Nicolas JACON

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Nicolas JACON

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LicenceMathematiques3emeannee

COURS

DE THEORIE DES GROUPES

Nicolas

Universite

de

JACON

Franche

Comte

Tabledesmatieres

1 Notions fondamentales sur les Groupes 3 1.1Premierdefinitions.......................3 es 1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Homorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4Sousengendes......................12 -groupes r 2 Groupes quotients 18 2.1Relationsd’equivalence......................18 2.2 Sous-groupes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Exemple fondamental : les groupes quotients deZ. . . . . . . 26 3TheoremesdeSylow29 3.1 Actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2TheoremesdeSylow.......................32 4 Groupes symetriques 37  4.1Generalites............................37 4.2 Permutations d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5 Produits directs et Produits semi-directs 46 5.1 Produits directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3Complement1:Produitsemi-directexterne..........50 5.4Complement2:Legroupediedral................52

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Chapitre 1

Notions fondamentales sur les Groupes

1.1Premieresdefinitions Rappellons tout d’abord qu’uneloi de compositionsur un ensembleEest ladonneed’uneapplication: ∗:E×E→E (x y)7→x∗y Definition1.1.1UngroupeGest un ensemble non vide muni d’une loi de composition∗:E×E→Eifianver:t 1. “∗iradtesc’e,ivat:eosictssae” ∀(x y z)∈E 3 (x∗y)∗z=x∗(y∗z) 2. “∗etnentreunuelmea”mdtee G ,esc’dat:eri ∃e G ∈G∀x∈G e G ∗x=x∗e G =x 3.ToutelementxdeGutemdaesrevninetnox −1 ider:ast’e,c ∀x∈E∃x −1 ∈E x∗x −1 =x −1 ∗x=e G  On dira de plus que le groupe (G∗) estcommutatif(oueabneil) si la loi de composition “∗e’tsevc,atitmoumestc”dia:re ∀(x y)∈E 2  x∗y=y∗x

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1.1.Premieresdefinitions

Par abus de notation, la plupart du temps, nous noteronsGau lieu de (G∗) pourdesignerungroupe.Ilfautneanmoinsbienavoirentˆetequelastructure degroupedependdesdeuxdonnees:celledel’ensembleGet celle de la loi de composition “∗”. Remarquonsquel’elementneutree G d’un groupeGest unique ainsi que l’inversed’unelement.Traditionellement,laloi“∗mul-teentnoouvesest” tiplicativementc’estadirequ’onremplace“∗” par “efinitiondanslad”-ic dessus(onomettramˆemeparfois“” de sorte quexyetonaresxyentleme’l,) neutreestalorsparfoisnote1.Cependant,danslecasouGest commutatif (et seulement dans ce cas !), on utilisera parfois une notation additive : on remplace alors∗laddanspar+rosrteetslad-icusseinfienoitenemeutnl’s,le note0etl’inversed’unelementx∈Gestntoe−x. Exemple. 1.R(rep.Q) muni de l’addition est un groupe commutatif. 2.R ∗ (rep.Q ∗ ) muni de la multiplication est un groupe commutatif. 3.Zmuni de l’addition est un groupe commutatif. 4.Z ∗ muni de la multiplication n’est pas un groupe, 2 (par exemple) n’ayant pas d’inverse dansZ. 5. SoitE={1¢ ¢ ¢ n}alors l’ensemble des bijections deEdansE, muni delaloidecompositionestungroupe(d’elementneutrel’identite),non commutatifengeneral,etappeleysmteiruqegrpeou. On le noteS n . 6. L’ensembleGL n (Rrtamsed)rrcaesicesen×nislbvnreocffieseatscieni dansRest un groupe non commutatif enet muni de la multiplication general.L’elementneutreestlamatriceidentite. 7. L’ensembleM n (Racseerramsecirts)edn×nssdancaeitneocffiRet munidelamultiplicationn’estpasungroupeengeneral(lamatricede M n (R) possedant tous ses coefficents nuls n’est pas inversible). 8.Plusgeneralement,siVest un espace vectoriel sur un corpsk(=Rou Cresslineail’),seencejinoitelbmbsedGL k (V) muni de la composition estungroupe,noncommutatifengeneral. Parmi les exemples ci-dessus, le groupeZit-ssopdeespdeprroeti es par culieres,entreautreuneautreloi:lamultiplicationquidonneunestructure plusricheacetensemble:c’estunanneau(cflecoursdu2emesemestre). Nousnousservironsdanslasuiteparticulierementdesproprietessuivantes (il est ici tres important de les maˆıtriser). –Zqeriopeuotrutuucneioisivadeliddatse’cenneidilmtnusen∈Z etm∈Z ∗ , il existeq∈Zetr∈Ntel que 0≤r <|m|et tel que : n=mq+r 4

1.1.Premieresdefinitions

– Pourn∈Zetm∈Zdeux non nuls, on note pgcd(tous les m n), le plusgrand(ausensdeladivisibilite)entierpositifdivisantmetn. C’est aussi l’entier positifc:tfiinavre ∀x∈Z x|metx|n⇐⇒x|c Si pgcd(m n= 1 alors on dit que) metnsont premiers entre eux. –LetheoremedeGauss:siaest premier avecbet divisebcalors il divise c. Revenonsalastructuredegroupe.Donnonsquelquesreglesetremarques relatives aux calculs dans un groupeG. – On ae − G 1 =e G et pour toutx∈G, on a (x −1 ) −1 =x. – Pour tout (x y z)∈G 3 , on a : xy=xz=⇒y=zetyx=zx=⇒y=z –Parlaregled’associativite,ilestinutiledegarderlesparentheses  dansuneexpression.Ainsi,unproduitquelconqued’elementsx i (i= 1¢ ¢ ¢ n) deGesarenotx 1 x 2 ¢ ¢ ¢x n . – SixetyexuedtnosdetsenemlGalorsxyy −1 x −1 =e G . Il suit que (xy) −1 =y −1 x −1 ffidnereuqtseietdx −1 y −1 (sileralupeegrongene n’est pas commutatif). tx¢ ¢ ¢xx osi n est – Pourx∈G, on noterax n ’lnemele | {z } p sitif avec comme nfois conventionx 0 =e G . Pournetnonnoa,gfeitx n = (x −1 ) −n . On a alors les regles de calculs : x m x n =x m+n et (x n ) m =x mn  Definition1.1.2On dit qu’un groupeGestfinisi il comporte un nombre finid’elements.L’ordredeGetono(Gacdrnoelednilatpar)esnitidefiG. SiGierbinfine’dmelcpoomeurtomnnents,onditqueGest d’ordreinfini. Exemple. 1. Le nombre de bijections de{1¢ ¢ ¢ n}dans{1¢ ¢ ¢ n}taeentlgaan!, onendeduitquelegroupesymetriqueS n est un groupe fini d’ordre n!. 2.Onconsiderel’ensemble{01}teeto”+“eteinenrnund’oielumin definiepar0+0=0,0+1=1+0=1et1+1=0.Ilestimmediat deverifierqu’onobtientunestructuredegroupecommutatifd’ordre 2.CegroupeseranoteZ/2Zdans la suite.

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