ASYMPTOTIQUES DEWEYL CHAMPS MAGNETIQUES ET POTENTIELS DEGENERES

Description

ASYMPTOTIQUES DEWEYL, CHAMPS MAGNETIQUES ET POTENTIELS DEGENERES Franc¸oise Truc Institut Fourier, Grenoble 30/09/08 – p. 1

• asymptotiques deweyl


• bouteilles magnétiques


• asymptotique de weyl


• potentiels dégénérés


• contexte euclidien


• compacte comportement asymptotique


• champs magnetiques

Sujets

• Champ magnétique

Informations

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Extrait

ASYMPTOTIQUES DE WEYL, CHAMPS MAGNETIQUES ET POTENTIELS DEGENERES

Fran¸coiseTruc

Institut Fourier, Grenoble

30/09/08 – p. 1

•Introduction

•Motivation classique

Plan

: Bouteilles magnétiques en mécanique

•Asymptotique de Weyl pour des bouteilles magnétiques contexte euclidien contexte hyperbolique

•Asymptotique de Weyl pour des potentiels dégénérés

30/09/08 – p. 2

Introduction Objectif : établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrödinger. SoitVune fonction continue deR d à valeurs positives , et h∈]01]un petit paramètre .

30/09/08 – p. 3

Introduction Objectif : établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrödinger. SoitVune fonction continue deR d à valeurs positives , et

h∈]01]un petit paramètre .

Condition ND : V(x)→+∞quand|x| →+∞ ∀h∈]01], l'opérateurH h =−h 2 Δ +Vdéni surL 2 (R d ) essentiellement auto-adjoint et à résolvante compacte comportement asymptotique semi-classique de son spectre :

est

30/09/08 – p. 3

Introduction Objectif : établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrödinger. SoitVune fonction continue deR d à valeurs positives , et

h∈]01]un petit paramètre .

Condition ND : V(x)→+∞quand|x| →+∞ ∀h∈]01], l'opérateurH h =−h 2 Δ +Vdéni surL 2 (R d ) essentiellement auto-adjoint et à résolvante compacte comportement asymptotique semi-classique de son

N s ( p λ e  c H tr h e ) : ∼h −d (2π) −d v Z R d (λ−V(x)) d d + 2 dx(h→0) N(λ H h ) de valeurs propres inférieures à une: nombre énergie xéeλ.

v d : volume de la boule unité ,W +

est

: partie positive deW. 8003/90/

– p. 3

Remarques

Si l'on poseh= 1la formule précédente donne l' asymptotique à grande énergie de l'opérateurH 1 =−Δ +V: −d Z d2

N(λ H 1 )∼ λ→+∞ (2π)v d

(λ−V(x)) + dx R d

30/09/08 – p. 4

Remarques

Dans les deux cas : correspondance asymptotique entre

le nombre de valeurs propres inférieures àλet

le volume, dans l'espace des phases, de l'ensemble {(x ξ)∈T ∗ (R d )H(x ξ)≤λ},

H(x ξ) =ξ 2 +V(x)est le symbole principal deH h , et aussi le Hamiltonien de la dynamique classique associée.

Que se passe-t-il pour un opérateur de Schrödinger dont le spectre est discret sans que la condition (ND) soit vériée?

30/09/08 – p. 4

Exemple

Si la condition (ND) n'est plus vraie, il se peut que le volume de {(x ξ)∈T ∗ (R d )H(x ξ)≤λ}soit inni, ce qui enlève son sens à la formule de Weyl.

30/09/08 – p. 5

Exemple

:

Exemple

V(y z) = (1 +y 2 )z 2

x= (y z)∈R 2 

30/09/08 – p. 5