesdéfectueux de ce prélèvement. 1. Justifier que la variable aléatoireY1 suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un tube soit défectueux. %2  Ondonnera le résultat arrondi à. 10 C. Test d’hypothèse  Unclient a passé une commande de tubes de type 3. La longueur de ces tubes doit être de 300  millimètres.On se propose de construire un test d’hypothèse bilatéral pour contrôler, au moment de  lalivraison, la moyenneμde l’ensemble des longueurs, en millimètres, des tubes de type 3.  OnnoteZla variable aléatoire qui, à chaque tube de type 3 prélevé au hasard dans la livraison, associe  salongueur en millimètres. La variable aléatoiresuit la loi normale de moyenne inconnueμet Z  d’écart-type s1 1 .  Ondésigne parla variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 tubes de type 3 prélevés Z  dansla livraison, associe la moyenne des longueurs, en millimètres, des tubes de cet échantillon.  Lalivraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec  remise. Hm1300H  L’hypothèsenulle est 0 L’hypothèse alternative est: . 1 : m¹300 .  Leseuil de signification du test est fixé à 0,05. 1. Sous l’hypothèse H 0 suit la loi normale de moyenne 300 et, on admet que la variable aléatoire Z 1  d’écart–type .Déterminer sous cette hypothèse le nombre réel positifhtel que : 100 %2 P ( 300%h£Z£300#h ! 10, 95 .. On donnera le résultat arrondi à 10 2. En déduire la règle de décision permettant d’utiliser ce test. 3. On prélève un échantillon de 100 tubes de type 3 dans la livraison et on observe que, pour cet échantillon, %2  lamoyenne des longueurs des tubes est : z1 arrondie à.299, 90 valeur 10  Peut-on,au seuil de 5%, conclure que la livraison est conforme pour la longueur ?

Corrigé BTS Métiers de L’eau (Groupement D) Session 2011

EXERCICE 1 (11 points) A. Résolution d'une équation différentielle %0,2t On considère l'équation différentielle ( E ! : 5y'#y1e %t/ 5%0,2 1. ( E ! : 5y'#y10Þy(t)1ke1ke avec kΡ 0 0 2. la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E) si %0,2t0%,2t0%,2 h(t)1ateÞh'(t)1ae%0, 2ate %0,2t%0,2t0%,2t0,%2t0,2%t0,2%t  Ona alors : E: 5 ( ae%0, 2ate ! #ate1eÞ5ae1eÞa10, 2 ( ! %0,2t  Ondéduit h(t)10, 2te 3. L'ensemble des solutions de l'équation différentielle E est obtenu par addition de la solution ( ! %0,2t%0,2 E 0 : y(t)1ke#0, 2te .  particulière h et de la solution y 0 de l’équation ( ! 4. Soit f la solution de E qui vérifie la conditio: : ( ! n initiale f(0)10 %0,2t0%,2t%0,2t t1ke te et f(0)10Ûk10 f(t)10, 2te f( )#0, 2 ainsi, B. Étude d'une fonction %0,2t  Soitla fonction f définie sur l'intervalle [0;#¥[ par : f(t)10, 2te %0,2t e1 limf(t)10 limt0 1. On sait que, ainsietl’axe des abscisses est asymptote à la courbe C. x|#¥ x|#¥ %0,2t%0,2t0%,2 2. f(t)10, 2teÞf'(t)10, 2e%0, 04te %0,2t Ainsi, pour tout t de l'intervalle [0;#¥[ f'(t)1 ( 0, 2%0, 04t ! e 3. On sait que l’exponentielle est positive sur R, f'(t) a0, 2 donc le même signe que %0, 04t : ( !

 D’oùle tableau de variations de f : t 0 5 #¥  0 ( 0, 2%0, 04 !  + t  0,37 f(t) 0 0

4. a) .

b) Tracer la courbe C sur la feuille de papier millimétrée fournie. C. Application On injecte pendant 5 mn un médicament à un patient. Après l'injection, l'organisme élimine le médicament. On s'intéresse à la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient au cours du temps.  L'instant t10 correspond au début de l'injection. On fait l'hypothèse qu'à l'instant t, en minute (min), la %0,2t  quantité de médicament, en ml, est f(t)10, 2te 1. On lit sur le graphique les abscisses des intersections de C et de la droite d’équation y1 : 0, 05 x10, 2635x1988 1 ; 2 22, 4 , ainsi, à une minute près, à partir de la 23ème minute, la quantité de  Médicamentredevientinférieure à 0,05 ml . %0,2t%0,2t0%,2t0, 2. a) F(t)1(%t%5)eÞF'(t)1e% #0, 2(t#5)e10, 2te et la fonction F est une  primitivede la fonction f. 1 1 23  b)Valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0; 20] M1f(t)dt1 ( F(23)%F(0) ! ò 0 23 23 % 1 % 4,6 4,6 F(0)15 F(23)1 %28e d’où; , M1 ( 5%28e ! »0, 21 23  c)On peut supposer que en moyenne il passe 0,21  de médicament dans l'organisme les 23 minutes  aprèsl’injection

EXERCICE 2 (9 points)  Uneusine fabrique des tubes en polyéthylène pour le chauffage géothermique.  On s'intéresse à trois types de tubes appelés tubes de type 1, tubes de type 2 et tubes de type 3. A. Loi normale Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre 1,35 et 1,65 mm . 1) X la variable aléatoire qui à chaque tube de type 1 prélevé dans la production d'une journée associe  sonépaisseur en mm. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 1,5 et d'écart type 0,07. X%m X%1, 5 T1 1  Posons: la variable T suit la loi normale centrée réduite. s0, 07 æ 1, 35%1, 5X%1, 51, 651%, 5 ö æ 0,15 0,15 ö P ( 1, 35£X£1, 65 ! 1P£ £1P% £T£ 1P ( 2%,14£T£2,14 ! . ç ¸ç ¸ 0, 070, 070, 070, 070, 07 è øè ø ( !( ! ´ %1% 1 P%2,14£T£2,1412P2,14 12 0,9838 10, 9676 %2  Laprobabilité qu'un tube de type 1 soit accepté au contrôle est donc, à 0, 97 égale à. 10 X 2) On note 1 la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production future, s  associerason épaisseur. On suppose que X 1 suit une loi normale de moyenne 1,5 et d'écart type 1 . X%m 1 T1 T  Posons 1 : la variable 1 suit la loi normale centrée réduite. s 1 æ 1, 35%1, 5X%11, 651, 5%, 5 ö P ( 1, 35£X£1, 65 ! 10, 99ÛP1£ £0, 99 1 ç ¸ s s s è 1 1 1 ø æ 0,15 0,15 ö æ 0,15 ö æ 0,15 ö P% £T£ 10, 99Û2´ P%110, 991Û P0, 995 ç 1 ¸¸ ç¸ ç s ss s è 1 1 ø è 1 ø è 1 ø 0,15 0,15 P ( 2, 575 ! 10, 995Þ 12, 575Þs1 10, 05825  Parlecture inverse de table, on a 1 . s2, 575 1 s10, 06  Parsuite, il faut que 1 pour que la probabilité qu'un tube de type 1 prélevé au hasard  dansla production future soit accepté au contrôle soit égale à 0,99. B. Loi binomiale On note E l'événement : « un tube prélevé au hasard dans ce lot de tubes de type 2 est défectueux. ». 1 On suppose que P(E02 . On prélève au hasard 20 tubes de type 2 dans ce lot pour vérification.) 0, Y Soit 1 la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 20 tubes de type 2, associe le nombre de tubes défectueux. 1 1) On prélève 20 tubes de façon indépendante (avec remise), chaque tube est soit défectueux ( p0, 02 Y20 0,02 Soit ne l’est pas. Par suite, la variable aléatoire 1 suit une loi binomiale paramètreset . 20 19 2) P ( Y£1 ! 1P ( Y10 ! #P ( Y11 ! 10, 98#20´0, 02´0, 9810, 94010 : La probabilité que, 1 1 1 %2  dansun tel prélèvement, au plus un tube soit défectueux. est donc égale 0, 94 à près 10 C. Test d'hypothèse La longueur de ces tubes doit être de 300 millimètres. On note Z la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 3 prélevé dans la livraison, associe sa longueur en mm. La variable aléatoiresuit la loi normale de moyenne inconnue ,  et d'écart type   1. Z On désigne parla variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 tubes de type 3 Z prélevés dans la livraison, associe la moyenne des longueurs, en millimètre, des tubes de cet échantillon. Hm1Hm¹300 0 . ; hypothèse alternative ; 300 1 : .Le seuil de signification du test est fixé à 0,05. 1 H 10,10 1. Sous l'hypothèse 0 , on admet que Z suit la loi normale de moyenne 300 et d'écart type 100 Z%m Z loi normalesuit la N300 ; 0,10 ! . Soit T1 , T suit la loi normale centré réduite N0 ;1 ( (! s

Z%m Z%300 £ £  avec T1 1 . P ( 300%h Z300#h ! 10, 95 s0,10 æ %h h ö æ h ö æ h ö 1, 95 P£T£ 120, 95P %110, 95P 110, 975 donc , ç ¸ç ¸ç ¸ 0,10 0,100,10 0,102 è øè øè ø h 11, 96Ûh10,196»0, 20  parlecture inverse de la table du formulaire on a : 0,10 P ( 299,80£Z£300, 20 ! 10, 95 2. Règle de décision permettant d'utiliser ce test :  Onprélève un échantillon de 100 tubes de type 3 dans la livraison. On détermine la moyenne des  longueursdes tubes. Si cette moyenne est dans l’intervalle [299,80 ;300, 20] , on accepte l’hypothèse  nulleselon laquelle la moyenne est égale à 300. Sinon, on choisit l’hypothèse alternative, selon laquelle m¹  300 . 3. On prélève un échantillon de 100 tubes de type 3 dans la livraison et on observe que, pour cet  échantillon,la moyenne des longueurs des tubes est : z1299, 90Î [299,80 ;300, 20] .  Onpeut donc, au seuil de 5 %, conclure que la livraison est conforme pour la longueur.