Bac 2011 S Maths obligatoire

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• Publié par: lewebpedagogique
• Publié le: 18 décembre 2013
• Nombre de lectures: 358
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2011
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour
aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises
en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages
numérotées de 1/6 à 6/6.
11MASCOME1 page1/6
OBLIGATOIREEXERCICE1(4points)
Communàtouslescandidats
LesdeuxpartiesAetBpeuventêtretraitéesindépendamment.
−4Lesrésultatsserontdonnéssousformedécimaleenarrondissantà10 .
Dansunpays,ilya2%delapopulationcontaminéeparunvirus.
PARTIEA
Ondisposed’untestdedépistagedecevirusquialespropriétéssuivantes:
– Laprobabilitéqu’unepersonnecontaminéeaituntestpositifestde0,99(sensibilitédu
test).
– Laprobabilitéqu’une personnenoncontaminéeait untest négatifest de 0,97(spécifi-
citédutest).
Onfaitpasseruntestàunepersonnechoisieauhasarddanscettepopulation.
OnnoteV l’événement«lapersonneestcontaminéeparlevirus»etT l’événement«letestest
positif».
V etT désignentrespectivementlesévénementscontrairesdeV etT.
1. a. PréciserlesvaleursdesprobabilitésP(V),P (T),P (T).V V
Traduirelasituationàl’aided’unarbredeprobabilités.
b. Endéduirelaprobabilitédel’événementV ∩T.
2. Démontrerquelaprobabilitéqueletestsoitpositifest0,0492.
3. a. Justifierparuncalcullaphrase:
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit
contaminée».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sa-
chantquesontestestnégatif.
PARTIEB
Onchoisitsuccessivement10personnesdelapopulationauhasard,onconsidèrequelestirages
sontindépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmices10personnes.
1. JustifierqueXsuituneloibinomialedontondonneralesparamètres.
2. Calculerlaprobabilitéqu’ilyaitaumoinsdeuxpersonnescontaminéesparmiles10.
11MASCOME1 page2/6EXERCICE2(4points)
Communàtouslescandidats
Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsesproposéesestexacte.Lecandidatindiquera
sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un
point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou
encasderéponsefausse.
³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O ; u , v .
Ondésignepar A,B,C,D lespointsd’affixesrespectivesz =1,z =i,z =−1,z =−i.A B C D
π
1. L’imageE dupointD parlarotationdecentre A etd’angle apouraffixe:
3p
1+ 3
• z = (1+i),E
2p
1+ 3
• z = (1−i),E
2p
1− 3
• z = (1−i),E
2p
1− 3
(1+i).• z =E
2
2. L’ensembledespointsd’affixez telleque|z+i|=|z−1|est:
• lamédiatricedusegment[BC],
• lemilieudusegment[BC],
• lecercledecentreO etderayon1,
• lamédiatricedusegment[AD].
z+i
3. L’ensembledespointsd’affixez telleque soitunimaginairepurest:
z+1
• ladroite(CD)privéedupointC,
• lecercledediamètre[CD]privédupointC,
• lecercledediamètre[BD]privédupointC,
• lamédiatricedusegment[AB].
π
4. L’ensembledespointsd’affixez tellequearg(z−i)=− +2kπoùk∈Zest:
2
• ledemi-cercledediamètre[BD]passantpar A,
• ladroite(BD),
• lademi-droite]BD)d’origineB passantparD privéedeB,
• lecercledediamètre[BD]privédeB etD.
11MASCOME1 page3/6EXERCICE3(7points)
Communàtouslescandidats
Pourtoutentiernatureln supérieurouégalà1,ondésignepar f lafonctiondéfiniesurRpar:n
n −xf (x)=x e .n
³ ´→− →−
OnnoteC sacourbereprésentativedansunrepèreorthogonal O ; i , j duplan.n
PARTIEA
Surlegraphiqueci-dessous,onareprésentéunecourbeC oùk est unentiernaturelnonnul,k
satangenteT aupointd’abscisse1etlacourbeC .k 3 µ ¶
4
LadroiteT coupel’axedesabscissesaupoint A decoordonnées , 0 .k
5
y
Tk
Ck
~j
x
~O i A
C3
1. a. Déterminerleslimitesdelafonction f en−∞eten+∞.1
b. Étudierlesvariationsdelafonction f etdresserletableaudevariationsde f .1 1
c. Àl’aidedugraphique,justifierquek estunentiersupérieurouégalà2.
2. a. Démontrerquepourn>1,touteslescourbesC passentparlepointO etunautren
pointdontondonneralescoordonnées.
b. Vérifierquepourtoutentiernatureln supérieurouégalà2,etpourtoutréelx,
0 n−1 −xf (x)=x (n−x)e .n
11MASCOME1 page4/6
b3. Surlegraphique,lafonction f sembleadmettreunmaximumatteintpourx=3.3
Validercetteconjectureàl’aided’unedémonstration.
µ ¶
k−2
4. a. DémontrerqueladroiteT coupel’axedesabscissesaupointdecoordonnées , 0 .k
k−1
b. Endéduire,àl’aidedesdonnéesdel’énoncé,lavaleurdel’entierk.
PARTIEB
Ondésignepar(I )lasuitedéfiniepourtoutentiern supérieurouégalà1parn
Z1
n −xI = x e dx.n
0
1. CalculerI .1
2. Danscettequestion,toutetracederechercheoud’initiative,mêmeincomplète,serapriseen
comptedansl’évaluation.
Surlegraphiqueci-dessous,onareprésentélesportionsdescourbesC ,C ,C ,C ,C ,1 2 3 10 20
C comprisesdanslabandedéfiniepar06x61.30
y
0,5
C C C1 2 3
C10
C20 C30 x
0 1
a. Formulerune conjecture sur le sens de variationde la suite I en décrivant sa dé-( )n
marche.
b. Démontrercetteconjecture.
c. Endéduirequelasuite(I )estconvergente.n
d. Déterminer lim I .n
n→+∞
11MASCOME1 page5/6EXERCICE4(5points)
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
³ ´→− →− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O ; i , j , k .
PartieA-Restitutionorganiséedeconnaissances
On désigne parP le plan d’équation ax+by+cz+d = 0 et par M le point de coordonnées0¡ ¢
x , y , z .OnappelleH leprojetéorthogonaldupointM surleplanP.0 0 0 0
Onsupposeconnuelapropriétésuivante.
~ ~ ~~Propriété:Levecteurn=ai+bj+ck estunvecteurnormalauplanP .
Lebutdecettepartieestdedémontrerqueladistance d M ,P dupointM auplanP,c’est-( )0 0
à-direladistanceM H,esttelleque0
¯ ¯
¯ ¯ax +by +cz +d0 0 0
d(M ,P)= p .0
2 2 2a +b +c
¯ ¯ p−−−→¯ ¯→− 2 2 21. Justifierque¯n M H¯=M H a +b +c .0 0
−−−→→−2. Démontrerque n M H=−ax −by −cz −d.0 0 0 0
3. Conclure.
PartieB
On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4, 1, 5), (−3, 2, 0), (1, 3, 6),
(−7, 0, 4).
1. a. Démontrerquelespoints A,B,C définissentunplanP etqueceplanapouréqua-
tioncartésiennex+2y−z−1=0.
b. Déterminerladistanced dupointF auplanP.
2. Lebutdecettequestionestdecalculerladistanced paruneautreméthode.
OnappelleΔladroitequipasseparlepointF etquiestperpendiculaireauplanP .
a. DéterminerunereprésentationparamétriquedeladroiteΔ.
b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan
P.
c. Retrouverlerésultatdelaquestion1.b.
3. SoitS lasphèredecentreF etderayon6.
a. JustifierquelepointB appartientàlasphèreS .
b. PréciserlecentreetdéterminerlerayonducercleC ,intersectiondelasphèreS et
duplanP.
11MASCOME1 page6/6