L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 2 mars 2006 Matrices d'entrées ...

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L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 2 mars 2006 Matrices d'entrées ...

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• Publié par: abubidur
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L1MASS:Alg`ebreLin´eaireCours 2 mars 2006 Matricesd’entre´es-sortiesoud’inputs-outputs (d’apr`esC.Simon,L.Blume,seotchoMnaimtsuqitame´e´ruopse, De Boeck, 1998,§12.5) Lederniercoursmontrequelar´esolutiond’unsyste`medeAx=bdentionequa´a`sninconnues est relativement proche de l’inversion d’une matriceApuisque −1 (1)x=Ab. Pourunvecteurfixe´bdiparsulose´rede’htdesilepuditab,udreAx=btaoiminise-gnua’´elparl sienne (et substitution en remontant). Cependant, s’il faut travailler avec plusieurs membres de droiteberff´diricemetaˆmmetealnestA, il sera plus facile d’inverserAet utiliser (1). Parexemple,conside´ronsl’exempledumod`elelin´eairedeproductiondupremiercours.Ils’agit d’unmod`eled’une´conomieavecncaeuqahC.noitcudunitduroept´vitituesluuoptepro´esdivitact aveccommeentre´esouinputslesproduitsdesautresactivit´es.Ecrivonsx i pour l’output brut du produiti, et soita ij naitaluqrese´tdeursocei´tdeeoductiond’uneuniece´iassa`errpalulitiens´ produitj. Quec i duitpeoruolrrupsametomnscoesedndmadealetnese´rperi. La demande totale pour le produitiest alors a i1 x 1 +a i2 x 2 +∙ ∙ ∙+a in x n +c i , lasommedetermescorrespondantauxquantite´sduproduitipro-ndeslitiees´uudoroitcnadspals duits 1,2, . . . , ndameullsp,atmmsoonscdedeandnocsedsnaD.sruetioisn’de´uqlibiredemarch´e (production = demande) on a  x 1 =a 11 x 1 +a 12 x 2 +∙ ∙ ∙+a 1n x n +c 1 ,   x 2 =a 21 x 1 +a 22 x 2 +∙ ∙ ∙+a 2n x n +c 2 , .   x n =a n1 x 1 +a n2 x 2 +∙ ∙ ∙+a nn x n +c n . Cesyste`medevient,ennotationmatricielle, x=Ax+c, etpeuteˆtre´ecritdemanie`replusadapte´esouslaforme (2) (I−A)x=c. La matriceAndmainesrmtedi´ealededsestparfoisappel´eiaerdsfecaetruesmatrice de tech- nologielangna,e.Nourix”onsesdevcenhsit“mytalogoteanstonlereu’elrerqsp´enectvimeletatsre surunelonguepe´riodedetemps.Lemembrededroitecrivaasert`anuial)2eptuuqzesd(e souvent.Pour´etudierlessolutionsde(2)onutiliselamatriceinverse: −1 x= (I−A)c. Remarquons que nous supposonsI−Ainversible, mais que nous devons aussi supposer que la solution de (2) est positive lorsquecpsnoroercecifiC.ositestptulonoioteusetuh`oteqesald`yp’h denotresyst`eme´economiqueconduita`produiredesquantit´espositivesdechaquebien.Pour −1 cela, aucun coefficient de la matrice (I−A,l’´etudedecesystn`eeem´eagit.feDlpsu)neitdotrˆe estcomplique´eparlefaitquetouteslesdonn´eese´conomiquesdumod`elesontcontenuesdansla matriceA. Il est insuffisant de supposer queI−Aa une matrice inverse positive. Nous devons poser des conditions surA´eesesir´ed´i´etorrpltparenoiluqqumpiiruI−A. Apartirdumomento`ulesfacteursdeproductionontdesunite´snaturellesdiff´erentes,ilest pluspratiquedelesexprimertoutesentermesmon´etaires,parexempleenmillionsd’euros,dans