Les lves en grande difficult en maths :

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Les lves en grande difficult en maths :

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        LINNUMERISME

       15 octobre 2010         Auteur : Michel Vigier,  Professeur LP de Mathématiques, Ingénieur ENSI, Analyste-Programmeur, Licencié en Sciences Physiques, Licencié en Sciences de lEducation, Publications récentes : ANAE, APMEP 05 53 56 38 42 [e-mail]

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  S A I O M M R E  PREAMBULE ....................................................................................................................................................... 3  RESUME................................................................................................................................................................ 3  DYSCALCULIE ? ................................................................................................................................................. 4  E PISTEMOLOGIE DU CALCUL ................................................................................................................................ 4  Au tout début :................................................................................................................................................ 4  De l’histoire ancienne, donc!......................................................................................................................... 4  Des définitions : ............................................................................................................................................. 4  La problématique scolaire aujourd’hui: ........................................................................................................ 5  Une bombe ? .................................................................................................................................................. 5  Les constats sur le terrain,............................................................................................................................. 6  ... et leurs conséquences: ............................................................................................................................... 7  Pourquoi ces difficultés? Une première piste environnementale : ................................................................ 8  Pourquoi ces difficultés? Une seconde piste cognitive :................................................................................ 9  Que retenir de l’Histoire Humaine? Partage, dénombrement, tableaux et numération:............................. 11  A posteriori, une action est-elle possible? ................................................................................................... 12  Les modèles constructivistes :...................................................................................................................... 12  Nos hypothèses concernant les difficultés liées à la résolution des problèmes arithmétiques: ................... 16  Les causes directes des difficultés: .............................................................................................................. 19  Agir sur deux leviers :.................................................................................................................................. 19  Les approches pédagogiques : ..................................................................................................................... 20  Justification du choix des outils :................................................................................................................. 20  Le mode d’intervention: ............................................................................................................................... 22  En guise de conclusion: ............................................................................................................................... 22  M ETHODE DES ABAQUES : ................................................................................................................................. 23  Qui sont ces écoliers ou élèves que l’on nous confie? ................................................................................. 23  Les causes précises des difficultés. .............................................................................................................. 23  La pédagogie mise en œuvre : le boulier. .................................................................................................... 24  La pédagogie mise en œuvre : lecture et compréhension d’énoncé. ............................................................ 24  La pédagogie mise en œuvre : les tableaux et le tableur. ............................................................................ 25  La méthode des tableaux : ........................................................................................................................... 26  Une progression à revoir. La proportionnalité dès le Cours Préparatoire? ............................................... 28  La boîte à outils: .......................................................................................................................................... 30  E XPERIMENTATIONS :........................................................................................................................................ 31  Problèmes arithmétiques, correspondances avec l’OCDE:......................................................................... 31  Problèmes arithmétiques, ‘protocole juin 2009’: ........................................................................................ 31  Problèmes arithmétiques, ‘protocole janvier 2010’: ................................................................................... 34  Problèmes arithmétiques, ‘protocole avril 2010’: ....................................................................................... 36  INNUMERISME, DONC ! ................................................................................................................................. 39  BIBLIOGRAPHIE:............................................................................................................................................. 41  GLOSSAIRE: ...................................................................................................................................................... 43  ANNEXES: .......................................................................................................................................................... 44  A NNEXE 01 :  S OMMAIRES ANAE ET APMEP ................................................................................................... 44  A NNEXE 02 :  T ABLEAUX EGDC ET ETGDC, EXTRAITS DE P ISA 2006 .............................................................. 45  A NNEXE 03 :  C OMPARAISONS DES RESULTATS EN MATH ET EN COMPREHENSION  DE L  ECRIT :......................... 50  A NNEXE 04 :  D ERIVEE D  UNE FONCTION ........................................................................................................... 53  A NNEXE 05:  E XEMPLE DE SUJETS EXPERIMENTAUX ,  LES QUATRE OPERATIONS ................................................ 54  A NNEXE 06:  C OPIE D  ELEVE SANS TABLEAU ..................................................................................................... 59  A NNEXE 07:  C OPIE D  ELEVE AVEC TABLEAUX .................................................................................................. 60  A NNEXE 08:  L ES STRATEGIES DE CONTOURNEMENT ......................................................................................... 61  A NNEXE 09 :  C OMMENT COMPTAIT - ON AVANT DE SAVOIR COMPTER ? ............................................................. 62 

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PREAMBULE « Ce que tu sais, tu nas pas besoin de lapprendre ; ce que tu ne sais pas ; tu ne peux pas lapprendre puisque tu ne sais pas ce quil faut apprendre ». Le paradoxe de lEuthydème, rapporté par P. Bourdieu (1) , laisse penser que laction pédagogique na de résultats que vers des groupes de même « habitus », de même culture que lenseignant, autrement dit « le prophète prêche toujours des convertis ».  Pierre Bourdieu au delà des données statistiques datant des années de la décennie 1970, étudie dans son ouvrage « La Reproduction », les relations complexes existant entre le milieu social, les apprentissages et lécole. Cest notre fil dAriane. Quel est ce déterminisme qui commande aux élèves issus de milieux défavorisés, de foyers monoparentaux de former lessentiel des cohortes délèves en difficulté ou décrocheurs? Dans les années 1960-1970 seulement 3 % des élèves de classes préparatoires étaient issus de milieux populaires ; aujourdhui lEducation Nationale annonce pour la rentrée 2006, 13 % détudiants inscrits en CPGE «qui ont un parent référent agriculteur, ouvrier, au service des particuliers ou sans activité». Les bacheliers sont 28 % à être issus de milieux favorisés ; le taux bondit à 54 % quelques mois après en première année des classes préparatoires aux grandes écoles. Ce mécanisme de sélection et délitisme en fonctionnement depuis des décennies semble bien huilé et le rouage essentiel est constitué par lécole, sans quil y ait volonté de mal faire. RESUME Depuis des décennies nous considérons que seule une faible part de la population scolaire sera admise au rang de la toute petite élite dont les membres sont pourvus «d’une bosse des math ». Cet élitisme a son revers puisque le quart dune classe dâge est considéré comme étant en grande difficultéet près de la moitié en  en culture mathématique difficulté, simplement. Nous considérons cette situation comme normale. Des avancées scientifiques récentes confirment cependant que les causes de cette situation ne sont pas dorigine biologique mais dordre environnemental. Tous nos à priori ne sont-ils pas remis en question ? Les conséquences de la situation présente ne sont-elles pas plus profondes ou plus graves quil ny paraît ? Nest-il pas urgent de mettre en pratique certaines propositions des auteurs constructivistes, appliquées aux mathématiques, par une approche pédagogique nouvelle qui tienne compte de lHistoire de lHumanité fossilisée dans chacun de nos cerveaux? Lutilisation des abaques devrait permettre linversion de la tendance lourde de baisse des compétences en calcul, pour une grande part de la population, adulte et enfant, en France notamment, en offrant à tous des outils simples qui structurent et facilitent le raisonnement. Responsables, ne serions nous pas coupables daccepter une situation qui met en échec la moitié de la population dès les premiers apprentissages, alors que de toute évidence les capacités physiologiques et neurologiques sont sensiblement les mêmes pour tous ?  Les mots clés: Abaques: Tables de calcul, incluant les bouliers, les tableurs informatiques, les tableaux sur papier en général, les tables numériques, les familles de courbe, etc. Dyscalculie: Dysfonctionnement dorigine neurologique chez certains sujets entraînant des difficultés en calcul. Numératie: Ensemble des connaissances et compétences requises pour conduire un calcul (Définition adoptée au Québec). Innumérisme: Situation, susceptible dévolution, des sujets dont la numératie est insuffisante. ETGDC: Elève en Très Grande Difficulté en Calcul (en dessous du niveau 1 sur les 6 niveaux de lOCDE). EGDC: Elève en Grande Difficulté en Calcul (niveau 1 sur les 6 niveaux de lOCDE). EDC: Elève en Difficulté en Calcul (niveau 2 sur les 6 niveaux de lOCDE).  1  Bourdieu P.,théorie du système d’enseignement, p 26,La reproduction : éléments d’une Paris, Editions de minuit, 1970 .   3 

DYSCALCULIE ?  Epistémologie du calcul Au tout début : Le partage équitable et doncla proportionnalité, sont des notions apparues il y a des centaines de milliers dannées dans lesprit humain; est-ce la cause ou la conséquence de la survie, de lévolution et de lorganisation sociale de lespèce humaine? A cette échelle du temps la numération (moins de 10 000 ans) et la technique des quatre opérations (moins de 800 ans) sont beaucoup plus récentes. De lhistoire ancienne, donc! Différentes formes de représentation mathématique d'une situation donnée réelle sont possibles: verbale, rhétorique, figurée ou dessinée, en tableau numérique, géométrique, arithmétique, algébrique, analytique. La discipline mathématique prévoit de privilégier l'une ou l'autre de ces représentations suivant les cas et les interlocuteurs. Dans l'antiquité, les cinq premières formes étaient employées, dans lordre et schématiquement, par le fellah, le scribe, larchitecte, le commerçant et larpenteur. Le calcul se limitait jusque là à un décompte additif, aidé en cela par les tables numériques et les abaques divers. A partir du début du ème XIII siècle, en Europe, sont venus sajouter les opération arithmétiques multiplication, division et soustraction, le système décimal positionnel, l'algèbre et l'analyse. Ces innovations ont enthousiasmé les utilisateurs, commerçants, notaires, savants, astronomes; on pouvait atteindre une généralisation simplificatrice des calculs et obtenir une solution relativement rapide dans tous les cas, sur le support papier grâce notamment aux techniques opératoires, tout en évitant e t du de passer par lentremise des clercs (de l'Eglise) qui D a a rt n a s lhistoire humaine, le conc p seuls possédaient la technique sur abaque, p ro ge équitableet donc de la particulièrement compliquée du fait de lutilisation des la popaubeupcorvsuuenétitseoitrlann ionetnumérattu   chiffres romains. On est dans cette logique depuis, les eriotari qealpulsôt  algoristes ayant définitivement imposé leur point de paprushnectpéoueiq ffcesenetutia  Les er. culscal vue sur lesabacistes la révolution. Cela a permis à ,setedelbaxua paàirrted bltasetdabaquesmai  daccroître le nombre de lettrés mais jusquà Jules ces derniers seront abandonnés au Ferry et lécole obligatoire le calcul restait lapanage profit des techniques sur papier avec des élites. Même Montaigne reconnaissait que, dune algorithmes. façon ou dune autre, «à getz(jetons)ou à plume», il Lordinateur arrive: Les difficultés en ne savait pas calculer. Les connaissances «ittuesivni», math ne sont pas réduites. Pourquoi ? «spontanées», «quotidiennes» prévalaient et permettaient cependant un fonctionnement économique et social normal. Depuis, et notamment dans les années 1960 pour tous, on enseigne les mathématiques sous les diverses formes en passant de l'une à l'autre des représentations sans un fil dAriane solide. Cela demande une gymnastique de l'esprit qui semble ne plus convenir à un grand nombre délèves. Survient alors l'ordinateur dont les microprocesseurs arithmétiques fonctionnent avec les mêmes processus que ceux utilisés par les égyptiens antiques, descompteurs et des tables numériquessans effet sur le taux des élèves en! Son utilisation se généralise mais cest difficulté qui continue de croître. Des définitions : La Mathématique est la discipline qui enseigne lart de compter selon des règles strictes pour rendre compte de situations réelles ou imaginaires en utilisant plusieurs représentations.

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Les Mathématiques désignent lensemble du domaine des connaissances abstraites liées au dénombrement et aux calculs afférents. Enumérons ces domaines : LArithmétique, lAlgèbre, la Géométrie, la Mécanique, lAnalyse, le Calcul Infinitésimal et la Mathématique sociale de Condorcet regroupant les Mathématiques Financières, les Statistiques, lAnalyse Combinatoire et les Probabilités ; on peut aussi ajouter des sciences comme lastronomie, lhydrodynamique, etc. Dans le jargon scolaire, labréviation (donc sans s) Math est utilisée mais, aussi très souvent, de façon peu académique, la forme apocopée les Maths. La problématique scolaire aujourdhui: Notre travail de Recherche débute dans les années 2000 après une dizaine dannées de réflexions et dinterrogations sur les difficultés croissantes des élèves. Les premières mesures ont été effectuées à partir de 2008 et les résultats figurent au paragraphe 2 Expérimentations (page 30). Cependant, cest létude de Pisa 2006, comparatif de lOCDE entre les pays qui va nous servir de base. Ainsi, les  tableaux présentés en annexe 3  03, page 48-50) (Annexe permettent les constats suivants : Les classement de la France pour les ETGDC et EGDC (voir lesmots clés, page 3) sont particulièrement remarqués et stigmatisés dans les commentaires de lOCDE (respectivement 31 ème et 29 ème rang) ; en présentant les progrès à accomplir pour chaque nation, cet organisme international répond en effet à son cahier des charges ; par rapport à lévaluation de 2003, cest la France qui régresse le plus dans le dernier quartile parmi les 56 pays 4  de 15 points ce qui (baisse Le classement OCDE de la France correspond à 3 % du score, ainsi que le souligne le se dégrade pour les catégories rapport 5 ). d (3 é è lè me lalcu molaenatnu)ge usplslesvecneétluciffid ei Si lon excepte les trois premiers pays dans le 1 ran classement, la France fait partie de la petite minorité spécifique apparaît même en des pays qui nont pas des résultats sensiblement comparant les classements entre la meilleurs en Culture Mathématique quen culture mathématique et la Compréhension de lécrit ; elle fait, en outre, le plus compréhension de lécrit (26 ème  grand écart dans le classement, respectivement 31 ème et rang), mettant en évidence une 26 ème  il semble donc y avoir une difficulté rang : problématique encore plus cruciale supplémentaire en mathématiques au contraire de tous en math, ce qui nest pas le cas des les autres pays. autres pays. LOCDE souligne que les élèves au niveau 2 ont encore des difficultés (ce qui correspond dans notre propre classification aux Elèves en Difficulté en Calcul, EDC') : En effet «peuvent puiser des informations pertinentes queIls ne dans une seule source d’information et n’utiliser qu’un seul mode de représentation  6 » (Pisa 2006, p 336). Dans ce cas, ce sont 43,7 % de nos élèves à 15 ans qui sont EDC, EGDC ou ETGDC 7 (Annexe 03, page 48-50). Ce taux correspond à nos propres mesures en fin de quatrième. La dyscalculie nexisterait pas en tant Une bombe ? que trouble dune réelle importance ; sa  enn Nationale a finalement s prévalence serait inférieure à 1,5%. Les  compteLEducatio pri les maladies en dys, dont assez récemment la difficultés en calcul et en mathématiques dyscalculie. Mais, patatras,une autre thèse est ne sont donc pas dordre biologique mais dordre environnemental.  2  Cf  Expérimentations :  3  cf Annexe 03 : Comparaisons des résultats en math et en compréhension de l écrit: 4  EGDC et ETGDC, extraits de Pisa 2006,cf Annexe 02 : Tableaux 5  pour le Suivi des Acquis des élèves).PISA 2006 (Programme International Les compétences en Sciences, un atout pour réussir.tableau  6-21, p 344. Retrouvé, en janvier 2009, à ladresse :www.oecd.org/pisa 6  Ibidem, p 336. 7  cf Annexe 03 : Comparaisons des résultats en math et en compréhension de l écrit: tableau 3.  5 

avancée dans un dossier publié par la revue ANAE de juillet 2009 8 (annexe 01) qui contredit lancienne. Prenant le contre-pied du corps médical, qui répertorie toutes les difficultés scolaires et les répartit dans des tiroirs à dys (dyscalculie, dyslexie, dysorthographie, dysgraphie, dysphasie, dyspraxie, ...) en avançant des taux de 5 à 14 % dune classe dâge, léquipe dirigée par JP Fischer 9 redéfinit de façon rigoureuse la dyscalculie, renverse le tiroir à dys correspondant et ne retrouve, après des expérimentations sérieuses, quune toute petite partie des cas décomptés précédemment. Ladyscalculie  développementale est, trouble du calcul dorigine génétique ou pathologique donc un phénomène très marginal dans la population scolaire. Fischer estime «que les DD pures (potentielles, i.e., de sujets présentant un pattern de performances compatible avec une dyscalculie pure) ne dépassent guère 1,5% avec des critères scientifiques rigoureux. Les intérêts économiques, les confusions, les insuffisances et les erreurs, n’expliquent-ils pas les 4 ou 5% supplémentaires souvent ajoutés ?  10 ». Il ajoute en conclusion : «Nous postulons que c’est ce processus d’abstraction réfléchissante, dont Piaget souligne qu’il est seul à l’oeuvre en logique et mathématiques pures ... qui est insuffisant chez les élèves à difficulté numérique ou mathématiques 11 ». Sciences et Vie du mois de mars 2010 (page 66 à 72) présente les deux théories et précise même que JP Fischer «au vu de ces estimations, va jusqu’à douter de l’existence même d’un trouble spécifique du calcul» 12  Le Monde de lEducation du 11(S & V, mars 2010, page 68)! novembre 2009 reproduit les propos de Claire Meljac 13 qui au sujet de la publication dans la revue ANAE, parle même de bombe. Le bulletin de lAssociation des Professeurs de Mathématiques de lEnseignement Public sempare aussi du sujet et dans la présentation du dossier « Math et Psycho » Jacques Nimier parle de « miracle » pour cette approche nouvelle 14 des matheux. Cette hypothèse nouvelle dune origine culturelle et non biologique est rassurante; les abus de langage «nul en math», «élève limité» et «la bosse des math» ne devraient plus avoir cours; elle ne raye pas pour autant des listes les cohortes délèves en échec. Les constats sur le terrain, La situation française des élèves en très grande difficulté mesurée par lOCDE est, pour nous, source dinterrogations 15 . Notre nation est donc classée au 29 ème  rang (respectivement 31 ème  rang) pour les élèves en grande difficulté au niveau 1 et en dessous du niveau1, avec 22,3 % (dont 8 ,4 % pour les élèves en très grande difficulté, en dessous du niveau 1); cest donc près du quart de la population scolaire à 15 ans qui est concernée (et même près de la moitié si nous prenons en compte le niveau 2). La difficulté touche aux fondements mêmes, la numération,t la compréhension des 4 opérations arithmétiques et plus particulièrement, la multiplication et la division dans les problèmes arithmétiques. Près de la moitié de nos « L   e l  a prob m l y è o m p e i  e pos d é e e s st a é n lè ci v e e n s ,    J. à Pia l g ’ e é t g  a ar y d a   nt d m e ê s me s d tr éj u à c  t n ur ot e é s    élèves à la fin du collège ne multiplicatives» 16 , mais son emprise est plus large aujourdhui. maîtrisent pas la multiplication et la division dans les problèmes  8  Fischer (JP), Vannetzel (L), Eynard (LA), Meljac (C), Fayol (M), Fluss (J), Sacchet (J), Siclier (J), Mirassou (A), Billard (C), Von Aster (M), Rubinstein (O), Vilette (B), Vigier (M),La Dyscalculie Développementale, revue ANAE juillet 2009. 9  Docteur en psychologie du développement et docteur en mathématiques (Nancy 2),  10  Fischer (JP),La Dyscalculie Développementale, revue ANAE, Paris, juillet 2009, p 124. 1 1  Ibidem, p. 185 12  Mérat (MC),Certains enfants sont-ils malades des maths, Science et Vie, Paris, Mars 2010 13  Docteur en psychologie (hôpital Saint-Anne), 14 Petit (S), Nimier (J), Eynard (LA), Vannetzel (L), Meljac (C), Fischer (JP), Vigier (M), Dehaene (S), Brissiaud (R), Mongeau (M),Math  et Psycho, Bulletin APMEP, Paris, juin 2010. 15 EGDC et ETGDC, extraits de Pisa 2006,cf Annexe 02 : Tableaux 16  Piaget,Recherches sur l’abstraction réfléchissante; 1/ l’abstraction des relations logico-arithmétiques, Paris, PUF, 1977, p.35 6 