LES TAS DE SABLE Francis Jamm CR d'un atelier Caen v1

Francis Jamm

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
LES TAS DE SABLE Francis Jamm ; CR d'un atelier à Caen ; v1 Quand on verse du sable sur une plaque horizontale, surélevée, jusqu'à ce qu'il déborde de tous les côtés, que peut-on dire de la forme du tas de sable ainsi obtenu ? C'est à cette question que se sont attelés, dans le cadre du club scientifique du lycée Lavoisier de Mulhouse, de élèves de Première S et Terminale S durant l'année 2000-2001. Depuis, ce thème a été étoffé soit en club soit lors de TPE. C'est une partie de ce que les élèves ont expérimenté, conjecturé, modélisé, trouvé, réalisé, programmé et démontré, qui est présenté dans cet article. DES TAS DE TAS Première surprise, avec une plaque polygonale convexe à six côtés on obtient trois différents types de tas. Vue de dessus des trois tas de sable A chaque tas de sable on attribue une formule comme indiqué ci-dessus. Avec une plaque à 7 côtés on obtient 4 types de tas de sable : On obtient 12 types avec une plaque à 8 côtés, 27 avec 9 côtés, 82 avec 10 côtés et environ dix millions avec une plaque à 20 côtés ! Une méthode pour trouver tous ces cas consiste à couper le coin d'une plaque.

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• surface d'égale pente


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• tas pyramidal sans arête faîtière


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Sujets

• Mulhouse
• Plaque
• Talus naturel
• Surface d'égale pente

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

LES TAS DE SABLE

Francis Jamm ; CR d’un atelier à Caen ; v1

Quand on verse du sable sur une plaque horizontale, surélevée, jusqu’à ce qu’il déborde de tous les

côtés, que peut-on dire de la forme du tas de sable ainsi obtenu ?

C’est à cette question que se sont attelés, dans le cadre du club scientifique du lycée Lavoisier de

Mulhouse, de élèves de Première S et Terminale S durant l’année 2000-2001. Depuis, ce thème a été

étoffé soit en club soit lors de TPE. C’est une partie de ce que les élèves ont expérimenté, conjecturé,

modélisé, trouvé, réalisé, programmé et démontré, qui est présenté dans cet article.

DES TAS DE TAS

Première surprise, avec une plaque polygonale convexe à six côtés on obtient trois différents types de tas.

Vue de

dessus des trois tas de sable

A chaque tas de sable on attribue une formule comme indiqué ci-dessus.

Avec une plaque à 7 côtés on obtient 4 types de tas de sable :

On obtient 12 types avec une plaque à 8 côtés, 27 avec 9 côtés, 82 avec 10 côtés et environ dix millions

avec une plaque à 20 côtés !

Une méthode pour trouver tous ces cas consiste à couper le coin d’une plaque. On obtient ainsi une

nouvelle plaque ayant un côté de plus. De proche en proche on va obtenir tous les cas.

Voici comment à partir d’une plaque pentagonale on obtient les trois cas de la plaque hexagonale.

Cette méthode est facile à programmer. Couper un coin revient à insérer le nombre 3 dans une formule et

à augmenter d’une unité les deux nombres adjacents.

Les tas de sable construits sur des plaques ayant le même nombre de côtés ne diffèrent pas seulement par

leurs faces mais aussi par leur arête faîtière (celle qui ne touche pas le bord de la plaque). Il y a là,

probablement, une façon de trouver, directement, tous les cas en utilisant la théorie des graphes. Mais cela

reste à faire …

MODELE MATHEMATIQUE D’UN TAS DE SABLE

A ce stade, on observe que la pente du tas de sable est la même quelque soit la face. Quand il tombe, un

grain de sable va se diriger, suivant la ligne de plus grande pente, vers le bord de la plaque le plus proche.

Les arêtes du tas de sable sont donc à égale distance de deux bords de la plaque. Quand on projette

orthogonalement les arêtes sur la plaque on obtient les bissectrices des angles formés par les bords de la

plaque.

(AI) est la bissectrice de l’angle BAD, et de même pour les arêtes issues de B, C, et D.

(IJ) est la bissectrice de l’angle BEC.

Il est maintenant facile de dessiner, à partir de la plaque,

l’allure du tas de sable que l’on obtiendra ( très

bon exercice à faire sous Cabri Géomètre)

.

A partir de l’arête faîtière il doit être possible de construire une plaque engendrant un tas de sable ayant

une formule choisie à priori.

On peut aussi construire le patron du polyèdre formé par le tas de sable, et si on a du courage, calculer son

volume.

LES PYRAMIDES

Jusqu’à présent nous n’avons considéré que des cas non pyramidaux. C'est-à-dire que seules trois arêtes

sont concourantes en un point.

Bien entendu une plaque carré engendrera un tas pyramidal sans arête faîtière. Mais ce n’est pas le seul

cas. On obtient une pyramide chaque fois que l’arête IJ est réduite à un point O. Ce point O est alors à

l’intersection des bissectrices des angles de la plaque et à égale distance des bords de la plaque. Dans ce

cas la plaque admet un cercle inscriptible.

Cette situation équivaut

à AB + CD = AD + CB.

On peut voir ci-dessous l’évolution de l’arête faîtière, les angles de la plaque restant constants.

CD + AB > DA + CB

A

B

C

D

E

I

J

D

A

B

C

D

A

B

C

I

J

CD + AB < DA + CB

CD + AB = DA + CB

E '

LES TAS DE SABLE ET LES CONIQUES

Avec des plaques rondes on obtient des arêtes qui sont des coniques. C’est vrai à condition de conserver

le modèle d’un tas de sable comme surface d’égale pente ; ce qui assez bien vérifié sur les exemples ci-

dessous.

M étant sur l’arête parabolique on a, en projection orthogonale sur la plaque :

MH’ = MH’’, donc

MF = MH

, puisque HH’ = FH’’ = rayon du demi-cercle.

On trouve la parabole de foyer F et de directrice

d

.

M étant sur l’arête elliptique on a, en projection orthogonale sur la plaque :

MH = MH’ donc R – OM = O’M – R’ d’où :

OM + O’M = R + R’

.

On trouve l’ellipse de foyers, le centre de la plaque et le centre du trou.

L’arête entre deux trous circulaires est une hyperbole. On le montre analytiquement en étudiant

l’intersection des deux cônes, de même angle au sommet, formés par le sable autour des trous.

L’hyperbole se situe dans le plan perpendiculaire à la plaque si les deux trous ont même rayon.

LA PENTE SE REDRESSE

Le modèle des tas de sable comme surface d’égale pente est mis en défaut par le cas suivant.

Le centre de la plaque, et le centre de chaque arc de cercle sont à égale distance du bord de la plaque. Si la

pente était constante ; à l’aplomb de ces cinq points, la hauteur du tas de sable serait la même. Or, sur la

photo on voit que le point central est plus élevé.

Un coin rentrant forme une sorte d’entonnoir dans lequel se déverse le sable. Le sable s’y organise

différemment et

tient ainsi sur une pente plus raide. D’après les mesures (pas faciles à réaliser) et les

calculs effectués, l’entonnoir est un cône à base elliptique.

Savoir si ce phénomène se produit aussi avec une plaque ayant une encoche arrondie est une question

actuellement à l’étude.

POUR LE PLAISIR DES YEUX ET DES MENINGES

Les élèves ont présenté ce travail à Mulhouse, Strasbourg, Grenoble, Paris, Bratislava et

Moscou, et moi-

même aux journées APMEP d’Orléans et de Caen.

Est-il utile de souligner la grande implication de chaque génération d’élèves dans cette activité ? La

liberté que laisse une activité de club ou de TPE n’y est pas pour rien. Le bilan, en termes de

compétences, de connaissances acquises et de travail en équipe est évident.

Les élèves ; c’est simple, cela va des futurs polytechniciens aux redoublants et à ceux qui vont rater leur

baccalauréat. Parfois il y a même des filles, pas assez hélas.

De plus l’administration adore cette activité, car au départ, du sable et du carton, ne coûtent rien.

Ce ne sont pas les thèmes qui manquent pour vivre semblable aventure avec force mathématiques. J’ai eu

le plaisir de l’expérimenter avec le système géocentrique de Ptolémée, la brachistochrone, les antennes

paraboliques, les anamorphoses, les surfaces minimales des membranes savonneuses et les tresses.

De 7 à 77 ans vous pouvez jouer aux tas de sable et consulter

www.tasdesable.com

, site également

réalisé par les élèves.

Pour un compte rendu détaillé du vécu du club scientifique lors de la première année « tas de sable »

consulter

http://www.univ-irem.fr/commissions/reperes/consulter/50jamm.html