Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - limites à l'infini

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Avec correction. Suites et séries de fonctions - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

Sujets

1)Limites dansℝ. Problèmes : existence / calcul exact / calcul approché Outils : ordre et complétude Propriétés issue de l'ordre. Croissante majorée ou décroissante minorée Carouf p141 Applications : suite d'Archimède, preuve de convergence par la géométrie des Gourdon p convexes ; contre exemple avec le flocon de Von Koch ; approximation rationnelle 196 des irrationnels. Suites adjacentes Application : critère d'existence de limite d'une suite xn+1=f(xn) selon la monotonie de f. Propriétés issues de la complétude.Pommelet Critère de Cauchy pour les suites Application : th de Riesz sur la distance à un convexe complet non vide. D-W T2 Critère de Cauchy pour les fonctions ch EVN ∞ ∫ Application : f>0 tqftdtcv et f décroissante => xf(x) tend vers 0. a Convergence absolue pour les séries numériques Application : l'exponentielle est un morphisme de groupes. Une différence entre intégrale et série: lien entre converge de la somme et celle des termes. Recherche d'équivalents. Comparaison série/intégrale : Stirling Théorèmes des restes de séries : ? 2) Limitesdans les espaces de fonctions. Problèmes :contrairement aux espaces de dimension finie, il y a ici plusieurs types possibles de convergence car les normes ne sont pas toutes équivalentes. En plus, la limite éventuelle peut être en dehors de l'espace dans lequel sont confinées les fonctions. Il s'agit de répondre aux questions : existence, régularité, lien entre dérivée/primitive de la limite et dérivée/primitive des éléments de la suite. Outils : complétude, produit scalaire. Norme uniforme Exemples de oui/non Méthode standard. Remarque : CU => CS ; contrexemple à la réciproque : Gibbs PROP : continuité, dérivée, primitive.Rombaldi AR Deux cas où on se passe de la CU : TCM, TCD Application : propriété d'Euler sur la fonction Gamma → TCD Utilisation de la complétude Exemple d'espace fonctionnel complet. Convergence normalepour les séries de fonctions. Application : CU des SE sur un rayon du DOC pourvu qu'il y ait convergence simpleRombaldi au bout du rayon.AM Théorème de Picard Application : Th de Cauchy sur les SDLCC ← DEVELOPPEMENT Utilisation d'un produit scalaire hermitien Convergence quadratique Application : extension au cas d'un espace non complet : Théorème de Bessel et Parseval pour les CM.

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Limites à l'infini

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