Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

Tpautrel

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Limites et asymptotes
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

Mathématiques

Ch...: Limites de fonctions et comportement asymptotique.

1ère S

I) Notion de limites infinies en ∞ et en −∞ . Exemple: Soit la fonction carrée définie sur IR par fx=x² . 96 f1000=... f10=... f−10=... Lorsqu'on calcule les images de x pour de grandes valeurs, on s'aperçoit que les valeurs de fx tendent vers des valeurs infiniment grandes. Les valeurs de fx voulu. Il suffit pour celaaussi randes ue sont de plus en plus grandes y de prendre x « suffisamment grand ». Définitions: Soit un fonction définie au moins sur un intervalle ] f(x) a ;∞ [.

➢ Si, pour x suffisamment grand, les images fx grandes que l'on veut, on dit que fx tend vers x tend vers ∞ . Autrement dit, pour tout réel m, il existe un réel A appartenant à l'intervalle ] a ;∞ [ tel que xA et Notation: limfx=∞ . x∞

sont aussi ∞ quand

fxm

.

➢ Si, pour x suffisamment grand, les images fx sontnégatives et de valeurs absolues aussigrandesque l'on veut, on dit que fx tend vers −∞ quand x tend vers ∞ . Autrement dit, pour tout réel m, il existe un réel A appartenant à l'intervalle a ;∞ [ tel que xA et fxm .

Notation: limfx=−∞ x∞

➢

.

Si pour tout réel m, on peut trouver une valeur de A appartenant à l'intervalle ] −∞; b [telle que xA fxm , alors fx tend vers ∞ .

Notation: limfx=∞ x−∞

et que

➢ Si pour tout réel m, on peu trouver une valeur de A appartenant à l'intervalle ] −∞; b [telle que xA et que fxm , alors fx tend vers −∞ . Notation: limfx=−∞ x−∞

Remarque: limx²=∞limx²=∞ et tandis que x ∞x−∞ Généralisons: n limx=∞ ➢ Si n est pair, x −∞ n limx=−∞ ➢ Si n est impair, x−∞

3 limx=∞ x ∞

et

3 limx=−∞ x−∞

m

y

.

m

f(x)

y

A

T.Pautrel - cours: Limites et comportement asymptotique - niveau 1ère S

A

x

x

x

x

x

A

x

A

y

f(x)

m

y

m

x

x

l - a

l - a

x

s'approche de la valeur 2 (mais par valeurs supérieures car

Ici on remarque que pour la fonction inverse, quand x est suffisamment grand en valeurs absolue, autrement dit quand il tend vers −∞ , les valeurs de fx sont proches de 0. 1 lim=0 x Ainsi par valeurs inférieures. x −∞

y Exemple: 1 Soit la fonction f définie sur ℝ * par fx= 2 . x x ● Si x tend vers ∞ , alors fx s'approche de la valeur 2 (mais par valeurs supérieures car

1 22 x

1 22 x

fx

∞

tend vers

−∞

, alors

−∞

).

).

x

y

[ ou ] −∞ ; b [ Si, pour x suffisamment petit (et grand en valeur absolue), les images fx sont aussi proches d'un réel l que l'on veut, on dit que fx tend vers l quand tend vers −∞ . Soit pour tout a > 0, il existe un réel x ]de l'intervalle 0 −∞ que xx et fx appartient ; b [ tel 0 à l'intervalle ]l – a ; l + a[. y

n limx=∞ Cependant, dans tous les cas, que n .soit pair ou non, x∞ II) Notion de limite finie en l'infini: Exemple: 1 Soit la fonction inverse définie sur IR * par fx= . x f10=...f100=...f1000=... . Les valeurs de fx sont de plus en plus proches de 0 quand x augmente. Définitions: ➢ On dit qu'une fonction f admet pour limite le réel ➢ On dit que f admet pour limite le réel l lorsque x l lorsque x tend vers ∞ si les valeurs de tend vers −∞ si les valeurs de fx peuvent fx peuvent être rendues aussi proches de l être rendues aussi proches de l que voulu pour x que voulu pour x suffisamment grand.suffisamment grand.

quand

quand

T.Pautrel - cours: Limites et comportement asymptotique - niveau 1ère S

Ici la fonction inverse est représentée. On a remarqué que fx0,1 pour x10 , fx0,001 si x1000

Généralisons maintenant à toutes fonctions: Soit un fonction définie au moins sur un intervalle ] a ;∞ Si, pour x suffisamment grand, les images fx sont aussi proches d'un réel l que l'on veut, on dit que fx tend vers l quand tend vers ∞ .

x

tend vers

l

l + a l

Si

●

Ainsi

x

x

tend vers

x

Soit pour tout α > 0, il existe un réel x de l'intervalle ] 0 a ;∞ [ tel que xx 0 et fx appartient à l'intervallel + al – a . y l + a

1 lim=0 x x ∞

par valeurs supérieures.

y

Lecture graphique: limfx=llimfx=l Si ou , alors les ordonnées des points de la courbe (les nombre f(x) ) finissent par rester x −∞x∞ dan l'intervalle]l – a ; l + a[ même pour a petit.

Remarque: Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite qu'elle soit finie ou infinie en

III)Limite infinie en un réel a:

−∞

et en

∞

.

1 Exemple:Soit la fonction f définie sur IR par fx= pour x≠0 . x f0,1=...f0,001=...f0,0000000001=... On montre ainsi que fx devient aussi grand que l'on veut dès lors que l'on prend x assez proche de 0 par valeurs supérieures et que fx devient aussi « petit » que l'on veut pour des valeurs de x proche de 0 par valeurs inférieures (soit -0,01; -0,0001 ...)

Définition: Si f est définie sur ] a –α;a[ ou sur ] a ;a+α[ (α> 0) ou sur leur réunion, on dit que fx tend vers ∞ quand x tend vers a si fx peut être rendu aussi grand que l'on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.

Ici fxm dès que a− xa  avec

x≠a

y

m

Si f est définie sur ] a –α;a[ ou sur ] a ;a+α[ (α> 0) ou sur leur réunion, on dit que fx tend vers −∞ quand x tend vers a si fx peut être rendu aussi grand que l'on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.

Ici fxm dès que a− xa  avec

x≠a

m

a

a « a » est la valeur interdite.« a » est la valeur interdite. Pour x proche de a, les images Pour x proche de a, les images fx tendent donc vers ∞ . −∞ . limfx=∞ limfx=−∞ On notera: . On notera . xa xa On doit parfois distinguer le cas où x tend vers a en restant plus grand que a du cas où x tend vers a en restant plus petit que a car le comportement de fx n'est pas le même dans les deux cas. y 1 ➢ Si x tend vers 0 avec x0 , tend vers ∞ . x 1 m lim=∞ x On notera ou encore: ... x0 x0 1 ➢ Si x tend vers 0 avec x0 vers, tend −∞ . x 1 lim=∞ x ➢ On notera ou encore: ...  x0 x x0 Remarques: La fonction inverse donc a une limite à droite et une limite à gauche en 0 selon le signe de x . Elle n'a pas de limite en 0. 1 L'hyperbole H: y= est aussi proche que l'on veut de l'axe (Oy) pour x x suffisamment proche de 0 (par valeurs supérieures ou inférieures). m dit que l'axe (Oy) estasymptote verticaleà la courbe en 0.

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x

IV)Limite finie en un réel a: limfx 2 Exemple:Soit la fonction définie sur ℝ par fx=x−3x1 . Cherchons x2 limfx=2²−3×21=−1 On a donc . x2 Définition: Soit f une fonction dont l'ensemble de définition contient un intervalle de la forme ] a ; a + r[ ou ]a – r; a [ (r > 0) et soit l un réel.

On dit que la fonction f a pour limite l quand x tend vers a si et seulement si toutintervalle ouvert contenant l contient également toutes les valeurs fx pour x assez proche de a.

Autrement dit, ∀  0;∃h0 tel que fx appartienne à ] l−; l [.

x

appartienne à ]a – h ; a+h[ et que

.

y

l+α l l-α

a-h

a

a+h

Conséquences: Les fonctions qui ne présentent pas de problèmes dans leurs ensemble de définition possèdent les propriétés suivantes: lim  x=  a ➢ Si a0 , car la fonction racine carrée est définie sur IR*+. xa limPx=Pa ➢ .Si P est un polynôme quelconque et a un réel, xa limQx=Qa ➢ .Si Q est une fonction rationnelle et a un réel de son ensemble de définition, xa

V) Limites de référence: 1 Pour les fonctions de types fx= ( n∈ℕ ): n x Limites en l'infini: 1 1 1 1 1 1 lim=0 lim=0 lim=0 lim=0 lim=0 lim=0 33 Pour n = 1 et pour our n = et x x n = 2 x² ; x² p 3 x x x−∞x∞x∞ x−∞ x∞ x−∞ Limites en 0: 1 1 11 lim=∞ lim=−∞ lim=∞lim=∞ 22 x x xx et ; et ...(faire attention à la puissance de x ) x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0

Pour la fonction racine carrée:

lim  x=∞ x∞

(sa limite en

−∞

n'existe pas) et

1 lim=0  x x∞

.

n Pour les fonctions puissances (de type ( ∈ℕ ): fx=x n 3 =∞ =∞ limx²limx² limx=∞ Pour n = 2 et Pour n = 3 x∞x−∞ x∞ Règle générale:(pour tout entier n supérieur ou égal à 1)

n limx=∞ x∞

mais

n limx=∞ x−∞

si n est pair et

n limx=−∞ x−∞

et

3 limx=−∞ x−∞

si n est impair.

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x

VI)Opérations sur les limites: Dans tout ce qui suit, a désigne soit un réel, soit ∞ soit −∞ . 1. Somme: limfx=...limgx=...limfgx=... Si et si alors xa xa xa l l ' l∞ l −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ∞ −∞ « Forme indéterminée »signifie que l'on ne peut pas conclure directement. Il faut alors modifier la forme de l'expression f(x) + g(x) pour essayer de conclure. 1 1 lim− x x² Exemple: Trouver . x0 x0 2. Produit: limfx=...limgx=...limf×gx=... Si et si alors xa xa xa l l ' l , l0 ∞ l , l0 −∞ ∞ −∞ 0 ∞ ou −∞ 1 lim f×gx Exemple: Soit fx= et gx=x² :. Calculer x x∞ 3. Inverse: limfx=... l , l≠0 ∞ −∞ 0, avec f0 0, avec f0 Si xa 1 lim=... alors fx xa 1 lim 3 Exemple:donner . −3x x∞ 4. Quotient: limfx=... limgx=...f Si et si lim x=... xaxa alors g xa

l l l , l0

l ' , l≠0 ∞ ou −∞

0 avec g < 0

0 0 ∞ ou −∞ ∞ ou −∞ 0 Les 4 formes indéterminés à connaître: 0×∞ ; 0

;

∞ ∞

;

∞−∞

.

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0

VII)Asymptotes:

Définition: Un droite asymptote est un droite vers laquelle la courbe représentative d'une fonction se rapproche. Il existe 3 types d'asymptotes:

1. Asymptotes horizontales: a) Définition: limfx=l limfx=l Si ou encore x ∞ x−∞ de f en ∞ ou encore en −∞ .

b) Inter rétation ra hi ue:

Δ

c) Méthode:

Pour démontrer que la droite d'équation limfx−l=0 démontrer que . x ∞

La démarche est la même en

−∞

, on dit que la droite d'équation

y=l

en prouvant

l

y

M

P

y=l

est asymptote horizontale à la courbe

est asymptote horizontale à la courbe d'un fonction f en

limfx−a=0 x−∞

.

x

∞

on peut

Ici ladistance MPreprésente l'écartentre la courbe def et la droiteΔd'équation y=l . SiΔest asymptote horizontale à Cf en ∞ , alors,au voisinage de ∞ , la distance MP tend vers 0. (De même siΔest asymptote horizontale à Cf en −∞ , alors, au voisinage de −∞ , la distance MP tend vers 0.) Mathématiquement, limfx−l=0 MP=fx−l .SiΔest asymptote horizontale à Cf en ∞ , alors . x ∞ 4x−3 Exemple:Soit la fonction f définie sur IR -{1} par fx= . x−1 Dans un repère, C est la courbe représentative de f et Δ la droite d'équation y = 4. Démontrer que Δ est asymptote à C en −∞ et en ∞ . y C f

2.

Asymptotesverticales:

Si une fonction admet une limite à gauche ou à droite en un réel a, alors on dit que la droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe de f.

Exemple:Démontrer que la droite d'équation Δ : y = 2 est asymptote verticale à la courbe de 1 f est la fonction définie par fx= . x−2

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x = a

x

b) Interprétation graphique: M et P sont les points d'abscisses x situés respectivement sur la courbe C et sur la droite Δ d'équation y=axb . Le fait que la droite Δ est asymptote oblique à C en ∞ (resp. −∞ ) se traduit graphiquement par le fait que la distance MP tend vers 0 lorsque x tend vers ∞ (resp. −∞ ).

, signe qui

fx−axb

y=axb

x

fx−axb0 fx−axb0

Quand Quand

➢ ➢

Soit Δ une droite d'équation d'une fonction f.

y= ax + b

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c'est-à-dire fxaxb ,Cf est au-dessus de Δ . , c'est-à-dire fxaxb ,Cf est au-dessous de Δ.

3. Asymptotes obliques: a) Définition: a et b sont des réels avec a non nul. Cf est la courbe représentative d'une fonction f dans un repère. lim [ fx−axb ] =0lim [ fx−axb ] =0 Lorsque (resp. ), on dit que la droite d'équation y=axb x ∞x−∞ asymptote oblique à la courbe Cf en ∞ (resp. −∞ ).

est

Pour étudie laposition relativede Δ et de Cf, on doit étudierle signe de la différence dépend en général de x .

)à la courbe représentative

C f

y

1 Exemple:f est la fonction définie sur IR * par fx=2x−1 . 2 x Dans un repère, C est la courbe représentative de f et Δ la droite d'équation y=2x−1 . Démontrer que Δ est asymptote oblique à C en ∞ et en −∞ . ............................................................................................................................................................................................................................. 4. Positions relatives des asymptotes par rapport à la courbe:

a≠0

c) Méthode: Pour démontrer que la droite Δ d'équation y=axb est asymptote à la courbe représentative d'une fonction f en ∞ (resp. −∞ ): ➢ On exprime fx−axb en fonction de x et on réduit l'expression obtenue. ➢ On montre que la limite de cette différence en ∞ (resp. −∞ )est égale 0.

asymptote(horizontale si a = 0 ou oblique si