PSI Octobre MATHEMATIQUES

Description

PSI Octobre 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Réduction d'endomorphismes Exercice 1 : (Mines 09) Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme u de IRn[X] qui à tout P associe u(P ) = (X2 ? 1)P ? ? 2nXP . (CCP 09) : Même question avec u(P ) = (2X + 1)P ? (X2 ? 1)P ? où P ? IR[X] Exercice 2 : Soient n ? IN?, A ? Mn(IK),M = ( 0 A A 0 ) Exprimer ?M en fonction de ?A Exercice 3 : Soient n, p ? IN? tels que n ≤ p,A ? Mn,p(IK), B ? Mp,n. 1. Pour ? ? IK, Calculer ( ?In A B Ip )( ?In 0 B Ip ) Puis ( ?In A B Ip )( ?In A 0 ??Ip ) 2. En déduire : (?X)n?BA = (?X)p?AB. Que se passe t-il quand n = p ? 3. Justifier que pour n = p : SpIK(AB) = SpIK(BA) Exercice 4 : Soient A et B deux matrices carrées d'ordre n à coefficients dans CI. On suppose que A et B n'ont pas de valeur propre commune.

• polynôme caractérisque


• ?m ?


• démonstration du théorème de hamilton-cayley


• déterminant dn de mn

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 octobre 2010
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Extrait

PSI MATHEMATIQUES

Octobre 2010

Feuille d’Exercices RÉduction d’endomorphismes

Exercice 1: (Mines 09) DÉterminer les ÉlÉments propres de l’endomorphismeudeIR n [X]qui À toutPassocie 20 u(P) = (X−1)P−2nXP. 20 (CCP 09) : Mme question avecu(P) = (2X+ 1)P−(X−1)PoÙP∈IR[X]   0A ∗ Exercice 2: Soientn∈IN ,A∈ M n (IK), M=Exprimerχ M en fonction de A0 χ A

∗ Exercice 3: Soientn, p∈INtels quen≤p, A∈ M n,p (IK), B∈ M p,n . 1. Pourλ∈IK, Calculer    λI n A−I n 0 B I p B I p

Puis    λI n A−I n A B I p 0−λI p n p 2. En dÉduire :(−X)χ BA = (−X)χ AB . Que se passe t-il quandn=p? 3. Justifier que pourn=p:Sp IK (AB) =Sp IK (BA)

Exercice 4: SoientAetBdeux matrices carrÉes d’ordrenÀ coefficients dansIC. On suppose queA etBn’ont pas de valeur propre commune. Soitχ A le polynÔme caractÉristique deA. Montrer queχ A (B)est inversible. Montrer que :∀X∈ M n (IC), AX=XB⇐⇒X= 0. Montrer que :∀M∈ M n (IC),∃X∈ M n (IC), M=AX−XB. Exercice 5: (Mines d’Albi) VÉrifier quefdÉfini surM 2 (IC)parf(M) =AM+M BoÙ    1 +i10 0−i A=etB=est un endomorphisme. 0 1+i1−i0 Donner ses ÉlÉments propres. Est-il diagonalisable? En dÉduire sa trace et son dÉter- minant. Exercice 6: Diagonaliser les matrices suivantes :     2 1(0) a b . . . 1 2 . . . . . . A= . ∈ M n (IR)B= a+b ∈ M 2n−1 (IR)    . .  .   .  . . . 1 b a (0) 12

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