cours - Polynômes, endomorphismes et matrices

Description

cours - Polynômes, endomorphismes et matrices

Sujets

• cours

Informations

• Publié par: abubidur
• Nombre de lectures: 189
• Langue: Français

Extrait

Polynˆomes,endomorphismesetmatrices

O.Simon,Universite´deRennesI

28 octobre 2004

Notations : FN SiEetFsont des ensembles, on noteEl’ensemble des applications deFdansE. AinsiEdise´eng l’ensembledessuites`avaleursdansE. On noteKun corps commutatif.

1

Rappelsurlespolynˆomesa`unevariable

On noteK[Xne’lbmesedellopsdatsenci]nstereim´neea`ocffieynˆomes`auneind´K. SiP∈K[X], on N peutleconside´rercommeune´le´mentdeKdont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini, on peut P n i noterP= (a i ) i∈N ouP=a i X, sinest un entier tel quea i soit nul pour touti > n. i=0

Propri´et´es1.1sprOonaleet´epri´:s –K[X]utmmcoauune,ivati,eriatiperge`tnour+etenaentsnu× –K[X]est unK-e.v. de dimension infinie pour + et .(multiplication par un scalaire). Cesdeuxproprie´t´esfontdeK[X]uneK-atutmmcoreebg`aliaeri,tnvi,enuti`egre. –K[X]est un anneau euclidien, donc 1. il est principal 2. il est factoriel 3. il existe une division euclidienne, des PGCD et PPCM 4.l’identite´duth´eor`emedeBezoutestvalide 5. l’algorithme d’Euclide fonctionne

Etantdonn´esunpolynoˆmeP∈K[Xnue´]teentl´embd’uneK-ae`glerbA, on peut calculerP(b) aveclesope´rationsdeA´feat¸ecrocnescd.’Oinnatdeerupxrlauc.l

1.1 Fonction polynomiale ˜ De´finition1.2Pour touteKebrealg`-Aunitaire et toutP∈K[X], on a une application,P, deAdans ˜ A, pour toutb∈A,P(b) =P(b) ˜ P:A−→A b−→P(b)

C’estlafonctionpolynomialeassocie´e`aPllneE(nili’estire,n´eaomohnuindemsihpruxeann’a). A Cecid´efinituneapplicationdeK[X] dansA,Kdseilacitnoredesapp-alg`ebAdansA: A K[X]−→A ˜ P−→P

Cette application est un homomorphisme deKses,e`rba-glminoeegaaltsKebg`dereonsfioctsnopyl-la- nomiales surA`acoefficientsdsnaKdronnfcoˆoynolepnlI.saptuafeale.nomiofcnemteopylitno K ˜ Proposition 1.3L’application deK[X]dansK,P−→P, est injective si et seulement siKest infini.

Afortiori,iln’yapasinjectivit´epouruneKerba-e`glAquelconque. Contre-exemple :A=K=Z/2Z

1