arithmétique cours

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• Publié par: ojurarop
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ee.f M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiques http://mathscyr.fr r ARITHMETIQUE 0) Introduction L’arithmétique est la reine des disciplines mathématiques Pourtant,bien que maniant des objets et des concepts qui nous paraissent aujourd’hui simples et familiers (les nombres entiers), elle développe des théories qui peuvent devenir très complexes, et se retrouve dans de nombreuses branches comme la cryptographie, les codes secrets, etc… 1) Approche historique de la notion de nombre Il semble que depuis « toujours », les nombres entiers naturels ont existé. Cependant ils n’ont pas toujours été comme nous les concevons aujourd’hui. Une notion intuitive des petits nombres est assez naturelle, ainsi, les bergers de l’Antiquité utilisaient descailloux («calculus» en latin)pour faire rentrer le soirautantde moutons qu’ils en avaient fait sortir le matin. Avant d’aboutir à la conception actuelle des nombres entiers il a fallu d’abord donner unnomaux nombres (aujourd’hui encore il y a des peuples qui n’ont pas de nom de nombre : les Aborigènes australiens, les Andamans) puis leur attribuer desnotations. Enfin la notion de nombre entier prend un sens dans la pratique desopérationsélémentaires. Toutefois, une véritable arithmétique théorique (arithmosveut dire nombre en grec ancien), où les nombres sont conçus comme des objets mathématiques abstraits, indépendants de leur représentation écrite et des objets comptés, ne s’est ème constituée que progressivement : chez les Babyloniens (17 siècle av-JC), puis dans la mathématique grecque : nombres figurés, moyennes, suites chez les pythagoriciens, théorie du PGCD, nombres premiers et leur infinitude (à partir de 500 ans av-JC). Les mathématiciens arabes dumoyen âgeont repris et développé presque tous les problèmes arithmétiques des grecs ». C’est de l’Inde, que nous viennent lesnotations actuellesnombres, transmises par les arabes, et, semble-t-il, le des « zéro » (le mot françaischiffreest une déformation du mot arabesifrdésignantzéro) : On attribue àBrahmaguptaau 7è siècle, l'invention du zéro, en fait déjà à l'état latent dans les mathématiques indiennes de l'époque, lié à l'usage d'unsystème décimal positionnelque l'Occident adoptera, transmis par lesarabes(Maures) lors de leurs invasions en Andalousie (sud de l'Espagne : royaume arabe de Grenade, califat de Cordoue). Brahmaguptaénonce même la règle des signes relative à la multiplication. » ème Et ce n’est que depuis le 15 siècle que la notation dite « en chiffres arabes » que nous utilisons aujourd’hui s’est imposée. ème Ainsi le nombre ne s’est pas construit en un jour et, si l’arithmétique a encore considérablement progressé depuis le 15 siècle, son histoire continue. 2) Systèmes de numération Deux sortes de systèmes de numération sont les plus couramment employés dans l’histoire.Le système additionnelet le système positionnel. Pour chaque système, des symboles sont utilisés pour écrire les nombres. 2-1) Exemples de systèmes additionnels : La numération égyptienne : Les nombres sont représentés par despictogrammesdont les plus simples sont : (unité),(dix),(cent) (cent mille) Le résultat est la somme des nombres représentés par les pictogrammes. Numération égyptienne Numération usuelle  542 200 502 Exemple d’addition : = + (Transcription : 325+200502=200827) Ce mode de numérotation est assez « lourd » à employer, car l’écriture du nombre 99 réclamerait ainsi 9+9=18 symboles ! ( 99=9×10+9 ) Page 1/9