Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale
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Dérivabilité-accroissements finis
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Terminale S

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Langue Français

Extrait







Dérivabilité



I. Rappels
II. Dérivées successives
III. Dérivée de la composée de deux
fonctions
IV. Théorème des accroissements finis
V. Inégalités des accroissements finis
VI. Sens de variations d'une fonction



















Page : 1
Dhaouadi Nejib http://www.sigmaths.co.cc
Dérivabilité


I. Rappels

1. Dérivabilité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de centre a.
f(x) f(a)
f dérivable en a ? le rapport admet une limite finie en a,
x a
notée f '(a) et appelée nombre dérivé de f en a
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme a, a + . [ [
f(x) f(a)
f dérivable à droite en a ? le rapport admet une limite finie
x a
à droite en a, notée f '(a). d
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme a + , a . ] ]
f(x) f(a)
f dérivable à gauche en a ? le rapport admet une limite
x a
finie à gauche en a, notée f '(a). g
Interprétation graphique et approximation affine :

La figure suivante représente la courbe d’une fonction f • Si f est dérivable en a alors
dérivable en 1 et f '(1) = 2 . la courbe représentative de
f admet, au point d’abscisse
a, une tangente de
coefficient directeur f '(a)
1 
• u est un vecteur  
f '(a). 
directeur de la tangente.
• Cette tangente admet pour
équation cartésienne
y = f '(a)(x a)+ f(a)



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a-------a

• Au voisinage du point M(a,f(a)), la courbe et la tangente sont presque
confondues. Donc, sur un petit voisinage de a on peut assimiler la branche de la
courbe de f à un segment (de la tangente).
Et de cette façon, on peut obtenir une approximation de f(x) si x est proche de a en
remplaçant f(x) par f '(a)(x a)+ f(a).
On dit alors que f(a) + (x-a)f '(a) est l'approximation affine locale de f(x).
Exemple1 : f(x) = sin x. f est dérivable en 0 et f '(0) = 1 !
sin x ≃ xDonc pour x proche de 0 on a sin x ≃ 1.(x 0)+ sin 0 ou encore
1
EEEExxxxeeeemmmmpppplllleeee2222 : f(x) = 1 + x . f est dérivable en 0 et f '(0) = !
2
x
1 + x ≃ 1 +Donc pour x proche de 0 on a 1 + x ≃ f '(0).(x 0)+ f(0) ou encore
2
• Si f est dérivable à droite en a alors la courbe représentative de f admet, au
point d’abscisse a, une demi tangente de coefficient directeur f '(a). d
• De même si f est dérivable à gauche en a alors la courbe de f admet, au point
d’abscisse a, une demi tangente de coefficient directeur f '(a). g

Dans la figure ci contre :
La fonction f est dérivable à
droite en 2 et f ' (2) = 2. d
f est dérivable à gauche en 2
et f ' (2) = 2. g
Remarque :
Dans le cas où f est dérivable à
gauche en a, il est plus pratique
1 
de choisir comme  f ' (a)g 
vecteur directeur au lieu de
1 
(comme dans le cas de  f ' (a)
g 
cet exemple)






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------2. Dérivabilité sur un intervalle

On dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert, si elle est
dérivable en tout point de cet intervalle.
On dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle a,b si elle est [ ]
dérivable sur a,b , dérivable à droite en a et dérivable à gauche en b. ] [
L'application qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est
appelée fonction dérivée de f.



3. Dérivées des fonctions usuelles

f(x) f '(x) Intervalle I
n n 1x n ℕ \ 0,1 ( { }) ℝ nx
1 n* n ℕ , 0 ou 0, + ] [ ] [( )n n +1x x
1
]0, + [ x
2 x
sin(ax+b) acos(ax+b) ℝ
a sin(ax+ b) cos(ax+b) ℝ
2I ? D a 1 + tan ax + b ( )tan(ax+b) ( )f

4. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I

Fonction Intervalle Fonction dérivée
f + g f '+ g ' I
f ℝ f ' ( ) I
f g f ' g+ f g ' I
1 Tout intervalle de f '

2{x I tel que f(x) 0} f g
f Tout intervalle de f ' g f g '

2x I tel que g(x) 0 g { } g
n n 1f n ℕ \ 0,1 ( { }) nf ' f I
Tout intervalle de 1 nf '* n ℕ ( )n n +1x I tel que f(x) 0 { }f f

II. Dérivées successives

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, sa fonction dérivée f ' est
appelée dérivée première de f ou dérivée d’ordre 1 de f.
Si f ' est dérivable sur I, sa fonction dérivée est appelée dérivée seconde ou dérivée
(2)d’ordre 2, elle est notée f '' ou f
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˛·¥--˛-„¥˛¥„„˛--a··˛--··˛˛a-˛a(n 1)D’une façon récurrente, si f (n 2) est dérivable sur I, sa fonction dérivée est
ème (n)appelée dérivée n ou dérivée d’orde n de f et notée f

Exercice

Soit la fonction f : x ֏ cos x
Montrer que pour tout entier naturel n 1 et pour tout rée x on a :
 (n)
f (x) = cos x + n 
2 
Solution

• La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et on a pour tout réel x
 
f '(x) = sin x= cos x+ donc l’égalité est vraie à l’ordre 0.  
2 
 * (n)
• Soit n ℕ , supposons que f (x) = cos x + n et montrons que  
2 
 (n +1)
f (x) = cos x + (n + 1)  
2 
   (n +1) (n)f (x) = f '(x) = sin x+ n = sin x n( )    
2 2   

    
= cos x n = cos+ x +(n 1)    
2 2 2    

III. Dérivée de la composée de deux fonctions

Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a et g une
fonction définie sur un intervalle ouvert J contenant f(a).
Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a) alors la fonction composée gof est
dérivable en a et on a : gof '(a) = f '(a) g '(f(a)) ( )

Démonstration
g(y) g(f(a))
h(y) = si y f(a)
Soit la fonction h définie sur J par : y f(a) 
h(f(a)) = g '(f(a)) 
h est continue en f(a) car g est dérivable en ce point
f dérivable en a⇒ f continue en a
Donc lim h(f(x)) = h(f(a)) = g '(f(a))
x a
En plus, pour x a on a :
 f(x) f(a)
h(f(x)). si f(x) f(a)g(f(x)) g(f(a)) 
= x a
x a  0 si f(x) = f(a)
f(x) f(a)
lim = f '(a) car f est dérivable en a On a
x a x a
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-‡---‡-ppfi---p--p-p----p„pp·p„„-fi˛g(f(x)) g(f(a))
Donc lim = g '(f(a)) f '(a)
x a x a

Conséquence
Si f est dérivable sur un intervalle I et g est dérivable sur un intervalle J tel que
f(I) ? J alors gof est dérivable sur I et on a :
x I, gof '(=x) f '(x) g '(f(x)) ( )

Application (Dérivée de f )
Soit f une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Si on pose g(x) = x alors f = gof
f dérivable sur I 

g dérivable sur 0,+] [ 
f(I) ? 0,+ car f est strictement positive sur I] [
Donc la fonction f ( = gof) est dérivable sur I et on a :
1 f '(x)
x I, f '(=x) gof '(=x) f '(x) g '(f(=x)) f '(x) = ( )( )
2 f(x) 2

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