Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Thibault Pautrel

Description

équations différentielles et fonctions exponetielles
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Mathématiques

Ch...: Équations différentielles de type y '=ay

Terminale S

L'objectif principal de ce chapitre est d'apprendre à résoudre les équations différentielles du type y '=ay et d'y remarquer la fonction exponentielle. Commençons par donner au coefficient a la valeur 1, ce qui donne une équation différentielle simple.

I) L'équationdifférentielle y '=y :

Théorème: L'équation différentielle de conditions C 1 et C 2 explicitées ci-dessous admet une unique solution sur IR. C 1 : y '=y C 2 : y0=1

Démonstration: Nous devons donc prouver qu'il existe une unique fonction ƒ, définie et dérivable sur IR, dont la dérivée est égale à elle- même vérifiant la condition que f(0) = 1. ● )esimda(:cestenExi ● vuerP:técini'uldee

Soient ƒ et g des solutions du problème différentiel exposé et soit  la fonction définie sur IR par x=fx×f−x .

Déterminons la dérivée de  :  est dérivable sur IR comme produit de deux fonctions dérivables sur IR telle que: 'x=f 'x×f−xfx×−f '−x . Il vient que x=0 donc la fonction  est constante sur IR. Par ailleurs, 0=1 donc quel que soit le réel x , x=1 .

Soit hx=f−x×gx , définie et dérivable sur IR comme produit de deux fonctions dérivables sur IR. Déterminons la dérivée de la fonction h: h 'x=−f '−x×gxf−x×g 'x <=> h 'x=−f−xgxf−xgx <=> h 'x=0 . La fonction h est donc constante sur IR et h0=1 . Donc, quel que soit le réel x , hx=1 .

Bilan: Nous venons d'établir que d'une part f−xfx=1 et d'autre part que f−xgx=1 . On peut donc écrire que f−xfx=f−xgx , et comme le réel f−x est non nul, il vient que fx=gx .

Définition: L'unique fonction solution sur IR vérifiant y '=y et y0=1 est appelée exponentielle et notée exp .

Ainsi, exp0=1 et pour tout réel x , exp'x=expx . Nous avons aussi établi que expx×exp−x=1 .

Démontrons que la fonction exponentielle ne s'annule jamais sur IR: Raisonnons par l'absurde: S'il existait un réel x tel que expx=0 , on aurait exp−x×expx=0 ce qui ne donne pas 1. 0 0 0 0 Il est clair que expx≠0 .

Démontrons que la fonction exponentielle est strictement positive sur IR: On a prouvé que la fonction exponentielle est continue sur IR car dérivable et que exp0=1 . Si un réel x existait tel que expx0 , on aurait d'apr 00 ès le TVI l'existence d'un réel  x 0 que exp=0 tel cequi est impossible.

compris entre 0 et

=> Il vient des deux démonstrations précédentes que la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR car exp'x=expx avec expx0 .

II) L'équation différentielle y '=k yk∈ℝ :

Théorème: k y avec y0=y admet une unique solution ƒ sur IR définie par: Le problème différentiel y '= 0 fx=yexpkx . 0 Démonstration: ● xEsiete:nc Vérifions que fx=yexpkx satisfait les conditions: 0 exp0 . Or,  f0 . f0=y 0 exp 0=1 donc =y 0 f 'x−k fx=y kexp'k x−y kexpkx . Or expk x=exp'k x donc f 'x−k fx=0 . 0 0 ● :éticinu'ledeuvreP Soit g une solution quelconque de ce problème différentiel et soit la fonction  définie et dérivable sur IR par: x=gxexp−kx On a: 'x=g 'xexp−k x−k gxexp−k x . Or, g '=k g par hypothèse, donc il vient que 'x=0 . La fonction  est donc constante sur IR. Par ailleurs, 0=g0exp0 soit 0=y , on a donc x=y sur IR. 0 0 Or,  =  −  , donc y=gxexp−kx⇔g y x gxexpkx 0 x= 0 expkx car exp−x×expx=1 . On retrouve g=f sur IR, ce qui prouve l'unicité.