EXERCICE 3 Partie A : Question de cours 1) Théorème de Bézout ...

Sujets

• exercice
• cours
• exercices

Informations

• Publié par: isybokom
• Nombre de lectures: 127
• Langue: Français

Extrait

EXERCICE 3 Partie A : Question de cours

1) ThéorèmedeBézout. Soientaetbdeux entiers relatifs non nuls.aetbsont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d’entiers relatifs(u, v)tel queau+bv=1. Théorème deGauss. Soienta,betctrois entiers relatifs non nuls. Siadivisebcetaest premier àb, alorsadivisec.

2) Démonstrationdu théorème deGaussà partir du théorème deBézout. Soienta,betctrois entiers relatifs non nuls tels queadivisebcetasoit premier àb. Il existe un entier relatifktel quebc=kaet, d’après le théorème deBézout, il existe deux entiers relatifsuetvtels queau+bv=1. On multiplie parcles deux membres de cette dernière égalité et on obtient

c=acu+bcv=acu+kav=a(cu+kv) (aveccu+kventier relatif). Ceci montre que queadivisec. Partie B

1)12et19sont premiers entre eux et donc, d’après le théorème deBézout, il existe un couple d’entiers relatifs(u, v) tel que19u+12v=1. Soit alorsN=13×12v+6×19u.

N−13=13×(12v−1) +6×19u=13×(−19u) +6×19u=19×(−7u) (avec−7uentier relatif). Ceci montre que19diviseN−13ce qui s’écrit encoreN−13≡0(19)ou enfinN≡13(19). De même,

N−6=13×12v+6×(19u−1) =13×12v+6×(−12v) =12×(7v). ce qui montre queN≡6(12).

2) a)Par définition,n 0 ≡13(19)etn 0 ≡6(12). Donc,n≡13(19)etn≡6(12)si et seulement sin≡n 0 (19)et n≡n 0 (13). b)Soitnun entier relatif.

 n≡n 0 (19) ⇔n−n 0 est divisible par12et par19 n≡n 0 (12) ⇔n−n 0 est divisible par12×19(car12et19sont premiers entre eux) ⇔n≡n 0 (12×19)

3) a)Déterminons un couple(u, v)grâce à l’algorithme d’Euclide. 19=1×12+7 12=1×7+5 7=1×5+2 5=2×2+1. Par suite,

http ://www.mathsfrance.fr

1=5−2×2=5−2×(7−5) =3×5−2×7 =3×(12−7) −2×7=3×12−5×7 =3×12−5×(19−12) = −5×19+8×12

Un couple(u, v)solution est(−5, 8).

5

c Tous droits réservés.JeanLouis Rouget, 2007.