26. Mouvement brownien (2) : équation de Fokker-Planck

Noëlle Pottier

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26. Mouvement brownien (2) : équation de Fokker-Planck

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328 Mouvementbrownien:e ´ quationdeFokker-Planck

26. Mouvement brownien (2) : ´equation de Fokker-Planck

1. Processus de Markov Pourcaracte´risercomple`tementunprocessusstochastique X ( t ), il est en principe necessaire 1 de connaˆıtre toutes les densit´es de probabilit´e conjointes ´ p n ( x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ; . . . ; x n , t n ).Toutefois, certains processus stochastiques peuvent ˆetre de´critsdemani`ereplussimple.C’estnotammentlecasdes processus de Markov , qui interviennent dans l’´etude du mouvement brownien.

1.1.Probabilit´econditionnelle´ele´mentaire Demani`ereg´en´erale,chaqueprobabilit´econjointe 2 p n ( x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ; . . . ; x n , t n ) peut s’exprimer en fonction de p 1 ( x 1 , t 1 ) et des probabilit´es conditionnelles p 1 | 1 ( x 2 , t 2 | x 1 , t 1 ), . . . , p 1 | n − 1 ( x n , t n | x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ; . . . ; x n − 1 , t n − 1 ) : p n ( x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ; . . . ; x n , t n ) = p 1 ( x 1 , t 1 ) p 1 | 1 ( x 2 , t 2 | x 1 , t 1 ) . . . p 1 | n − 1 ( x n , t n | x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ; . . . ; x n − 1 , t n − 1 ) . (1.1)

Parde´finition,unprocessusstochastiqueestun processus de Markov si, pour des instants quelconques t 1 < t 2 < . . . < t n , et pour tout n , p 1 | n − 1 ( x n , t n | x 1 , t 1 ; x 2 , t 2 ; . . . ; x n − 1 , t n − 1 ) = p 1 | 1 ( x n , t n | x n − 1 , t n − 1 ) . (1 . 2) Une fois arriv´e en x n − 1 a`l’instant t n − 1 ,apr`esˆetrepass´epar x 1 ` t 1 , x 2 `a t 2 , . . . , a x n − 1 a` t n − 1 ,unprocessusdeMarkov´evolueensuited’unemani`erequinede´pend que de x n − 1 .Autrement dit, l’´evolution d’un processus markovien `a partir d’un instantdonne´ned´ependquedel’´etatduprocessus`acetinstantetnondeson histoire ant´erieure. La quantit´e centrale pour la description d’un processus de Markov est donc laprobabilite´conditionnelle p 1 | 1 ( x  , t  | x, t ),c’est-a`-direlaprobabilit´epourquele 1 Voir le chapitre 2. 2 Parcommmodit´e,lesdensit´esdeprobabilit´esontappele´esicisimplement probabilite´s .